16 第一章基本概念 进行分类.在同构类中只要有一个代数系统研究清楚了，就等于这 个同构类中的每个代数系统都清楚了. 类似地，群的同构类、环与域的同构类都是这样 2.在以后各章的讨论中，几乎经常遇到等价关系与集合的分 类.例如，群G按子群H的左陪集分解： aRb之a-'b∈H(即aH=bH); 即a与b同在一个左陪集内； 又群G按元素a与b是否共轭的分类： aRb→存在c∈G使a=cbcI, 从而由此得到群的类等式的重要概念 再如在环K中元素按理想N的分类： aRb←→a-b∈N(即a十N=b+N)(a,b∈K), 等等，由此可见等价关系与集合的分类在近世代数中的重要性和 应用的广泛性， 三、习题1.6解答 1.设M为整数集，规定 aRb←=>4la+b. 问：R是否为M的一个关系？是否满足反身性、对称性和传递性？ 解R是M的一个关系.又显然满足对称性.但是，反身性和 传递性不满足.例如，1F1;又显然 43+1,411+7,但是43+7， 即3R1,1R7,但是3F7. 2.设M是实数集.问以下各关系是否为M的等价关系？ 1)aRb→a≤b;3)aRb→a=b: 2)aRb←→ab≥0；4)aRb←=→a2+b≥0. 解1)不是.因为不满足对称性： 2)不是.因为不满足传递性； 3)是等价关系；
§6等价关系与集合的分类 17 4)是等价关系. 3.试指出上题中等价关系所决定的分类. 解3)每个元素是一个类： 4)整个实数集作成一个类. 4.分别举出三个例子各满足等价关系中的两个条件，而另一 个条件不满足。 解上面第2题中1)与2)是符合本题题意的两个例子.又设 Q是有理数集，规定 aRb←→a2+b=0(a,b∈Q) 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性（若把Q 换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合 关系，此外任何二有理数都不符合关系). 5.设M是任意非空集合，并令 R={(a,b)a,b∈M}. 证明：M的一个关系决定R的一个子集；反之，R的任一个子集决 定M的一个关系，且不同的关系决定R的两个不同的子集， 证若M中二元素a与b符合关系就记为(a,b).现在一切 这样的(a,b)作成的集合记为R,它是R的一个子集. 反之，设R,二R.则规定：a与b符合关系当且仅当 (a,b)∈Rz. 即R的子集可决定M的一个关系. 6.设A,B为集合M的任二非空子集，A'与B'分别为A与B 在M中的余集.证明： 1)A-B=A∩B; 2)(AUB)-(ANB)=(A-B)U(B-A) =(AUB)∩(A'UB'). 证1)略。 2)由1)及分配性以及习题1.1第5题可知： (AUB)-(A∩B)=(AUB)∩(A∩B)
18 第一章基本概念 =(AUB)∩(A'UB): (1) 又(A-B)U(B-A)=(A∩B)U(B∩A') =[(A∩B')UB]∩[(A∩B)UA'] =[(AUB)∩(BUB)]∩C(AUA')∩(A'UB)] =(AUB)∩(A'UB'). (2) 由(1)与(2)知，得证. T.设是集合X到集合Y的任意一个映射，A与B分别为 X与Y的非空子集.证明： 1)p1(p(A)2A,且当中为单射时等号成立： 2)p(p1(B)二B,且当9为满射时等号成立. 证1)任取x∈A,则9(x)∈p(A).从而 x∈p'(p(A),故A二p1(p(A). 若9是单射，则任取y∈p1((A)),必p(y)∈p(A),从而有 x∈A使p(x)=p(y).但因p是单射，故 y=x∈A,P1(p(A)∈A. 因此p1((A))=A. 2)任取y∈p(p1(B),则有x∈p1(B)使y=(x).但由于 x∈p(B),故p(x)∈B,即y=p(x)∈B.因此 p(91(B)二B. 又当P为满射时，任取x'∈B,则存在x∈X使p(x)=x'.于 是 x∈p1(B),(x)∈p(p1(B), 即x'∈g(p1(B),故又有B二p(p(B),因此 p(p1B))=B. 8.设g是集合X到Y的一个映射，而A与B是X的任二非 空子集.证明： 1)(AUB)=(A)Uo(B); 2)e(A∩B)三p(A)∩p(B). 证1)任取y∈p(AUB),则存在x∈AUB,使y=p(x)
§6等价关系与集合的分类 19 若x∈A,则p(x)∈(A),于是 y=p(r)∈p(A)Up(B): 若x∈B,则同理可得上式.因此 p(AUB)二(A)Up(B). 反之，任取y∈P(A)Up(B),不妨设y∈p(A),于是存在 x∈A使y=(x).而x∈A二AUB,因此 y=p(x)∈p(AUB), 从而p(A)U(B)二(AUB).故 (A)U(B)=(AUB). 2)任取y∈p(A∩B),则有x∈A∩B使p(r)=y. 由于x∈A∩B,故x∈A,x∈B.从而 y=g(x)∈p(A),y=p(x)∈p(B), 因此，y∈p(A)∩p(B).故 p(A∩B)∈p(A)∩p(B). 9.设与x分别为集合A到B以及集合B到C的映射.证 明： 1)若a,x都是单射，则r0是单射；反之，若x0是单射，则o是 单射； 2)若o,x都是满射，则t0是满射；反之，若x0是满射，则x是 满射 证1)乘积t0是集合A到C的映射.设r1,x2∈A,且x1≠ x2,则由于g是单射，故 a(x1)≠a(x2）: 又由于x是单射，因此 x(c(x1))≠r(a(x2)),即(o)(x1)≠(xo)(x2), 故xo是集合A到C的单射. 反之，设xo是A到C的单射，则对A中任二不同元素x1,x?有 (xa)(x1)≠(xa)(r),x[a(x1)]≠x[c(x2)]. 从而c(x1)≠σ(x?),即o是A到B的单射
20 第一章基本概念 2)设a,x都是满射，则任取c∈C,由于x是满射，故存在b∈B 使 t(b)=c. (1) 又由于o是A到B的满射，故对于b∈B有a∈A使 o(a)=b. (2) 从而由(1)，(2)得 [(a)]=c,即(xo)(a)=c. 亦即to是A到C的满射. 反之，设乘积ra是A到C的满射.则任取c∈C,必有a∈A使 (xo)(a)=c,即t[(a)]=c. 现令b=o(a)∈B,则x(b)=c.故x是集合B到C的满射. 注应注意，当x0是单射时，x不一定是单射.例如，A是正整 数集合，B与C都是整数集合，又 0:A→B,a-→a2 c:B→C,b→|b, 则易知乘积x0是单射，但x不是单射. 对满射也可举出类似例子 10.设c是集合A到集合B的一个映射.证明： 1)g是单射→存在B到A的映射r,使xo=1A; 2)g是满射←→存在B到A的映射x,使or=1B.其中1A,1B 分别为集合A,B的恒等映射. 证1)设c是单射，令B'={(bIb∈B,b在(A)},则 B=a(A)UB,且g(A)∩B= 现任取一固定a'∈A,则由于。是单射，故易知 x:b·a,当b∈(A),b=g(a)； b→a',当6∈B. 是集合B到A的一个映射，且对任意a∈A都有 (x)(a)=a,即to=1A 反之，若存在映射x:B+A使x0=1A,则因1A是双射，当