$4运算津 11 3(2n-3）.2-1x" (4) n! (此等式是根据以下二项式级数得到的： (1+x)m=1+mx+m(m-1x+…+ 21 m(m-1):(m-n+1x“+…. n 又y=1+延不可能因为此式当x=0时y=1.与(3)矛盾) 比较(2)、(4)两式即得 dn）=13:(2n-3）.2*-1. (5) n! 又因为 (2n-2)！=(2n-2)(2n-3)(2n-4)……6-543.21 =135…(2n-3)(2n-2)(2n-4)…642 =13.5…·(2n-3)241.(n-1)！, 故由(5)可得 s=d(n)=(2n-2)！ n！(n-1)！ (证毕) 三、习题1.4解答 1.设M为实数集.问： ab=2a十3b(Va,b∈M) 是否满足结合律和交换律？ 解结合律和交换律都不满足，例如 (10)0=4,1。(00)=2, 故(10)0≠1(00).又10=2,01=3，故10≠01. 2.下列各集合对所规定的代数运算是否满足结合律和交换 律？ 1)M为整数集，ab=a2十b2；
12 第一章基本概念 2)M为有理数集，ab=a十b一ab. 解1)交换律满足，但结合律不满足.例如 (11)0=4,1(10)=2. 2)结合律、交换律都满足.因为易知(ab)·c与a(bc)都等 于 a十b+c-ab-bc-ac+abc 3.设M={1,2,3}.试为M规定一个满足结合律和交换律的 代数运算.再规定一个满足交换律但不满足结合律的代数运算。 解1)略. 2)例如规定： aaa=a,a°b=c. 其中a,b,c∈M,但a,b,c互异. 4.数域F上全体非零多项式的集合对于 f(x)·g(x)=(fx),g(x)) 是否满足结合律和交换律？其中(f(x),g(x))表示f(x)与g(x) 的首系数是1的最高公因式. 解·显然是代数运算且满足交换律，又结合律也满足，因为 根据最高公因式的性质知： f(gh)=(f,(g,h)=(f,g),h)=(fg)h. 5.证明本节定理3. 证略. §5同态与同构 一、主要内容 1.代数系统的同态映射与同构映射的定义 若代数系统(M,)到(M,)有映射中满足 (ab)=o(a)io(b)(Ya,bEM)
§5同态与同构 13 则称9是(M,)到(M,)的一个同态映射 若p又是双射，则称g是(M,)到(M,)的一个同构映射 (M,)到自身的同态（同构）映射，称为(M,。)的一个自同态 (自同构)映射. 2.同态映射与同构映射的性质 若代数系统(M,)~(M,),则 1)当满足结合律时，也满足结合律： 2)当·满足交换律时，也满足交换律： 又若(M,,⊕)~(M,,④)，则 3)当对⊕满足左（右）分配律时，·对否也满足左（右)分配 律。 二、释疑解难 1.若两个代数系统同构，则它们之间可能有多个同构映射存在. 若代数系统(M,。)与(M,)有同构映射存在，就说二者是同 构的.实际上，若二者同构，则它们间可能有很多的同构映射存在。 列如 M={1,一1，i,一i}(i为虚单位)， 代数运算为数的普通乘法.易知M除恒等自同构外还有自同构 x:1→1，-1→-1，i→-i,-i→i. 作为练习，请读者自己证明x是M的自同构，而且M只有恒等自 同构和x. 当然，(M,)与(M,)如果不同构就是说它们问不存在任何 的同构映射 2.对于有两个（或两个以上）代数运算的代数系统，在谈到同 态映射与同构映射时，一定要留意两个代数运算的顺序.例如，设 有代数系统(M,·,⊙)与(M,5,④)，如果M到M有一个双射p满 足
14 第一章基本概念 g(ab)=g(a)io(b), (Va,b∈M) g(a⊕b)=p(a)④p(b), 就说是关于·，⊕与，否的一个同构映射.但是如果是 g(ab)=p(a)还p(b), (Ha,b∈M) p(a⊕b)=p(a)ip(b), 则必须说”是关于。，⊕与④，（即·对应否，⊕对应）的一个同构 映射.这是因为，·，⊕及，④只是代数运算的符号，既是符号就不 能一定认为同构映射一定是·对应·而①对应⑤.所以一定要明确 代数运算顺序，不能含糊. 对同态映射也有类似情况，不再赘述 三、习题1.5解答 1.设M为实数集，代数运算是普通乘法.问：以下各映射是 否为M的自同态映射？是否为自同态满射和自同构映射？说明 理由. 1）x+|x,3)x→x2, 2)x→2x,4)x+一x. 解1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自 同构映射；3)是自同态映射，但非满射和单射.4)是双射，但非自同 构映射. 2.证明本节定理2. 证略. 3.设Q是有理数集，代数运算是普通加法.试给出Q的一个 除恒等变换以外的自同构. 解例如，9：x—→2x(Vx∈Q).显然，把2换成任意一个 非0及1的有理数后，9均为Q的非恒等自同构. 4.设集合M有代数运算·，集合M有代数运算，且M一M 问：当满足结合律时，·如何？ 解当▣满足结合律时，·不一定满足.例如，M为整数集，代数
§6等价关系与集合的分类 15 运算是减法（不满足结合律）：又M={1},代数运算为乘法（当然满 足结合律)但显然 p:x→1(Hx∈M) 是M到M的同态满射，故M~M. 5.设M1,M2,M3是三个代数系统.证明： 1)若M1≥M2,则M2三M1: 2)若M1≥M2,M2会Ma,则M1兰M3. 证1)由M1≥M,设p:x→y(Vx∈M)是其一同构映 射，则91：y→x(其中p(x)=y)显然是M2到M,的一个同 构映射，故M2二M1. 2)同理，由M1产M,M2≥M,分别设有同构映射a,x且 0:4*b, t:b→c. 则xo:a→c是M,到M3的同构映射，故M≥M. (应注意，o不能写成cx.因为此时ox是无意义的.) §6等价关系与集合的分类 一、主要内容 1.等价关系定义和简单例子，特别是例8（模4的同余类）. 2.等价关系与集合的分类的关系. 集合M的元素的一个分类决定M的一个等价关系（二元素 等价←→此二元素同在一类)；反之，M的一个等价关系决定M的 一个分类 二、释疑解难 1.等价关系与集合的分类，是近世代数中最基本的概念，也 是研究代数系统、群、环和域的最基本方法之一，例如，代数系统的 同构关系是一个等价关系，从而可把全部的代数系统按同构与否