6 第一章基本概念 (4) (先x后g) 然而，若按(1)中的“自左向右乘法”（即先。后x)则应为 x= (5) (先g后x) 从而乘积(4)与(5)有很大差异.产生这种差异的原因，就是因为元 素在映射下象的表示法不同而引起的， 这两种表示法究竞采用哪一种好，可以说各有利弊.若采用 (x),则符合通常函数的习惯表示法（通常的函数用f(x)表示，而 不是(x)f),缺点是在做乘法时则需“自右向左乘”，这跟通常行文 自左向右的习惯不符合；若采用(x)π，则虽然在做乘法时“自左向 右”符合行文习惯，但(x)x表示法本身与函数通常表示法相悖.读 者在看参考书时应予留意， 3.映射与通常函数的关系. 设y=f(x)是任意一个（实、单值）函数，D是其定义域，Y是 其值域.则根据y=f(x)我们可以确定一个D到Y的映射f,它对 于D中每个元素（实数）x都有Y中惟一的元素y=f(x)与之对 应.这就是说，对任意（实、单值）函数都可确定一个映射，并且其元 素对应法则也是一致的. 反之，任给一个集合X到Y的映射x,是否由映射x也能确定 一个函数呢？回答是否定的.这是因为X与Y不一定是（实）数 集，从而就不能由x的元素对应关系来确定一个函数，但是，若X 与Y都是数集，则可以根据映射x来确定一个函数： y=r(x)(x∈X). 这个函数的定义域是X,但其值域不一定是Y,而只是Y的一个子 集.教材中已有这样的例子，不再重复. 映射与函数除去以上差异外，还应注意：关于映射必须先明确 所涉及的两个集合X与Y是什么，再明确元素对应法则是什么；
§2映射与变换 而函数往往是先给出元素的对应法则（即自变量和因变量的对应 关系)，然后再去找其定义域和值域 三、习题1.2解答 1.设X={1,2,3,4,5},Y={0,2,4,6,8,10}.试给出X到Y 的两个单射. 解略. 2.设X是数域F上全体n(n>1)阶方阵作成的集合.问： p:A→|A 是否为X到F的一个映射？其中|A为A的行列式.是否为满射 或单射？ 解9是映射，且是满射，但不是单射. 3.设A与B是数域F上两个n阶相似方阵，F[A]为系数属 于F的关于A的一切多项式作成的集合.问：法则 p:f(A)→f(B) 是否为F[A]到F[B]的映射？其中f(x)是系数属于F的任意多 项式.又”是否为单射或满射？ 解设B=CAC1(C为F上n阶满秩方阵).若f(A)= g(A),则 f(B)=f(CAC-)=Cf(A)C- =Cg(A)C-1=g(CAC-)=g(B). 即P是F[A]到FB]的一个映射.又类似易知，P是单射和满射， 从而P是双射 4.对本节中给出的3次置换，求出下列各元素： 1)p(p(p(1)=? 2)ps(p(p2(2)=? 解略。 5,给出整数集的两个不同的双射. 解略. t-srimna
8 第一章基本概念 §3代数运算 一、主要内容 1.代数运算定义和例子. 2.变换的乘法及恒等变换 3.一个集合M的全体变换的集合T(M)关于变换的乘法作 成一个代数系统.而M的全体双射变换的集合S(M)也作成一个 代数系统，它是T(M)的一个子系统. 二、释疑解难 1.若是集合M的一个代数运算，则对M中任二元素a,b都 有M中一个惟一确定的元素d与之对应，写成ab=d.这实质上 就是加氏积 MXM={(a,b)la,b∈M} 到M的一个映射： 。:(a,b)*ab=d. 应注意，这里a,b可以相等也可以不相等，完全是M中任意的元 素.又d必须是由a与b惟一确定的元素，而且必须属于M. 2。变换是一种特殊的映射，因此，变换的乘法是由映射的乘 法（合成）所决定的，即上一节所说的“自右向左的乘法”.关于这个 乘法，由下一章将知道，T(M)作成一个有单位元的半群，而S(M) 作成一个群.当|M|=n时，S(M)就是所谓的n次对称群. 3.群是有一个代数运算的代数系统，环与域是有两个代数运 算的代数系统.近世代数最主要的任务就是讨论这两类代数系统. 三、习题1.3解答 1.设M是正整数集.下列各法则哪些是M的代数运算？
$4运算津 9 1)ab=a°；2)ab=a+b-2；3)ab=a. 解1)与3)是代数运算，2)不是代数运算. 2.设。与。是集合M的两个代数运算.如果在M中存在元素 a,b使 ab≠a。b, 则称。与ā是M的两个不同的代数运算. 如果|M=n,问：可以为M规定出多少种不同的代数运算？ 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n”. 3.试对数域F上全体n阶方阵的集合规定两个（异于矩阵普 通运算)不同的代数运算。 解例如A·B=E与A·B=AB一A一B. 4.设M={1,2,3}.问：|T(M)|=？1S(M)|=?再列出 S(M)的乘法表. 解(T(M)|=27,|S(M)=6.乘法表从略. 5.设M是正整数集合.试给出M的两个双射变换g,x,使得 0r≠TG, 解例如:1一→2,2一→1，其余x→x x:1→3,3一→1，其余x→x. §4运算律 一、主要内容 1.代数运算满足结合律、交换律和分配律的定义和例子.特 别是变换的乘法满足结合律的例子 2.代数系统中代数运算满足结合律、交换律和分配律的重要 意义（定理1、定理2和定理3）. 二、释疑解难 1.设M是一个有两个代数运算。与⊕的代数系统.在谈到分
10 第一章基本概念 配律时一定要指明是哪个代数运算对哪个代数运算的分配律.也 就是说，这两个代数运算不能同等看待不分彼此.此外还要分清 楚，是满足左分配律还是满足右分配律，还是两个分配律都满足· 如果是·对⊕满足左分配律则应为 a(b⊕c)=(ab)⊕(a°c)(a,b,c∈M): 但是，如果是⊕对·满足左分配律则应为 a⊕(b°c)=(a⊕b)(a⊕c)(Ha,b,c∈M). 2.代数运算在满足结合律、交换律和分配律时一般应证明. 但是，在不满足某个运算律时要举反例，例子越特殊越好，越能说 明问题.初学者往往以为一般说明才“完整”，“严格”，这完全是一 种误解。 3.教材中指出，对代数系统M中任意n个元素共有 5=(2n2)！ n！(n-1)！ 种加括号的方法.对此，现在证明如下： 用d(n)表示n个元素的各种不同加括号方法的总数，特别 d(1)=d(2)=1.于是易知有 d(n)=d(n-1)d(1)+d(n-2)d(2) +…十d(1)d(n-1). (1) 为给出一个求d(n)的公式，兹考虑以下幂级数： y=d(1)x+d(2)x2+…+d(n)x+… (2) 由(1)与(2)可得 y=d(1)d(1)x2+[d(2)d(1)+d(1)d(2)]x3+… =d(2)x2+d(3)x3十…+d(n)x"+…. （3) 由(2)与(3)得 y2-y十x=0. 从而由此又得 y=1--4z=1-1-4x 2