第一章 基本概念 §1集 合 一、主要内容 1.集合的表示法，子集、真子集以及集合相等的概念 2.集合的交集与并集的定义及其简单性质：幂等性、交换性、 结合性和分配性，等， 二、释疑解难 1.集合的概念是德国数学家康托尔(G.Cantor,1845一1918) 于1894年所首先建立的.到现在，集合论不仅已成为数学中一个 专门理论和独立学科，而且广泛地应用到数学的各个分支中. 在近世代数中，不仅每章每节甚至几乎处处离不开集合，由此 可见集合在近世代数中的重要性.但这只是问题的一方面.另一方 面，我们在这里讲集合主要是为在近世代数中讲最基本的概念群、 环、域作准备，而并不是要对集合本身的理论作太多和深入的阐 述.这是因为，在近世代数中只用到集合的一些初步概念，诸如子 集、真子集、集合的相等、幂集、交集、并集以及集合的差、余集和它 们的简单性质，而并不用到其他
第一章基本橱念 2.读者可能会发现，不同的书对“集合”的定义总稍有差异 这是因为“集合”是数学中最原始的一个基本概念，要真正准确地 定义它则比较困难，所以一般的书中多采用先举实例后用归纳和 描述性的方法来定义“集合” 3.关于集合，要首先注意其元素的确定性.就是说，一个元素 是或不是属于这个集合，是完全确定而不能模棱两可的.例如，若 说某年级“全体高个子同学作成的集合”就不合适.除非事先定一 个“高个子”的严格标准，否则无法判断一个同学是不是“高个子”， 也就是是不是属于这个集合. 4.关于集合的相等.应注意集合相等的概念，例如，集合 A={1,2},B={2,1},C={1,1,2) 被认为是相等的集合，即A=B=C.亦即集合中的元素既不讲次 序也不讲重复.教材中所说两个集合相等就是这个意思.也就是 说： A=B←→A三B且B二A. 因此，条件“A二B且B二A”实际上可作为集合A与B相等的定 义 教材中所说的集合一般均指非空集合.但有时也可以是空集 合，对此应稍加留意即可. 三、习题1.1解答 1.证明本节的等式4). 证任取x∈A∩(BUC),则 x∈A且x∈BUC.从而x∈B或x∈C 若x∈B,则x∈A∩B.从而x∈(A∩B)U(A∩C).因此 A∩(BUC)二(A∩B)U(A∩C) 反之，任取x∈(A∩B)U(A∩C),类似可得x∈A∩(BUC). 故 (A∩B)U(A∩C)三A∩(BUC)
§1集 合 3 因此，A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). 同理可得4)中另一等式. 2.若A∩B=A∩C,问：是否B=C?把∩改成U时又如何？ 解不一定有B=C.例如 A={1},B={1,2},C={1,3}. 把∩改成U后也不一定有B=C.例如 A={1},B={2},C={1,2}. 3.设A是有限集合，且|A|=n.证明：|P(A)|=2" 证因为|A|=n,故A的含k(0≤k≤n)个元素的子集共有 C个，从而A共有 2=(1+1)m=C9+C,+…+Cg 个子集，即|P(A)|=2". 4.设A,B是两个有限集合.证明： IAUB|+IA∩B|=|A|+1B. 证设A|=m,|B引=n,A∩B|=k,则显然 AUB=m+n-k, 由此即得要证的等式. 5.设A,B是两个集合.称集合 A-B={aa∈A,a在B} 为A与B的差集.特别，当Y三X时，用Y表示X一Y,并称为Y 在X中的余集.证明德·摩根(A·De Morgan,1806一1871)律： 若A,B二X,则 (AUB)'=A'∩B',(A∩B)'=A'UB'. 证 设x∈(AUB)',即x年AUB.故x在A且x在B.从而 x∈A'且x∈B'.故x∈A'∩B'. 从而(AUB)'二A'∩B.反推上去得A'∩B二(AUB)'.故得证. 另一等式可类似证明
第一章基本概念 §2映射与变换 一、主要内容 1.映射、单射、满射以及双射的定义和例子 2.变换、单射变换、满射变换以及双射变换的定义和例子，含 n个元素的集合有且仅有n！个双射变换. 有限集合双射变换的特殊符号和名称-一置换. 3.映射下元素或子集的象和逆象，映射的相等及逆映射等概 念 二、释疑解难 1.若p是集合X到Y的一个双射，则p有逆映射p,而p 是集合Y到X的一个双射，且根据映射的合成可知： oo=Ex, po=EY. 其中ex,ey分别为X与Y的恒等变换. 应注意，在这里不能写成pp=p91:因为乘积Pp是集合 X的一个变换，而P9是集合Y的一个变换，但X与Y可能是两 个不相干的集合，那么两个不相干的集合它们的变换怎么能谈得 上相等或不相等呢！因此，不要说不能写成”p=p驷，同样也 不能写成p'p≠pg1,因为一般而言，这是两个不可比较的对象： 当然，如果X=Y,即9是X的一个双射变换，则中与伞都是 X的双射变换，此时当然就有 o=1=Ex. 此外还应注意，如果口是集合X到Y的任意一个映射，又 B二Y,则p1(B)并不意味着P有逆映射中1（即p不一定是双 射).在这里，此时p'(B)只是一种符号，即B中所有元素在P之 下所有逆象作成的集合，它是X的一个子集，甚至可能是一个空
§2映射与变换 5 集.又若A二X,则有 A二91((A), P(p1(B)二B. 至于p1(9(A)与p(p1(B))之间一般无任何关系：因为 9(p(A)是X的子集，而p(1(B)是Y的子集；即使X=Y且 P是X的双射，也只能 9(p(A)=A,p(p1(B)=B, 此时P1((A))与(p1(B)即A与B都是X的子集，它们间也 不一定有什么包含关系. 2.关于在陕射（变换）下元素的象的表示法 设x是集合X到Y的一个映射，x∈X.则x在x之下的象 教材中用x(x)表示，这也是多数书中的表示法.但也有的书表示 成 (x)x或x (1) 的，不同的表示方法虽无实质性差别，但也会产生一些不同的影 响，主要体现在映射或变换的乘法上.例如，若σ是集合Y到Z的 一个映射，则按教材中的规定，乘积6π应为： ot(x)=0(t(I)). (2) 现在简称此为“自右向左乘法”. 若用(1)中两个表示法，则应为： (x)to=((x)t)a,Ii=(x"). (3) 应注意的是，当然不能写成(xr=((x)o)x及xr=(x),因为这 两个式子是毫无意义的（因为。是Y到Z的映射，而x∈X,故 (x)。与x°都无意义).另外易知，(3)中的两种表示法（分别称为 “自左向右乘法”及“指数表示法”)实质上是一样的.即使σ，π是同一 个集合的变换，那么“自右向左乘法”与“自左向右乘法”（及“指数表 示法”)也有差异，其最主要的是表现在置换的乘法上.例如，设 o=(g13-(6日) 则按教材中的规定（即“自右向左乘法”，亦即“先x后σ”）应为