5.2时间函数的线性无关性 必要性:反证法:设f;在[,4上线性无关,但 W(t14)奇异。故必存在一个1×行向量a,使得 W(t1,t2)=0 或者 aW(t, t2)a'=laF(t)IaF(t)],at=0 因为对于[t,切中所有t,被积函数是非负的连续函 数,故前式意味着: QF(t)=0Vt∈[t,2]矛盾。 ★
必要性： 反证法：设 fi 在[t1,t2]上线性无关，但 W(t1,t2) 奇异。故必存在一个1×n 行向 量α ，使得 1 2 α ⋅ W (, ) 0 t t = 或者 2 1 * * 1 2 ⋅= = W( , ) [ F( )][ F( )] 0 ∫ t t α ααα t t t t dt 因为对于[t1,t2]中所有t，被积函数是非负的连续函 数，故前式意味着： 1 2 αF() 0 [ , ] t t tt = ∀ ∈ 矛盾。 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 例:令(=(=B。讨论它们在0,1上的线 性相关性。令 F(=f+) 考虑Grm矩阵: W(,4)=W0)=「FF*( It t]d 34这个例子表明了Grm矩阵的一些特有性质。 45 木*2
例： 令 f1 ( t)= t, f2 ( t)= t 2。讨论它们在[0, 1]上的线 性相关性。令 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f t t t f t t F 考虑Gram矩阵： 1 1 2 0 1 2 0 ( , ) (0,1) ( ) ( ) [ ] 1 1 3 4 1 1 4 5 ⎡ ⎤ == = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ t t t t t t t dt t 0 W W F F* 这个例子表明了Gram矩阵的一些特有性质。 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 、一些有用的判别准则 定理5-2:设f1,f2,…是定义在七,t上的1Xp 的复值函数,且在,胡上有一直到(m-1)阶的连续 导数。令F表示这些向量构成的nX?矩阵,F(表示 F的第k阶导数。若在[,胡上存在某个数t,使得 如下m×p矩阵 rankF(t)F(4)…F()=n(5-6) 则在,t上,f1E2,…,f在复数域上线性无关。 证明:(略) 需要注意的是,定理52仅是充分条件。可以 反例
定理5-2：设 f1, f2 , …, fn 是定义在[t1，t2]上的1×p 的复值函数，且在[t1，t2] 上有一直到 (n−1)阶的连续 导数。令 F表示这些向量构成的n×p矩阵，F(k) 表示 F 的第 k 阶导数。若在[t1，t2] 上存在某个数 t0 , 使得 如下 n×np 矩阵 三、一些有用的判别准则 (1) ( 1) 00 0 [ ( ) ( ) ( )] (5 6) n rank t t t n − FF F " = − 则在[t1，t2]上， f1, f2 , …, fn 在复数域上线性无关。 5.2 时间函数的线性无关性 证明：（略） 需要注意的是，定理5-2仅是充分条件。可以举出 反例
5.2时间函数的线性无关性 例:F(t) E1→F()F(t 例:F(t) 0,1→[F()F(t) t33+2 [-1,0]→[F(t)F(t) 00 及t=0时,F(t)FVt ★
1 2 2 2 ( ) 1 ( ) [0,1] [ ( ) ( )] ( ) 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ = = ∀∈ ⇒ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ f t t t t tt f t t tt 例：F F F' 5.2 时间函数的线性无关性 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) [ 1,1] ( ) 3 (0,1] [ ( ) ( )] 3 3 [ 1, 0] [ ( ) ( )] 3 0 0 t 0 [ ( ) ( )] 0 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = ∀∈ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⇒ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ −⇒ = ⎢ ⎥ ⎢⎣− − ⎥⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 及 ＝ 时， t f t t f t t t t t t t t t t t t t t t t 例： F F F' F F' F F
5.2时间函数的线性无关性 定理53:假设对每个,f在[t,切上解 析。令是[t,胡中的任一固定点,则向量 函数组f;在[t,t上线性无关的充分必要杀 件是 rank[ F(toF(t) 。垂 6)…]=m,(5-7) 木*2
定理5-3： 假设对每个i, fi在[t1，t2]上解 析。令t0是[t1，t2]中的任一固定点，则向量 函数组fi 在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是 (1) ( 1) 00 0 [ ( ) ( ) ( ) ] , (5 7) − FF F " " = − n rank t t t n 5.2 时间函数的线性无关性