5.2时间函数的线性无关性 证明:充分性的证明与定理5-2相同,即用反证法可 证明。必要性:反证法。 若不然,￡在,上线性无关,但却有 rank F(t)Fo < →彐α≠0,使得 aF(G)F(0)…Fn(t)]=0 →QF(4)=0,j=0.1 木*2
证明：充分性的证明与定理5-2相同，即用反证法可 证明。必要性：反证法。 若不然， fi 在[t1，t2]上线性无关，但却有 (1) ( 1) 00 0 [() () () ] , FF F − " " < n rank t t t n ⇒∃ ≠ α 0, 使得 (1) ( 1) 00 0 [() () () ] 0 FF F n tt t − α " " = ( ) 0 F ( ) 0, 0,1, j ⇒ == α t j " 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 因为乓在,胡上解析, →6>0,使得∈[0-E,4+8l (t-t) 7! →aF(=∑aF0()=0.te[-:+ →aF(t)=0,t∈[t,本2解析开拓 →与￡在[,上线性无关的假设相矛盾o
因为fi 在[t1，t2]上解析, 0 0 ⇒∃ > ∀ ∈ − + ε 0, [ , ], 使得 tt t ε ε 0 ( ) 0 00 0 ( ) ( ) ( ) 0, [ , ], ! F F ∞= − ⇒ = ≡ ∀∈ − + ∑ n n n t t t t tt t n α α εε 1 2 ⇒ = ∀∈ αF( ) 0, [ , ] , t t tt （解析开拓） ⇒ 与 fi 在[t1，t2]上线性无关的假设相矛盾。 0 ( ) 0 0 ( ) () ( ) ! F F ∞= − = ∑ n n n t t t t n 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 对于定理53,有: 注1:若(=1…m)在1,互上解析且线性无关,则 对所有t∈[4,2 rankF(F"(t)…F0()-=n 注2:若向量组f在1,4上解析且线性无关,则f 在团t,2的每一个子区同上也线性无关。 注意:注1是无穷矩阵。如不注意到这一点容易出错 注2中t是氏t,中的任一固定点(包括端点)
对于定理5-3，有： 5.2 时间函数的线性无关性 (1) ( 1) [ () () () ] FF F − " " = n rank t t t n 注2 ：若向量组fi 在[t1，t2]上解析且线性无关，则 fi 在[t1，t2]的每一个子区间上也线性无关。 注意: 注1是无穷矩阵。如不注意到这一点容易出错; 注2中t是[t1，t2] 中的任一固定点（包括端点）！ 注1：若 fi 在[t1，t2]上解析且线性无关，则 对所有 ，有 ( 1, , ) i n = " 1 2 t tt ∈[, ]
5.2时间函数的线性无关性 例:令 sin looot F() sin 2000t sin 100ot 10 cos1000t F()F" sin20002×103cos2000t 容易看出,当t=0±Z…时,rmAF(FU 1000 木*2
例：令 sin1000 ( ) sin 2000 F ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦t t t 5.2 时间函数的线性无关性 3 (1) 3 sin1000 10 cos1000 () () sin 2000 2 10 cos2000 F F t t t t t t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ × ⎥⎦ 容易看出，当 时，rank[F(t) F(1)(t)] <2。 0, , 1000 t π = ±
5.2时间函数的线性无关性 推理5-3:设f(i1,2,…D在[t,切上解 析,则在[,切上线性无关的充分必要杀 件是在[,切2上几乎处处有 rnAF(F(t)…F(=n 证明:(略) 木*2
推理5－3：设fi(i=1,2,…n)在[t1，t2]上解 析，则fi在[t1，t2]上线性无关的充分必要条 件是在[t1，t2]上几乎处处有 (1) ( 1) [ ( ) ( ) ( )] FF F − " = n rank t t t n 证明：（略） 5.2 时间函数的线性无关性