5.2时间函数的线性无关性 2向量情形: 将以上概念推广到向量函数组的情形。令f1 2,…,f为1Xp维复值向量函数,若存在不全为 零的复数a,a2…n,使得 af(t)+af(t)+…+arf()=0t∈[12 则称1X维复值向量函数f,2,…,f在[1,2 上线性相关。否则,称为线性无关。 线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时更 为有用: 木*2
将以上概念推广到向量函数组的情形。令 f1, f2 , …, fn 为 1 ×p 维复值向量函数，若存在不全为 零的复数 1 2 ,,, α α α " n ，使得 11 2 2 1 2 ff f () () () 0 [ , ] n n α t t t t tt + + + = ∀∈ α α " 则称 1 × p维复值向量函数 f1, f2 , …, fn 在 [ t 1, t2] 上线性相关。否则，称为线性无关。 线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时更 为有用： 2.向量情形： 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 1Xp维复值向量函数组f,坛2,…且在, t上线性无关,当且仅当 a1 a F(t)=0→a=0 0 ★
1 × p维复值向量函数组 f1, f2 , …, fn 在[t 1, t 2]上线性无关，当且仅当 1 2 1 2 [ ] () 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = =⇒ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ f f α F f " # n n αα α α t 1 2 [ ], α αα α = " n 1 2 ( ) ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ f f F f # n t 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 Gmam矩阵 定义:设f,五2,…,f是定义在[,胡上的1xp 维复值向量函数,F是由￡构成的n?矩阵。则 称 W5)m=F(F+( 为f(=1,2,…,m)在[,胡上的Gram矩阵。其中, F表示F的复共轭转置。 木*2
二、Gram 矩阵 定义: 设 f1, f2 , …, fn 是定义在[t1，t2]上的1×p 维复值向量函数，F是由 fi 构成的n×p矩阵。则 称 2 1 1 2 W FF ( , ) ( ) *( ) × = ∫ t n n t t t t t dt 为fi (i=1,2,…,n) 在[t1，t2]上的Gram矩阵。其中， F*表示F的复共轭转置。 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 注意:当给定1和t后,上式右蜡的积分是常数阵。 下面的定理将表明,Grea矩阵的引入给向量组 无关性判别茆來了很大的方便。 定理5-1:令,f2,…,f是定义在[,2上的1Xp 复值连续函数,令F是以f;为其第1行的nXp矩 阵,则ff2,…,f在[t1,t2]上线性无关的 充分必要杀件是nⅪn常值矩阵W(t,t)非奇异。 木*2
注意: 当给定t1和t2 后，上式右端的积分是常数阵。 下面的定理将表明，Gram矩阵的引入给向量组 无关性判别带来了很大的方便。 定理5-1: 令f1, f2 , …, fn是定义在 [t1，t2]上的1Xp 复值连续函数，令F是以fi为其第i行的nXp矩 阵，则f1, f2 , …, fn在 [t1，t2]上线性无关的 充分必要条件是nXn常值矩阵W(t1，t2)非奇异。 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 证明:充分性:反证法。 事实上,若f;线性相关,则存在非零1×m行向 量q,使得 aF(t)=0Vt∈[t,t1 因此有 aW(t, 2)=a F(tF*()at=0 即W(1,)行线性相关→dtW(4)=0,矛盾。 ★
证明：充分性：反证法。 事实上，若 fi 线性相关，则存在非零 1×n行向 量α，使得 1 2 α⋅F() 0 [ , ] t t tt = ∀∈ 2 1 1 2 ⋅ =⋅ = W FF ( , ) ( ) *( ) 0 ∫ t t α α t t t t dt 因此有 即 W(t1, t2) 行线性相关 ，矛盾。 1 2 ⇒ = det ( , ) 0 W t t 5.2 时间函数的线性无关性