5.2时间函数的线性无关性 组给定函数在某个区间上的线性相关性 1标量情形: 定义:考虑一组定义在区间[11l上的复值连续函数 152 n5 有 若存在一组不全为零的复数a12…an2使得 G1f()+a22(+)+…+an,f(t)=0t∈[t,t2] 成立,则称在复数域上,实变量复值函数f12 f在区间[4,42]上线性相关。否则,称其为 在[4,42]上线性无关。 木*2
11 2 2 1 2 α () () () 0 [ , ] + + + = ∀∈ α α " n n ft f t f t t t t 若存在一组不全为零的复数 1 2 ,,,, α α α " n 使得 成立，则称在复数域上，实变量复值函数 1 2 f , , f , n " f 在区间 1 2 [, ] t t 上线性相关。否则，称其为 1 2 在 [, ] t t 上线性无关。 定义：考虑一组定义在区间 1 2 [, ] t t 上的复值连续函数 1 2 ,,,, n f f f " 有： 5.2 时间函数的线性无关性 一、一组给定函数在某个区间上的线性相关性 1.标量情形：
5.2时间函数的线性无关性 注意 1)实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函 数。 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性 不同,当讨论一组变量的线性相关性或无关性 时,给出变量所定义的区间至为重要。 3)a1a2…;an为复常数。 4)不失一般性,可假设七2>。f(1在区间上的 连续性假设将贯穿于整个讲义。 木*2
2) 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性 不同，当讨论一组变量的线性相关性或无关性 时，给出变量所定义的区间至为重要。 3） 1 2 ,,, α α α " n 为复常数。 4) 不失一般性，可假设t2>t1。fi (t) 在区间上的 连续性假设将贯穿于整个讲义。 注意： 1) 实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函 数。 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 例:令f()=t,()=B,讨论它们在0,1上的线 性相关性。 根据定义,考虑方程t=at,vt∈0,。这样的常数 a不存在,因此,它们在0,1上线性无关 木*
例：令f1(t)=t, f2(t)=t2，讨论它们在[0, 1]上的线 性相关性。 根据定义，考虑方程 。这样的常数 α不存在，因此，它们在[0, 1]上线性无关。 2 ttt = ∀∈ α , [0, 1] 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 例:讨论定义在[-1上的两个连续函数和2 分别在[-1,0],[0,1,[-1,1上的线性相关性和线性 无关性 t,t∈0 f2(t) 木*2
1f () , t t = t ∈[ 1, 1] − 2 , [0, 1] ( ) , [ 1, 0] t t f t t t ⎧ ∈ = ⎨⎩− ∈− 例: 讨论定义在 [ 1, 1] − 上的两个连续函数 1f 和 2f 分别在 [ 1, 0], [0, 1], [ 1, 1] − − 上的线性相关性和线性 无关性： 5.2 时间函数的线性无关性
5.2时间函数的线性无关性 从上例可见,虽然一个函数组在某个时间区间 t1d]上是线性无关的,但在[4中的某个子区 间上却可以是线性相关的。然而在t上一定存 在这样的子区间,函数组在这个子区间上是线性 无关的,而且在包含这个子区间的任何区间上都 是线性无关的。在上述例子中,[e,日]就是这 样的子区间,这里是小于1的任何正数。 木*2
从上例可见，虽然一个函数组在某个时间区间 [t 1 , t 2]上是线性无关的，但在[t 1 , t 2] 中的某个子区 间上却可以是线性相关的。然而在[t 1 , t 2]上一定存 在这样的子区间，函数组在这个子区间上是线性 无关的，而且在包含这个子区间的任何区间上都 是线性无关的。在上述例子中，[− ε, ε ] 就是这 样的子区间，这里 ε 是小于 1的任何正数。 5.2 时间函数的线性无关性