与学李宣·每文告 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 第一章 函数、极限、连续 表1.1-2函数的几种特性 性质 定 义 图例或说明 表1：1-1函数及相关的定义 如果蹈数y )的定文城 名称 定 义 要点 补充说明 关十鲸点对 称，并且对任怠 议D是…个非常集合，若按照某一 奇函数 的￥∈D均布有 确定的对应法则了，对于母一个x 对应 1.x称为白变址，y为因变量 fr- x》,期称y 函数 ∈D,都有惟确定的实数y与之 规则、」2.R={代x)x∈x}为 奇 八x》为奇灼数 对应，则称对应法期f是定义在D定义域 函数的值域 上的函数，D称为函数∫的定义赋 如果函数y= 具)的定义城 的数 平面上点集 D关于原点对 的图 t(,八x)|x∈X]称为函数 西函数 称，并且对任总 的x∈D均行， 形 f代x)的图形 f(-x)mf八x) 则称八x)为偶 设函数y=代：)的定义城包含“ 对应规 =g(x)的值城，则在函数g(x)的 复合 则、定 定义域X上可以确定一个函数y= 的数 义城 酒数八x)在：D f爪g(x)],称之为g与f的复合函 上有定义，对任 值城 度的，∈D, 数.记作y=八g(x)]或y=fg 递州) 且x1<,均有 设y=(x)为定义在D上的函数， 单 R为值域，如果对任意的y∈R, 些y=f八x)反函数用y= 反函 有惟一的x∈D使得八x)=y,这 (x》表示时，其图像与 函数*）任 数 其实确定了￥为y的一个附数，称 原的数y=代x)的图像关 单潤下 定义，对任怎 之为函数y=八x)的反函数，记作 于y=x对称 降（单调 的12EX, 且：均有 x=∫(y),或y=f(x) f代1）a八和】 初等 基本初等函数经过有限次的四则 有限次 基木初等函数见后 函数 运算及复合运算后所得到的函数 复合 表1.1-3 基本初等函数 名称 定义式放性质 图例 不F 性质 定 义 阳例或说明 若严格不等号成立，则称严格单湖上升（下浒） 常数 y(x)sC,(-w<x<+的) 函数 过(0，C)点的肖线 女f 函数八x在D上定义： 若存在M>0,使得对任 ymr°，(0<x<+,r≠0们 9c0a>1 有 意的￥ED,均有 a>0时，两致作0.+ 八x)≤M(或存在 x)上严格上升 性 m.M,使得雕三升x》三 M成立)，则称函数八x》 酥函数 a<0时，的数在(0。， 0<a<1 x)卜严格下降 在D上是有界数 即函数的图形位于y=M与y=-H之间 y=x与y=x 上万为反函 数￥∈(0，+) 数八x)作D上定文 无 若对任意的M>0,都存 例：：)=在0.+)上无界因为对任意的 在xa∈D,使得 指数 1 y=(a>0,a≠1) 八。)>M,则称 M>0.取知=M年则n)=M+1>M 函数 过点(0，I》 f代x》在D:无界 设函数y=八x的定义 域为D,如果存在T> 0.使得对任意的x∈D 周 均有￥±T∈D且八x+ 若T是只x)的周期，则(1)fx+T)=八x), y=ogx,(a>0,a+1,0< (k为然数)：(2)f(ar+6)〔a≠0，b∈)是 对数 x<+o) T)=f八x)成立，则称 y=a与y=lgx生为 性 y=logn y兰氏x)为周期函数，T 个以日引为周期的数 函数 反听数，（若ae,y= 称为函数的一个周期， logx为y=nx) U<a<1 道常所说的周期为最小 正周期
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分 1 第一章 函数、极限、连续
,亏学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 名称 定义式及性质 图例 表1,2-1极限定义 分类 定 义 补充说明 正监函数y=nx,(-< <+) 血a 对任意的e>0,均存在N,使得当n>N时恒 有1名，-a1<e 余函数y=c0x(-0<x 分类 补充说明 <+0） 对任意的6>0，均存在8>0，使得当 要 )-A 0<ix-01<8时指有1f(x)-A1<e 三角 5mf代x）sA 对任意的意>0，均存在X>0,使得当 函数 1x1>X时有1f(x)-A1<e 正切两致y=anx,(x≠红+ 受kn0.±，2…） limf(x)=A 对任意的e>0,均存在8>0，使得当 7不7 0<-和<6时恒有1f八x)-A|<E 右极限 lim f()=A 对任意的>0，均存在8>0，使得当 的 0<约-x<6时恒有1f爪x-A1<e 左极限 余切函数y一0tx,(x≠kr, lim f(a)=A 对任意的e>0,在X>0,使得当x>X时而 =0.±1，±2，) 极 有八x)-AI<e linfs)A 对任意的e>0,均存在作X>D,使得当<-X 时恒有1八x)-AI<e 名称 定义式及性质 图例 表1.2-2序列极限的性质 椎一性 若序列x的极限存在，则极限值是惟一的 反正弦函数y=arcsinx,(-1 有界性 若序列{名.：有极限，则序列引名有界 ≤≤山，-受ye) 有序性 若名运X(n≥)且1m=a,lm为=b,则a≤b 设x,x的极限存在且m,=a,imx=6,则 四 (1) lim(去方）=a士b=lim名±im: 反余弦函数y=oe,(-1 鱼 (2) m(x·)=a·b=im·im 看x≤1.0≤y≤x） 算 (3) 者0则归会行一款 反二角 函数 反正切菌数y=arc1anx,(-0 反余切函数y=rocl, (-m<<+画，0<y<元) 2
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方学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.2-3 函数极限的性质 表1.2-6常用已知极限 维一性 若极限八x)存在，则极限值惟一 (1) }=0, (2) im石=↓(a≥0) 等，完全类似 局部 若极限四（)存在，则函数八x)在 注：对x一，黑+石，者的 (3) mg=0(1g1<D 有界性 ④)+.1 0的某个去心邻城内有界 等，有类似结果 设在0的某个去心邻城内有八)运 (5) 有序性 g)其卿）·A,《）=B, 注，问上 则A≤B 堂牌注ew堂w堂m堂%史%父%s0a6宝67e6望a626里a5望2s望6s里 设i)=A,im)=B则 (),x)±gx刀*A±B= §1.3 无穷小量与无穷大量 重5里cs堂6望6望6父T6灾a6变a5笙a57as望a时望5望as空a6里a4空 现)±8 四 (2) 运算 n)·(1。A,台。 表1.3-1无穷小与无穷大的定义 ):吗 注：同上 定义 附注及例子 (3) 若8，则铝=青： 例1im名=0，则1x,}称作无穷小量 极限为0的变量称作无穷小鼠 lin Kx) 小 x}=0,则代x)称作当x→0时的 1m6 无穷小量 荟的使母有 0<1￥-018时， 恒有1八x)1>M,则 注：①同样可定义x→有，x→材时的 表1.2一4极限有在的判别准则 时的无 称f八x)为x时 无穷大量②还可以定义i代x)=± 穷大量 的无穷大量，记作 设{x,y.,{x。}兰序列满足： (1) 无 1imf八x）=4 夹逼 定理 (2) limy.lin.a. 则im名=& 量 若对任意的M>0,行 存在准则 在X>0使符当 注：①同样可定义x→+，x→-时 单调递增有」上界的数列必有极限 1￥【>X时恒有1 时的无 f代x)1>M,则称f代x】 的无穷大量 单湖递减有下界的数列必有极限 穷大量 为x中四时的无穷大 ②可以定义mx)=生∞等 量，记作1im代x)= 设(1)在n的某去心邻城内有：g(x)≤ f八x)Eh(x), (2) 定 a6(）=imh(x)=A 注：对x·x,±0以及 x+对，行有类似结果 数 lim f(x)=A 型 单 侧 则 设y=八x)作和的某去心邻战内有定 义，则八x)在的充分必要条件起 注：对年·，有类似结果 n八x)与Jif八x)任在I等 表1.2-5 两个重要极限 基本形式 变型 若x+□时，《)→0，则1m.1, 四=1 中☐可以定0，∞，±￥，好，行等 () 1*片=，(2)m(1+）广”=e (3) 若x☐时，)0，则 1+女)护=e 1+✉a= 代□可以是知，，士0，对，行等 2
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勿亏学数言·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.3-2无穷小量与无穷大量的性质 6空a堂e空to里w2堂o里2oso望oYo里o策es欧as7aeY 性渍 §1.4函数的连续性 堂es空afoa2宜oa量o亚e堂o空a宜6 (1) 有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量 (2) 无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量 (3) 无穷小量 细x)=A爪x)=A+(x,其中(x)为x+ 1.4.1 主要内容及理解记忆方法 口时的无穷小量 表1.4一1连续的定义 ④。a,~g(x→口，则吗是=吗g 设函数y=(x)在和 设y=八x)东n的某 (1) 若)为一口时的无穷小且八)0，则大名为 设y=fx)在0的菜 的菜一邻城内有定义， 一邻域内有定义·如果 三个等价定义 个邻域内有定义，如柴 无穷大与无穷小的 x+☐时的无穷大量 imf八x)。f八o》,则 4y=f八知+4） 对任意e>0.存在8 关系 (2)若八)为x→口时的无穷大，则动为x一→口时的 知).如果2y= >0,使得当1x-和 1<石耐恒有1代x)- 无旁小 称函数y=(x)在和 0,则称y=八x)在o 处，连续 代xu)1<e,则称y= 处连续 f(x)在和处连续 表1.3-3无穷小量阶的比较 定义 记号 设凡x),g(x)均为 一口时的无穷小 若y=(x)在和的某个左邻城(0-8，和]内有定义，115m八x）= 量 f八x)与g(x)为同阶 无穷小量 如果鸟铝=0 左连续与右连续 八和），则称y=Ax)在0处左连续 若y(x》在n的菜个右邻城：0，和+)内有定义，且im八x)= f代*)与g(x)为等价 无穷小 知果蚂铝。1 (x)~g(x)(x+▣) 八)，则称y=f八x)在和处右连续 f八x)为g(x)的高阶 无穷小 如果凫器=0 8(x)= o(fx)),(￥ (或g(x)为x)的 +□) 低阶无穷小) 若y=八x)在区间(@，b)内每-点处均连续，则称八x)在(a,b)内连线 八x)为g(x)的k阶 f孔） 若y=代x)住风间(a,b)内连纹，且在x=a处右连续，王=b处左连续 无穷小（其中k>0 则称y=f八x)在[a,b]上连续 为常数) 如果吗e0 的边续性 表1.3-4常见等价无穷小量的例子(x·0) 表1.4-2连续通数的性质 ing一x tanz ~x 1-eosx2 左 e2-】←米， ln(1+x)-x, 1*-1六 右连续与 y=f代x)在和处连续的充分必要条件是y=f八x)在和处慨左连续，又读 续 arctanxx 注：常用干分段的数在分段点处连续性的讨论 四则运算性质 设y=八x),y=g(x)在和处均连续，则八x)±g(x),J(x)·g(x)以方 g(o)≠0)在0处也监续 gtah 复合运算 设y-)在“=o处，u=g(x)在￥。和处连续，且w=g(和），则家 合函数y=爪g(x门在处连续 涵数的连续性 设y=f(x)在[a,b]上连续山严格单调，值城为[a,B],则其反函数x= 9(y)在[a,]1上存在，在[a,]上连绕，并且单测，其单调性与原来南数的 单调性一致 切初等函致在其定义区间内连线 函数的连续 注这里定义区问祁当关键，例如 y=arcsin(e出)是初等函数，其定义 城为女=杯，k=0,女1，±2，…. ·般不讨论这种函数的连接性
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与学李纹·每文告研 海文钻石卡学员专用内部资料一数学部分 表1.4-3闭区间上连续函数的性质 本章知识网络图 性质 补充说明 设y=八x在[a,}上连缕，则y=x)一 最值定理 定在[a,b】上存在最大值与最小值：郎存在 定义（特点） ,y∈[c,b】.使得对任意的x∈[a,b],均 有：f)∈x)蓝八y) 性质（有界性、单调性、奇偶性，周期性） 函数{ 基本初等函数（定义，性质、图形） 界定理 设y=八x)在[a,b】上连续，则y=f代x)在 [a,b]上有界 反函数 复合明数 没y=f代x)在[a,b].上连线，则对任意介于 这五条性质中，闭区间的要求 序列极限(：一N定义) 值定理 仪a)与f代b)之间的慎y,一定存在∈【a, 是本质的，不可轻易替换，此 数 ]使八)=y 外，琴点存在性质显然为介值 拨限 定义 limf具x) 定理的推论，有界性定薄为最 设y=八x》在[a,b]上连续，且八x)在[a, 值定理的淮论 介值定理论 ]上的最大值，最小值分别为M与m,期对 函数极限(：-8定义)人 任意y∈{m,M],均存在∈[a,b]使得 代)=y 左右极限 极限 性质（单阁性和夹通定理） 零点存在定理 设y=f八x)在[a,b]上连续，并且f孔a) 定义和性质 f八b)<0,则一定#在e∈(a,b),使得f八) 无穷大与无穷小 =0 阶的分类和比较（高阶、低阶，同阶、等阶、阶》 逢续与间断 表1.4-4间断点及其分类 定义 分类 可去间 lim八x)·imx),但八》在处不连续，则称 6 一的 第 和为氏x)的可去间断点 若y=fx) 点 在和的某个 类 去心邻峨内 第二章 导数与微分 有定义，月y 些 1imx,limx)存在，伯im八x)≠lia八x), =f代x)在 点 跳跃间 2222222X 一6 广名 处不连续，则 则称知为孔x)的跳跃间晰点 点 堂a望Rs望里a宜堂o宜堂 弥为 §2.1导数 y:八x)的 一个间断点 第二类间 lim代x,im八x)中至少有一个不存在的闾断点 2.1.1 主要内容及理解记忆方法 玉0 表2.1-1导数的定义 点 名称 定义 记号及表达式 设函数y=八x)在和某一邻域内有 ∫(0)= 小结 函数八x) 定义 在和处的 f八o+4r)-f八】 +a- 利用左右极限存在且相等并等于该点的函数值这一函数在某点连 是 Ar 导数 荐在，则称函数八：)在0处可导，并 将该极限值陈作八x)在0处的导数 ·im)-八) 0 x一0 续的充分必要条件，来判别函数，特别是分段函数在某点处的连缕性，间 断点以及间断类型是非常有效的：利用连续性及等价无穷性质来计算极 限，特别是与重要极限相关的极限，是非常简捷的；在利用闭区间上连续 函数的零点存在定理证明根的存在性时，一般需将方程一端化为0，另 一端即为所常构造的函数。 5
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