沈阳师范大学：《线性代数》课程教学课件（讲稿）第3章 向量与线性方程组 3.6 线性方程组解的结构

3.求基础解系的方法设 A=[α,,满足AX=O 且秩(A)=r，由方程组求解的知识可知AX=O的解可以表达为：5251Gn-分别记为X, = -Ci,r+iti -...- Cintn-r?X2 = -C2,r+iti -...- C2ntn-r?其中t,,tn-,为任意常数。x =-Cr,r+ifiCrntn-X-C1,r+1-C1,r+2CanXr+1 =ti,-C2,r+1C2n-C2,r+2·..:=t.Xx.-Crn-Cr,r+1-Cr,r+2+t2=t+：+tn-r100Xr+l00Xr+2将此式改写为向量形式00Xn

, ij m n A a       AX O 秩( ) , A r  AX O 1 1, 1 1 1 2 2, 1 1 2 , 1 1 1 1 , , , , , r n n r r n n r r r r rn n r r n n r x c t c t x c t c t x c t c t x t x t                                  1 2 , , , n r t t t  设 满足 且 由方程组求解的知识可知 的解可以表达为： 其中 为任意常数。 将此式改写为向量形式 1 1, 1 1, 2 1 2 2, 1 2, 2 2 , 1 , 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n r r n r r r r r rn n r r r n x c c c x c c c x c c c t t t x x x                                                                        .     1  2  n r   分 别 记 为 3. 求基础解系的方法

Si,52,,5n-r均为AX=O 的解向量，则齐次线性方程组 AX=O的通解可表为 =t5i +t252 ++tn-r5n-0-1AX=O的任意一个解都可以经51,52,"",5n-r线性表示,这组解向量就是AX=O的一个基础解系秩([ 2 ... n-,D=n-r所以S1,52,",5n-r 线性无关,因此它就是齐次线性方程组 AX=O的一个基础解系= tSi +t2S2 +..·+tn-rSn-r 称为 AX=O 的通解。的基础解系可以不唯一，注意：AX=O但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为n-r个

1 2 , , ,    n r  均为 AX O 的解向量，则齐次线性方程组 AX O 1 1 2 2 , n r n r     t t t 的通解可表为       ( )    1 2 n r  n r 秩    这组解向量就是 AX O 的一个基础解系 因此它就是齐次线性方程组 AX O 的一个基础解系 1 1 2 2 n r n r     t t t       称为 AX O 的通解。 AX O 1 2 , , , 的任意一个解都可以经    n r  线性表示， 但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为n-r个 AX O 的基础解系可以不唯一， 1 2 , , , 所以    n r  线性无关， 注意：