授课题目2 学时89.2牛顿一莱布尼茨公式1.理解微积分基本定理的意义；教学内容2．应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分教学目标深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，教学重点熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分教学难点牛顿一莱布尼茨公式的证明.教学方法“系统讲授”结合“问题教学”注释教学过程及授课内容课通过上一节的学习，利用积分定义计算一般定积分时很困难的，由此引出程导本节的主要内容：牛顿一莱布尼茨公式入定理9.1若函数f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即F'(x)= f(x),xe[a,b]则f在[a,b]上可积，且()J" f()dx =F(b)-F(a)这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成["f(t)dx=F(t))。证：由定积分定义，任给6>0,要证存在8>0，当T<8时，有讲授含(5)x,-[F(b)-F(a)<8新课下面证明满足如此要求的确实是存在的事实上，对于[a,b]的任一分割T={a=xo,x",x,=b)，在每个小区间[x-,对]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，则分别在n, e(x-,x),i=1,2,...nF(b)-F(a)-Z[F(x)-F(x-1)](2)-F(n)=(n)A,27
27 授课题目 §9.2 牛顿—莱布尼茨公式 2 学时 教学内容 1. 理解微积分基本定理的意义； 2. 应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学目标 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学难点 牛顿一莱布尼茨公式的证明. 教学方法 “系统讲授”结合“问题教学”． 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 通过上一节的学习，利用积分定义计算一般定积分时很困难的，由此引出 本节的主要内容：牛顿—莱布尼茨公式 讲 授 新 课 定理 9.1 若函数 f 在 a b, 上连续 ,且存在原函数 F ,即 ' F f x a b x x , , 则 f 在 a b, 上可积 ，且 d 1 b a f x x F b F a 这称为牛顿—莱布尼茨公式 ,它也常写成 d . b a b a f x x F x 证： 由定积分定义 ,任给 0 ,要证存 在 0 ,当 T ＜ 时,有 1 n f x F b F a i i i 下面证明满足如此要求的 确实是存在的. 事实上,对于 a b, 的任一分割 T a x b 0 1 ,x , ,xn ,在每个小区间 xi i 1 , x 上对 F x 使用拉格朗日中值定理 ,则分别在 i i i x x i n 1 , , 1,2, 1 1 1 1 n i i i n n i i i i i i F b F a F x F x F x f x 2
因为f在[a,b]上连续，从而一致连续，所以对上述6>0,存在6>0当x,x"e[a,b]且|x'-x<3时,有(x)-(x)<-a于是，当Ax,≤[时，任取5,[x1x,],便有|5,-n]8,这就证得Zr(5) 4r -[F(b)-F(a)=2[(5)- (n)]Ar,(6)-()=6所以f在[a,b]上可积,且有公式(1)成立.注1在应用牛顿一莱布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得注2定理条件尚可适当减弱，例如：1)对F的要求可减弱为：在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且F(x)=f(x)，xe(a,b).这不影响定理的证明2)对f的要求可减弱为：在[a,b]上可积(不一定连续）.这时(2)式仍可成立，且由了在[a,b]上可积，(2)式右边当T→0时的极限就是["(x)dx，而左边恒为一常数.（更一般的情形参见本节习题3题.）注3至$5证得连续函数必有原函数之后，本定理的条件中对F的假设便是多余的了例1利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：3)(0<a<b);x"dx（n为正整数)；2)J'e'dx；5) x4-xdx.sin xdx,）28
28 因为 f 在 a b, 上连 续,从而一致连续,所以对上述 0 ,存 在 0 , 当 x x a b , , 且 x x 时,有 f x f x b a 于是，当 i x T 时,任取 i x x i1 , i ,便有 i i ,这就证得 1 n i i i f x F b F a 1 n i i i i f f x 1 n i i i i f f x 1 n i i x b a 所以 f 在 a b, 上可积,且有公式 1 成立. 注 1 在应用牛顿—莱布尼茨公式时, F x 可由积分法求得. 注 2 定理条件尚可适当减弱,例如: 1)对 F 的要求可减弱为:在 a b, 上连续,在 a b, 上可导,且 ' F x f x , x a b , .这不影响定理的证明. 2)对 f 的要求可减弱为:在 a b, 上可积(不一定连续 ).这时(2)式仍可成 立,且由 f 在 a b, 上可积,(2)式右边当 T 0 时的极限就是 ( ) b a f x dx ,而 左边恒为一常数.(更一般的情形参见本节习题 3 题.) 注 3 至§5 证得连续函数必有原函数之后,本定理的条件中对 F 的假设便是 多余的了. 例 1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分: 1) b n a x dx ( n 为正整数)； 2) b x a e dx ； 3) 2 0 ; b a dx a b x 4) 0 sin ; xdx 5） 2 2 0 x x dx 4 . 解 1) 1 1 1 1 . 1 1 n b n n n a x b x dx b a n n a 2） . b x x b a a b e dx e e e a
元3 [sin xdx = --2cosxxaab5) x/4-rd=-[N4-xda(4-x-)=-$V(4-x)+c28V4-rdx=-1 /(4-x)0321例2利用定积分求极限：lim-n-→(n+1n+22n解把此极限化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分.为此作如下变形：J=lim.！-1+n1→0n在区间[0,1]上的一个积分和.所以,不难看出，其中和式是函数F(x)=1+xJ=l"=n(+)b=ln2Jo1+xJo当然，也可J把看作f(x)=一在[1,2]上的定积分，同样有dxdxJ=...=ln2Y1【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分思和的形式，考与练习人课后作业：P209:2,(1),(3)结与作业教学反思29
29 3) 2 1 1 1 . b a dx b x x a b a 4) 0 sin cos 2. 0 xdx x 2 2 2 3 2 2 3 2 2 0 1 5) 4 4 4 2 1 4 3 1 8 2 4 4 . 3 3 0 x x dx x d x x C x x dx x 例 2 利用定积分求极限: 1 1 1 lim n 1 2 2 J n n n . 解 把此极限化为某个积分和的极限式,并转化为计算定积分.为此作 如下变形: 1 1 1 lim . 1 n n i J i n n 不难看出,其中和式是函数 1 1 f x x 在区间 0,1 上的一个积分和.所以, 1 0 1 ln 1 = ln 2 1 0 dx J x x 当然,也可 J 把看作 1 f x x 在 1,2 上的定积分,同样有 2 3 1 2 ln 2 1 dx dx J x x 思 考 与 练 习 【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分 和的形式． 小 结 与 作 业 课后作业：P209:2,(1),(3) 教 学 反 思
授课题目4学时89.3可积条件1.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质；教学内容2.掌握可积的充要条件及可积函数类；3.能独立地证明可积性的问题教学目标掌握定积分可积条件、可积函数类教学重点可积性判别.教学难点可积函数类的证明教学方法系统讲解法.注释教学过程及授课内容可积的必要条件定理9.2若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界证用反证法.若f在[a,b]上无界,则对于[a,b]的任一分割T,必存在属于T的某个小区间△，f在△,上无界.在i+k的各个小区间A上任意取定5,并记G=Z/(5)Axlik现对任意大的正数M，由于f在A上无界，故存在EA，使得[(e) 讲授新讯Zr(5)x ≥1(5)Ax1-/(5) Ax,课于是有M+G.Ax -G= M.Axk由此可见，对于无论多小的T，按上述方法选取点集()时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f在[a,b]上可积相矛盾。这个定理指出，任何可积函数一定是有界的；但要注意，有界函数却不一定可积.0x为有理数例证明狄利克雷函数D(x)=1,x为无理数30
30 授课题目 §9.3 可积条件 4 学时 教学内容 1.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质； 2.掌握可积的充要条件及可积函数类； 3.能独立地证明可积性的问题. 教学目标 掌握定积分可积条件、可积函数类. 教学重点 可积性判别. 教学难点 可积函数类的证明. 教学方法 系统讲解法. 教学过程及授课内容 注 释 讲 授 新 课 一 可积的必要条件 定理 9.2 若函数 f 在 a b, 上可积,则 f 在 a b, 上必定有界. 证 用反证法.若 f 在 a b, 上 无界,则对于 a b, 的 任一 分割 T ,必存在 属于 T 的某个小区间 k , f 在 k 上无界.在 i k 的各个小区间 i 上任意取 定 i ,并记 G f x i i i k , 现对任意大的正数 M ,由于 f 在 k 上无界，故存在 k k ，使得 k M G f i x 于是有 1 i i k k i n i i i k f x f X f x . k k M G x G M x 由此可见,对于无论多小的 T ,按上述方法选取点集 i 时,总能使积 分和的绝对值大于任何预先给出的正数,这与 f 在 a b, 上可积相矛盾. 这个定理指出,任何可积函数一定是有界的；但要注意,有界函数却不一 定可积. 例 证明狄利克雷函数 0, 1 x D x x 为有理数 ， 为无理数
在[0,1]上有界但不可微证：显然D(x)≤1,xE[0,]]对于[0,1]的任一分割，由有理数和无理数在史书中的稠密性，在属于T的任一小区间△,上,当取5,全为有理数时，D(5)Ax,=≥4x=1；当取5,全为无理数时，之D(5)Ax,=0.所以不论|T多么小,只要点集(5)取法不i=同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即D(x)在[0,1]上不可积二可积的充要条件要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的．下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值设T={Ax,|i=1,2,",n)为对[a,b]的任一分割。由f(x)在[a,b]上有界知，它在每个△x上存在上、下确界：M, =supf(x),m, = inf f(x),i=1,2,..,nXEAX,XEAX,S(T)=ZM,Ax,, s(T)=Zm,Ax,作和合分别称为f(x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给5,Ax,，i=1,2,n，显然有s(T)≤f(,)Ax,≤S(T)说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点，的取法无关，定理9.3（可积准则）函数f在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在相应的一个分割T，使得(2)S(T)-s(T)<8本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论.这里从略（完整证明补述31
31 在 01， 上有界但不可微. 证：显然 D x x 1, 0,1 . 对于 01， 的任一分割,由有理数和无理数在史书中的稠密性,在属于 T 的任一小区间 i 上,当取 i 全为有理数时, 1 1 1 n n i i i i i D x x ；当取 i 全为无理数时, 1 0 n i i i D x .所以不论 T 多么小,只要点集 i 取法不 同(全取有理数或全取无理数),积分和有不同极限,即 D x 在 01， 上不可 积. 二 可积的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近 某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难 的．下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值． 设 T={ i x i 1,2, ,n }为对[ a ,b]的任一分割．由 f (x) 在[ a ,b]上有界 知，它在每个 i x 上存在上、下确界： i x x i M f x sup ( ), i x x i m f x inf ( ) ,i 1,2, ,n . 作和 n i i i S T M x 1 ( ) ， n i i i s T m x 1 ( ) ， 分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达 布和）任给 i i x ，i 1,2 ,n ，显然有 s(T) f ( ) x S(T) i i ． 说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i 的取法无关． 定理 9.3(可积准则) 函数 f 在 a b, 上可积的充要条件是：任给 0 ,总存 在相应的一个分割 T ,使得 S T s T 2 本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论.这里从略 (完整证明补述