于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：1=[2(-1),_2(-1)t-2t-32 +3=(t22t3) 2(t-1)22dtarctan3aV3t~+3JR-2x-3-X+C2arctanN3V3Vx2-2x-3-xVx2-2x-3_元注1可以证明：arctanarctar3(x+1)所以两种解法所得结果是一致的.此外，上述结果对x<0同样成立，注2相比之下，解法二优于解法一，这是因为它所选择的变换能直接化为有理形式（而解法一通过三次换元才化为有理形式）.如果改令Vx2-2x-3=x+t,显然有相同效果一一两边各自平方后能消去x项，从而解出x为t的有理函数：一般地，二次三项式ax2+bx+c中若a>0，则可令Vax+bx+c=Jax±t若c>0，还可令ax?+bx+c=x±Vc这类变换称为欧拉变换-些不能用初等函数有限表达的积分思考dxdx与sin X dx.Jinx练习xV1+ x小结课后作业：P183:1(1)(2)(3)，2(1)(3)与作业教学反思22
22 于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 2 arctan +3 3 3 2 2 3 arctan 3 3 t t t t I dt t t t t t dt C t x x x C 注 1 可以证明: 2 2 2 3 2 3 arctan arctan 3 3 1 3 x x x x x x ， 所以两种解法所得结果是一致的.此外，上述结果对 x 0 同样成立. 注 2 相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为 有理形式（而解法一通过三次换元才化为有理形式）.如果改令 2 x x x t 2 3 ， 显然有相同效果——两边各自平方后能消去 2 x 项，从而解出 x 为 t 的有理函 数 . 一 般 地 ， 二 次 三 项 式 2 ax bx c 中 若 a 0 ，则可令 2 ax bx c ax t 若 c 0 ，还可令 2 ax bx c xt c 这类变换称为欧拉变换. 思考 与 练习 一些不能用初等函数有限表达的积分 小 结 与 作 业 课后作业：P183:1(1)(2)(3)，2(1)(3) 教学 反思
授课题目89.1定积分概念2学时1.定积分的客观背景一一曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法教学内容2.深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学目标深刻理解并掌握定积分的思想教学重点深刻理解并掌握定积分的思想教学难点定积分定义的完整阐述教学方法系统讲解法注释教学过程及授课内容问题背景：1.曲边梯形的面积：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0．则由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形．下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础).在区间[a,b]内任取n-1个分点，依次为a=Xo<xj <x2 <..<xn-i <x,=b它们将区间[a,b]分割成n个小区间[xi-1,x,]，i=1,2,…,n．记为Ax,，即课程导Ax,=[x-,x,]，i=1,2,,n，并用Ax,表示区间[x-1,x]的长度，记入[=max[Ax,Ax2"x,}，再用直线x=x,，=1,2,n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如上右图)。在每个小区间[xi-1,x,]，i=1,2,,n上任取一点5，i=1,2,,n，作以f(5)为高，Ax,为底的小矩形，其面积为f(5)Ax，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[xi-,x,]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为S(5,)Ax,，从而i=l23
23 授课题目 §9.1 定积分概念 2 学时 教学内容 1.定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题 的数学思想方法； 2.深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决 问题； 教学目标 深刻理解并掌握定积分的思想. 教学重点 深刻理解并掌握定积分的思想. 教学难点 定积分定义的完整阐述. 教学方法 系统讲解法. 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 问题背景： 1.曲边梯形的面积:设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f (x) 0 ．则由曲 线 y f (x)，直线 x a，x b 以及 x 轴所围成的平面图形（如下左图），称 为曲边梯形．下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面 积的基础）． 在区间 [a,b] 内任取 n 1 个分点，依次为 a x0 x1 x2 xn1 xn b 它们将区间 [a,b] 分割成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x ， i 1,2, ,n ．记为 i x ，即 [ , ] i i 1 i x x x ， i 1,2, ,n ．并用 i x 表 示 区 间 [ , ] i 1 i x x 的长度，记 max{ , , , } 1 2 n T x x x ，再用直线 i x x ，i 1,2, ,n 1 把曲边梯形分割 成 n 个小曲边梯形（如上右图）．在每个小区间 [ , ] i 1 i x x ，i 1,2, ,n 上任 取一点 i ，i 1,2, ,n ，作以 ( ) i f 为高， i x 为底的小矩形，其面积为 ( ) i f i x ，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于 f (x) 连续，它在每个小区 间 [ , ] i 1 i x x 上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲 边梯形的面积．于是，该 曲边梯形面积的近似值为 n i i i S f x 1 ( ) ．从而
S = lim Z(5)Ax,[0台2.变力所作的功：设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b，并设F处处平行于x轴（如下图），同上述，有W~F(5,)Ax，而W=limZF(5.)Ax0isl二.定积分的定义定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为a=X0<j<x2<..<xn-1<xn=b它们把[a,b]分成n个小区间A,=xi-},x,i=1,2,n.这些分点或这些闭子区间构成对[a,b]的一个分割，记为T=(o.X,.,)或 (A,A..,A,)小区间,的长度为Ax,=x,-x-,并记[|=,(4x)称为分割T的模注由于△x,≤T,i=1,2,",n，因此T|可用来反映[a,b]被分割的细密程度.讲授另外，分割T一旦给出，I就随之而确定，但是，具有同一细度的分割新课T却有无限多个·定义2设f是定义在[a,b]上的一个函数.对于[a,b]的一个分割T={A,A2,A,)，任取点5,eA,i=1,2.,n，并作和式(5)Ax，称i=l此和式为函数于在[a,b]上的一个积分和，也称黎曼和显然，积分和既与分割T有关，又与所选取的点集()有关·定义3设f是定义在[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一正数8，使得对[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集(5),只要[<8,就有2(5)4X,-1<8，则称函数在区间A
24 i n i i T S f x lim ( ) 1 0 2.变力所作的功:设质点受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动到点 b ，并设 F 处处 平行于 x 轴（如下图），同上述，有 i n i i W F x ( ) 1 ，而 i n i i T W F x lim ( ) 1 0 . 讲 授 新 课 二.定积分的定义 定义 1 设闭区间 a b, 内有 n 1 个点 ,依次为 0 1 2 1 a x x x x x b n n 它们把 a b, 分成 n 个小区间 , x ,i 1,2, , 1 n i i x i .这些分点或这些闭 子区间构成对 a b, 的一个分割 ,记为 T x x x 0 1 , , n 或 1 2 , , , n . 小区间 i 的长度为 i i i 1 x x x ,并记 1 1 T max x i n 称为分割 T 的模. 注 由于 ,i 1,2, , i x T n ,因此 T 可用来反映 a b, 被分割的细密程度. 另外,分割 T 一旦给出 , T 就随之而确定，但是,具有同 一细度 T 的分割 T 却有无限多个 . 定义 2 设 f 是定义在 a b, 上的 一个 函数.对于 a b, 的一 个分割 T 1 2 , , , n, 任取点 1,2, , , i n i i ,并作和式 1 n f i x i i ，称 此和式为函数 f 在 a b, 上的一个积分和 ,也称黎曼和. 显然 ,积分和既与分割 T 有关 , 又与所选取的点集 i 有关 . 定义 3 设 f 是定义在 a b, 上的一个 函数 , J 是一个确 定的实 数.若对任 给的正数 ,总存在某一正数 ,使得对 a b, 的任何分割 T ,以及在其上任意 选取的点集 i ,只要 T ,就有 i 1 n i i f X I ，则称函数 f 在区间
[a,b]上可积或黎曼可积；数J称为f在[a,b]上的定积分或黎曼积分，记作J=Jf(x)dx.其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，α、b分别为这个定积分的下限和上限以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有关的几点补充注释。注1把定积分定义的8-说法和函数极限的ε-8说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，即把它写作J=lim(5)A,=J"()dx.(4)110101然而，积分和的极限函数的极限之间其实有着很大的区别：函数极限limf(x)中，对每一个极限变量x来说f(x)的值是唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个并不唯一对应积分和的一个值.这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多。注2可积性是函数的又一分析性质.稍后（定理9.3）就会知道连续函数是可积的，于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示：1)连续曲线g=f(x)≥0在[a,b]上形成曲边梯形面积为S=[f(x)d2)在连续变力F(x)作用下,质点从a位移到b所作的功为W=JF(x)d)注3（定积分的几何意义）由上述1)看到，对于[a,b]上的连续函数f,当f(x)>0,xe[a,b]时，定积分(3)的几何意义就是该曲边梯形的面积；当f(x)≤0xe[a,b]时，这时J=-],[-f(s)]dx是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的f(x)而言，定积分J的值则25
25 a b, 上可积或黎曼可积 ;数 J 称为 f 在 a b, 上的定积 分或黎曼积分,记 作 d b a J f x x . 其中 , f 称为被积函数, x 称为积分变量,a b, 称为积分区间, a b 、 分 别为这个定积分的下限和上限. 以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有 关的几点补充注释。 注 1 把定积分定义的 说法和函数极限的 说法相对照,便会发现两 者有相似的陈述方式 ,因此我们也常用极限符号来表达定积分,即把它写作 1 0 1 lim n b i T a i J f x f x dx . 4 然而,积分和的极限函数的极限之间其实有着很大的区别：函数极限 lim x a f x 中,对每一个极限变量 x 来说 f x 的值是唯一确定的； 而对于积分和的极限而言 ,每一个 T 并不唯一对应积分和的一个值.这使 得积分和的极 限要比通常的函数极限复杂得多. 注 2 可积性是函数的又一分析性质.稍后 (定理 9.3)就会知道连续函数是可 积的 ,于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示： 1)连续曲线 g f x 0 在 a b, 上形成曲边梯形面积为 d b a S f x x 2)在连续变力 F x 作用下,质点从 a 位移到 b 所作的功为 d b a W F x x 注 3(定积分的几何意义) 由上述 1)看到 ,对 于 a b, 上的连续函数 f ,当 f x 0 , x a b , 时 ,定积分(3)的几何意义就是该曲边梯形的面积; 当 f x 0 x a b , 时 ,这时 d b a J f x x 是位于轴下方的曲边梯形面积的相反 数,不妨称之为“ 负面积”; 对于一般非定号的 f x 而言,定积分 J 的值则
是曲线y=f(x在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和f(x注4定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数和积分区间[a,b]有关，而与积分变量所用的符号无关，即["f(x)dx= " f(0)d =- 'f(0)do =.例1求由抛物线y=x2，xe[0,1]，及y=0所围平面图形的面积，解（在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割T和特殊的点5,），如下思图：考i-1取分割T为n等份，并取=，i=1,2,,n．则所为面积为：与n练11E(i-1)习==limS = lim Z3nn→nni=l=(n-1)n(2n-1) _ 1=lim36n3n-→o课后作业：P189:2(1)小结与作业教学反目思26
26 是曲线 y f x 在 x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲 边梯形的负面积的代数和. 注 4 定积分作为积分和的极限,它的值只与被积函数 f 和积分区间 a b, 有 关,而与积分变量所用的符号无关 ,即 d d d b b b a a a f x x f t t f . 思 考 与 练 习 例1 求由抛物线 2 y x ， x [0,1]，及 y 0 所围平面图形的面积． 解 （在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割 T 和特殊的点 i ），如下 图： 取分割 T 为 n 等份，并取 i n i 1 ，i 1,2, ,n ．则所为面积为： n n i S n i n 1 ) 1 lim ( 2 1 = n i n i n 1 2 3 ( 1) 1 lim = 3 1 6 ( 1) (2 1) lim 3 n n n n n ． 小 结 与 作 业 课后作业：P189:2(1) 教 学 反 思