沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义二，共八章，授课教师：孟宪吉）

asectcos? tddtr+a)"Jasec't[(1 + cos 2t)dt2a(t+sintcost)+C2a3axXarctan-+2a3ax?+a?dx例10求x2/x2-1解【解法一］采用第一换元积分法：dxdxx?x?-du=yi-u?+o=1 /x2-1+C[解法二］采用第二换元积分法（令x=sect)：dx{ sec t·tant dt costdJsec?t-tan tX-/x2-1+C= sint+C=Y二分部积分法定理8.5（分部积分法）若u()与v(x)可导，不定积分「u(x)(x)dx存在，则[u(x)(x)dx也存在，并有Ju(x)(x)dx=u(x)v(x)- fu(x)(x)dx (3)证由[u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)或u(x)v(μ)=[u(x)v(x)] -u(x)v(x)12

12       2 2 2 4 4 3 2 2 3 3 3 2 2 sec 1 cos sec 1 1 cos 2 2 1 sin cost 2 1 arctan + 2 dx a t dt tdt a t a x a t dt a t t C a x ax C a a x a                      例10 求 2 2 1 dx x x   . 解 [解法一] 采用第一换元积分法： 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 = 1 dx dx d x x x x x x x u du u C u x C x                         [解法二] 采用第二换元积分法(令 x t  sec )： 2 2 2 2 sec tan cos 1 sec tan 1 sin 1 dx t t dt tdt x x t t t C x C x              二 分部积分法 定理 8.5（分部积分法） 若 u x  与 v x  可导，不定积分 u x v x dx      存 在，则 u x v x dx      也存在，并有 u x v x dx u x v x fu x v x dx                  3 证 由 u x v x u x v x u x v x                      或 u x v x u x v x u x v x                     

对上式两边求不定积分。就得到（3）式公式(3)称为分部积分公式，常简写作J udy = iwv-J vdu .(4)例 11 求[xcos xdx.解令u=x,=cosx,则有u=1,v=sinx，由公式求得J xcos xdx = xsin x- Jsin xdx=xsinx+cosx+arctan xdx例12求令u=arctan x,V=1,则u'=,解1+，V=X，由公式求得J arctan xdx = x arctan x -]1+xIn=xarctan x例13求[xInxdx解令u=lnx,v=x，由公式则有J x In xdx = Jin xd(x in x-[ xrdx)xt-(4inx-1)+C16例14求[x*e-*dxJx'e*dx=J x'd(-e")=-xe**+2] xe*dx=-x'e**+2[ xd(-e-*)=-x'e-*-2xe* +2Je-*dx= -e-* (2 + 2x+2)+C13

13 对上式两边求不定积分。就得到（3）式. 公式(3)称为分部积分公式，常简写作 udv uv vdu     . 4 例 11 求 x xdx cos  . 解令 u x v x   , cos ,  则有 u v x    1, sin ,由公式求得 cos sin sin sin cos x xdx x x xdx x x x C        例12 求 arctan xdx  解 令 u x v   arctan , 1,  则 2 1 1 u x    , v x  ,由公式求得   2 2 arctan arctan 1 1 arctan ln 1 2 x xdx x x dx x x x x C          例13 求 3 x xdx ln  解令 3 u x v x   ln , ,由公式则有     4 3 4 3 4 ln ln 4 1 ln 4 4ln 1 16 x x xdx xd x x x dx x x C                例14 求 2 x x e dx         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +2 + x x x x x x x x x x x e dx x d e x e xe dx x e xd e x e xe e dx e x x C                               

例15 求 [,=[e cos bxdx 和 1,=[ea sin bxdx解I=Jcos bxd(e)=(e cos bx+bfe sin bxdx)- (e co +bl.),.I=sin bxd(e)-(esinbxbl)由此得到al,-bl, =eacos bx,[bl, + al, = e sin bx.解此方程组，求得I = Je cos badt ew sin bxtaos bx+ca? +b?Jesinbso+α?+b2例16导出不定积分I，-dx（n为正整数）的递推公式xV/-+C.当n≥2时，由分部解易得I,=-1-x?+C,arcsinx-22积分公式，我们有14

14 例15 求 1= cos ax I e bxdx  和 2= sin ax I e bxdx  解           1 2 2 1 1 1 cos cos sin 1 cos , 1 1 sin sin . ax ax ax ax ax ax I bxd e e bx b e bxdx a a e bx bI a I bxd e e bx bI a a            由此得到 1 2 1 2 cos , sin . ax ax aI bI e bx bI aI e bx        解此方程组,求得 1 2 2 2 2 2 sin cos cos a sin cos sin ax ax ax ax b bx a bx I e bxdx e C a b bx b bx I e bxdx e C a b             例16 导出不定积分 2 1 n n x I dx x    ( n 为正整数)的递推公式. 解 易得 2 2 1 2 1 1 1 , arcsin 1 2 2 I x C I x x x C         .当 n  2 时，由分部 积分公式,我们有

I, = J -a(-V1-x)=-x"-l /1-x2 +(n-1)[xn-2 /1-x d---- +(-)()Vi-x2+=-x"-- /1-x +(n-Vi-x=--- /-- +(n-1)[-dx-(n-1)-=-x"- /-x +(n-1) I.-2 -(n-1) In,因此得到递推公式Vi-x+n-1I=-Ynnde思求考与+sin$+cos8T练习小1.熟练地应用换元积分公式；结凑微分法；三角代换；无理代换；双曲代换；倒代换；万能代换与作业2.熟练地应用分部积分公式.课后作业：P173:1,(1)-(25)，P174:2,(1)-(6业教学反思15

15                   1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , n n n n n n n n n n n n n n n I x d x x x n x x dx x x x x n dx x x x x x n dx x x x x x n dx n dx x x x x n I n I                                                         因此得到递推公式 1 2 2 1 1 1 n n n n I x x I n n        思 考 与 练 习 求 小 结 与 作 业 1.熟练地应用换元积分公式； 凑微分法；三角代换；无理代换；双曲代换；倒代换；万能代换； 2.熟练地应用分部积分公式. 课后作业：P173:1,(1) -(25)，P174:2,(1)-(6) 教 学 反 思

授课题目5 学时s8.3有理函数和可换为有理函数的不定积分1.掌握化有理函数为分项分式的方法；2.会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是教学内容初等函数；3.会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法。掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某教学目标些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法。教学重点使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；教学难点学会求某些有理函数的不定积分的技巧；教学方法结合实际例子讲授。注释教学过程及授课内容课程由积分应用的广泛性引入。导入一有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式R()=-%a+% ()O(x) βox" +βxm- +..+βm其中n，m为非负整数，αα,,α与βo,β,m都是常数，且α0，β+0.若m>n，则称它为真分式；若m≤n则称它为假分式.由多项式的讲除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和.由于多项式的不授新课定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设（1)为一有理真分式.重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）：AAx + B(1)(* + px+g)(p* -4g<0).(2)(x-a)ki的真分式之和，其中A，B，α,p,q,为常数，k为正整数.因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可.16

16 授课题目 §8.3 有理函数和可换为有理函数的不定积分 5 学时 教学内容 1. 掌握化有理函数为分项分式的方法； 2. 会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是 初等函数； 3. 会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理 式不定积分的方法。 教学目标 掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某 些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的 方法。 教学重点 使学生掌握化有理函数为分项分式的方法； 教学难点 学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 教学方法 结合实际例子讲授。 教学过程及授课内容 注 释 课程 导入 由积分应用的广泛性引入。 讲 授 新 课 一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式       1 0 1 1 0 1 n n n m m m p x x x R x Q x x x                 1 其中 n , m 为非负整数， 0 1, , ,   n 与 0 1 , , ,    m 都是常数，且 0   0 ， 0   0 .若 m n  ，则称它为真分式；若 m n  则称它为假分式.由多项式的 除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和.由于多项式的不 定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理 真分式. 重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部 分分式）： （1） k x a A (  ) ； （2） ( 4 0) ( ) 2 2      p q x px q Ax B k ． 的真分式之和，其中 A，B，a, p,q, 为常数， k 为正整数． 因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可．