沈阳师范大学：《数学分析》课程授课教案（讲义二，共八章，授课教师：孟宪吉）

授课题目88.2换元积分法与分部积分法5 学时教学内容熟练掌握换元积分和分部积分的公式。1.掌握换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分）教学目标2.分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积教学重点熟练地应用换元积分公式：熟练地应用分部积分公式教学难点换元积分与分部积分的运用教学方法以问题教学为主，结合练习.注释教学过程及授课内容课程导入由直接积分的局限性引入。换元积分法定理8.4（第一换元积分法）设函数f(x)在区间1上有定义，g(t)在区间J上可导，且β(J)eI。如果不定积分[F(x)dx=F(x)+C在I上存在，则不定积分[(o(0)p'()dt在J上也存在，且[ F(g(t)p'(0)dt = F(p(0) +C()证（i）用复合函数求导法进行验证：因为对于任何teJ有讲%(F(0(0)=F(0(0)(0)= (0(0)(0)授新所以f(()()以F(()）为其原函数，(1)式成立课例1求[ tan xdx.(cos.x) sinx dx = -tanxaxcos.xcos.x可令u=cosx,g(μ)=二,则得1[ tan xdx=-J -du=-In| u +C=-In| cos x +C

7 授课题目 §8.2 换元积分法与分部积分法 5 学时 教学内容 熟练掌握换元积分和分部积分的公式。 教学目标 1.掌握换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数 （或凑微分）. 2. 分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被 积表达式分成两部分的乘积. 教学重点 熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式. 教学难点 换元积分与分部积分的运用. 教学方法 以问题教学为主，结合练习. 教学过程及授课内容 注 释 课 程 导 入 由直接积分的局限性引入。 讲 授 新 课 一 换元积分法 定理 8.4（第一换元积分法） 设函数 f x  在区间 I 上有定义，  t 在 区间 J 上可导，且   J I  。如果不定积分 f x dx F x C ( ) ( )    在 I 上存在， 则不定积分 f t   t t d  在 J 上也存在，且 f t t F t C    t  d 1         证（i）用复合函数求导法进行验证：因为对于任何 t J  有              , d F t F t t f t t dt           所以 f t t       以 F t    为其原函数，(1)式成立. 例1 求 tan xdx  . 解 sin cos  tan . cos cos x x xdx dx dx x x        可令   1 u x g u cos , , u   则得 1 tan ln ln cos . xdx du u C u x C          

例2d+aduarctanu+Ca1+u?a1t=-arctan-+CaQdx例3求[>= arcsin =+Cadx例4求[(a+0dxx-a2"2a(x-a){d(x+a)2ax-Qrta[n ×-α [-In| ×+a ]+C2g11nx-a+Cn2ax+asec xdx.例5 解［解法一]利用例4的结果可得d(sinx[se dt= cos dx =cos"xJ1-sin'x1 ,/1+ sin x+-n21-sinx[解法二]X

8 例2 例 2 求   2 2 0 dx a a x    2 2 2 2 1 1 1 1 arctan 1 1 arctan x d dx x a u a x a a x a du u C a u a x C a a                                令 例3 例 3 求   2 2 0 . dx a a x    2 2 2 2 1 1 1 arcsin x d dx dx a a x a x x a a x C a                             例4 例 4 求   2 2 0 . dx a x a        2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln ln 2 1 ln 2 dx dx x a a x a x a d x a d x a a x a x a x a x a C a x a C a x a                                         例5 求 sec xdx  . 解 [解法一]利用例 4 的结果可得   2 2 cos sin sec cos 1 sin 1 1 sin ln 2 1 sin x d x xdx dx x x x C x           [解法二]

[Jsecxd- ee (etanasecx+tan d(sec x + tan x)sec x+tanx= In sec x+ tan x |+C定理8.5（第二换元积分法）设函数(x)在区间1上有定义，(u)在区间J上可导，且(J)el。如果x=p(t)在J上存在反函数t=β(x),xel,且不定积分[F(x)dx在I上存在，则当不定积分[(p(0)p()dt=G(0)+C在J上存在时，在I上有[ f(x)dx=G(β(x)+C证明：设F(x)dx=F(x)+C对于任何teJ有(F((0)-G(0)= F'(∞(0)p'(t)-G'(0)= f (()p (0)- f (g(t)g'(t)=0所以存在常数CI，使得F(o(u)-G()=C,对于任何tEJ成立,从而G(-'()=F(x)-C,对于任何xeI成立.因此，对于任何xeI有会(0(0)-F()- ()即G(g(x)）为f(x）的原函数，（2）式成立.注1定理中“不定积分「(x)dx存在”是（ii）成立的一个必需条件，否则结论可能不成立.例如：设(x)-/1: ×e(0.8)[0, x=0(1)=t,te[0,2]则x=(1)在[0,2]上存在反函数，且在[0,2]上不定积分9

9     sec sec tan sec sec tan sec tan sec tan ln sec tan x x x xdx dx x x d x x x x x x C            定理 8.5（第二换元积分法） 设函数 f x  在区间 I 上有定义，  t 在 区间 J 上可导，且   J I  。如果 x=(t)在 J 上存在反函数 1 t x x I  ( ),    , 且不定积分 f x dx    在 I 上存在，则当不定积分 f t t t G t C ( ( )) d =        在 J 上存在时,在 I 上有 1 f x dx G x C ( ) ( ( ))      证明：设 f x dx F x C       .  对于任何 t J  有                        0 d F t G t F t t G t dt f t t f t t                 所以存在常数 C1 ,使得 F t G t C        1 对于任何 t J  成立,从而      1 G x F x C  1    对于任何 x I  成立.因此，对于任何 x I  有         d 1 G x F x f x dx      即    1 G x   为 f x  的原函数，（2）式成立. 注 1 定理中“不定积分 f x dx    存在”是（ii）成立的一个必需条件， 否则结论可能不成立.例如：设   1 x 0,8   x = 0 x=0 f     ， ，     3  t t t  , 0,2 则 x t    在 0,2 上存在反函数，且在 0,2 上不定积分

J(o(0)0'(0)dt = [ 3°'dt =t +C存在.但是f(x)在[0,8]上有第一类间断点x=0，所以在区间[0,8]上不定积分[(x)dx不存在注2如果在（ii)中将条件“x=p(）在J上存在反函数t=β"(x),xeI"换成更强的条件，“β(t)+0，xEJ，且(J)=I”，则当不定积分[((t)()dt=G(t)+C在J上存在时，不定积分[(x)dx在1上也存在，且有J (x)dx=G(g'(x)+C这是因为在条件“()0,xEJ，且(J)=”下，x=p(t）在J上存在可导的反函数t=β"(x),xeI，然后直接用复合函数和反函数求导法可得(c(()= (0()(() (0),( - ()上述换元积分法中的公式（1）与（2）反应了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称为第一换元公式与第二换元公式）：求[du例6u+u解令u=dtx+1Ju+u=+x2-=2/u-3/u+69/u-61n|su+1+10

10      2 3 f t t dt t dt t C      3   存在.但是 f x  在 0,8 上有第一类间断点 x  0 ，所以在区间 0,8 上不定积 分 f x dx    不存在. 注 2 如果在（ii）中将条件“ x t    在 J 上存在反函数 t=   1  x x I ,   ” 换成更强的条件，“ t 0 x    ， J ，且   J I   ”, 则当不定积分        ' f t t dt G t C      在 J 上存在时，不定积分 f x dx    在 I 上也存在， 且有      1 f x dx G x C      这是因为在条件“   '  t x J   0, , 且   J I   ”下， x t    在 J 上存在 可导的反函数 t    1  x x I ,   ，然后直接用复合函数和反函数求导法可得                       1 1 1 1 1 1 x x t t d G x G x x dx t t f x   t                       . 上述换元积分法中的公式（1）与（2）反应了正、逆两种换元方式，习 惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称 为第一换元公式与第二换元公式）. 例6 求 3 du u u   . 解令 6 u x  5 2 3 3 2 3 2 3 6 6 6 1 6 1 1 6 ln 1 3 2 2 3 6 6ln 1 du x dx x x dx u u x x x x x x x C u u u u C                                   

例7求[Va-xdx(a>0)解令x=asint,[≤(这是存在反函数t=arcsin二的一个单调区间).于是aJ Va2-x dx=Jacos td(asint)=a'fcos'idt[(+ 0 2)/- (++sin 2)+ ca?2J(2arcsin三+三+C2a+xya?-x?aarcsin-dx例8(a>0)令x=asect,0<t<（同理可考虑t<0的情况)，解2于是有dxasect-tan tdt = sec tdiatan tIn sect+tan t+Cx2-a借助辅助直角三角形,便于求出sect==,tan t=V，故得aaVx2-a2d刻a>0+a令x=atan,[<号,于是有解11

11 例7 求   2 2 a x dx a   0  解 令 sint, 2 x a t    (这是存在反函数 arcsin x t a  的一个单调区间).于是     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos 1 = 1 cos 2 sin 2 2 2 2 arcsin 1 2 1 arcsin 2 a x dx a td a t a tdt a a t dt t t C a x x x C a a a x a x a x C a                                              例8 求   2 2 0 dx a x a    . 解 令 x a t  sec , 0 2 t    (同理可考虑 t  0 的情况), 于是有 2 2 sec t tan t sec tan t = ln sec tan dx a dt tdt x a a t t C          借助辅助直角三角形,便于求出 2 2 sec , tan x x a t t a a    ,故得 2 2 2 2 2 2 1 ln ln + + dx x x a C x a a a x x a C         例9 求     2 2 2 0 dx a x a    解 令 tan , 2 x a t t    ,于是有