第九章 多元函数微分法及其应用 习题9-1 多元函数的基本概念 1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集，区域、有界集、无界集？并分别指出它们 的聚点所成的点集（称为导集）和边界. (1)1(x,y)x≠0，y≠0：(2){(x,y)|1<x2+y2≤4}： (3)1(x.y)|y>x2}: (4){(x,y)|x2+(y-1)2≥1}∩1(x,y)|x2+(y-2)2≤4. 解(1)集合是开集，无界集：导集为R2,边界为1(x,y)|x=0或y=0. (2)集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为(x,y)1≤x2+y2≤4，边 界为1(x,y)x2+y2=1U1(x,y)|x2+y2=41. (3)集合是开集，区域，无界集：导集为1(x,y)|y≥x2,边界为(x,y)|y=x2 (4)集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为{(x,y)x2+(y-1)2=1U 1(x,y)x2+(y-2)2=4. 2.已知函数x,)=+y2-an手，试求，y 解，)=(2+2-(yun号 =(2+2-am引 =2f(x,y）. 3.试证函数F(x,y)=nx·lny满足关系式 F(y,w)=F(x,u)+F(x,)+F(y,u)+F(y,). 证F(xy,r)=ln(xy)·ln(uw）=(lnx+lny)(lnu+lnt) =lnx·lnu+lnx·lnp+lny·lnu+lny·ln =F(x,)+F(x,)+F(y,u）+F(y,n). ☑4.已知函数f(,w）=u+w"“,试求f八x+y,x-y,xy）. 解x+y,x-yy)=(x+y)y+(y)1=(x+）”+()2产 5.求下列各函数的定义域： (1)z=1n(y2-2x+1):
38 一、《高等数学》（第七版）下册习题全解 (3):=√x-5: (4)z=ln(y-x)+ - (5)4=R2-x2-y2-2+ F++R>r>0): (6)u=arceos 解(1)1(xy)|y2-2x+1>0. (2)1(,y)1x+y>0,x-y>01 (3)1(x,y）|x≥0y≥0，x2≥. (4)1(x,y)1y-x>0,x≥0，x2+y2<1. (5)1(x,y,)|2<x2+y2+2≤2. (6)(x,y,2)|x2+y2-2≥0，x2+y2≠01. 注本题是求多元函数的定义域，与求一元函数的定义域相类似，先写出构成 该函数的各个简单函数的定义域，再求出表示这些定义域的集合的交集，即得所求 函数的定义域。 巴6.求下列各极限 (1) (2)lim in) x2+y2 (3)im2-y*4 4im.2-。- x xy 5)n2, 1-cos(2+y2) (6)im。(x2+y2)e2 1-0 注本题利用多元初等函数的连续性求极限，即极限值等于函数值.对于多元 初等函数在点P。处的极限，若P。在该函数的定义区域内.均可利用此方法求极限 In(te)=In()=In2. (2)im./公+习 1+0 (3) 4-(y+4) Y -1 注木题分母的极限为零，不能运用商的极限运算法则，面米用通过分母或分 子有理化等方法，消去分母中趋于零的闪子.运川极限运算法则.这是求极限的基 本方法之一
第九章多元函数微分法及其应用 39 4）m2g-1im122-e+012=-2 xy 注本题利用ey-1-xy((x,y)一(0,0)，相当于令=y,当(x,y)→(0,0) 且xy≠0时，有“→0且4≠0，于是 50mm2-mg212=2 注本题利用tan(xy)~xy((x,y)一(2,0)). om121 =0s0 注本题利用1-e0s(2+户)-2(+产)2(x,)一(0,0). ·7.证明下列极限不存在： am号 x2y2 (2)in2y2+(x-y) 证(1)当(x,y)沿直线y=kx趋于(0,0)时，有 }一8经-其0. 显然它是随着k的值不同而改变的，故所求极限不存在 (2)依次取(x,y)一→(0,0)的两种方式：y=x,y=-x,分别求极限： y1. x2y2 x2y2 x2 imny+-y=i四+4轻=i四+4=0 两种方式求得的极限值不同，故所求极限不存在. 注本题证明极限不存在所采用的方法是：找出两条不同的路径，使得点P沿 这两条路径趋于P。时，(P)的极限存在但不相等：或者找出一条特殊的路径，使得 点P沿这条路径趋于P。时，八P)的极限不存在.这是证明多元函数极限不存在常 用的方法， 西名两数：在约处是问断的？ 解这函数的定义域为D=1(x)y2-2x≠0.曲线y2-2x=0上各点均 为D的聚点，且函数在这些点处没有定义，因此曲线y2-2x=0上各点均为函数的 间断点
40 一、《高等数学》（第七版】下册习题全解 xy a9证明，0 证因为 原+厚P以 要使与0，只要+了c2,所以Ve)0.取8=2，则当0< xy +了<6时，就有屋行0<e成立甲会，0 y 四·10.设F(x,y)=八x)J(x)在x和处连续，证明：对任意0∈R.F(x,y)在(xoo) 处连续。 证设Po(x0yo）eR2,因为f(x)在xo处连续，所以e>0,38>0,当x xo|<6时，有(x)-f八x0)|<E.从而，当P(x,y)∈U(P。,δ)时，|x-o≤ p(P,P。)<6,因而有 IF(x,y)-F(xo.yo)=f(x)-f(xo)<s. 即F(x,y)在(0，o）处连续. 习题9-2 偏导数 四1.求下列函数的偏导数 (1)z=x3y-y23x (2)s=2+2 (3)z=1n(xy): (4):=sin(xy)+cos2(xy): (5):In tan (6)z=(1+xy): (7)u=x÷: (8)u arctan(x -y)'. 架)票=3的=-3 (u)2 =22n-(w2+)n 22
第九章多元函数微分法及其应用 41 名.心 (w)2 =2ur2-(w2+)2 u22 2y In(xy) (4)=o(g）+2o(yf-n(1y y[cos(xy)-sin(2xy)], 器=()+2m()）【-sn(1 x[cos(xy)-sin(2xy)] 6)股=1+). 器-品e1=1+1+w)+平 x1+(x-y), 名 0“ a2.设T=2m√g aT 证因为 aT