IV 28 第40章分析中注入严密性 当然f()只对级数收敛的那些x值才有一个值.我们用2来表 示级数本身.2的项对一切c或对某个x可以趋于零，Riemann 分别讨论了这两种情形， 如果a,和bn趋于零，则2的项对一切x趋于零.令F(c)是 函数 F回=0+0千4空-4-坐--票 它是接连对2逐项积分两次而得到的.Riemann证明了F(x)对 一切x收敛而且关于c连续.这时F(c)本身就能积分.Riemann 证明了关于F()的一系列定理，这些定理转而导致使一个形如 (④)的级数收敛到一个周期为2π的给定函数的必要充分条件.然 后他给出了三角级数(4)（其中当%趋于∞时a,和bn仍趋于0）在 心的一个特殊值处收敛的充要条件 其次他考虑了另一情形，即1imA,依赖于心的情形，并且给 出了在x的特殊值处级数2收敛的条件和在特殊值心处的收敛 判别法 他还指出，可以积分的f(c)可能没有Fourier级数表示.而 且还存在这样的不可积函数，级数？在任意接近的界限之间的无 穷多个c值上收敛到这个函数.最后他指出，即使三角级数的an 和bn当m→∞时都不趋于零，但这级数在一个任意小的区间中的 无穷多个心值上可能收敛. 在Stokes和Seidel引进了一致收敛的概念之后，Fourier级 数收敛的性质进一步受到人们的注意.从Dirichlet时期以来，人 们已经知道，级数纵然收敛，一般也只是条件收敛，并且知道，级数 的收敛性依赖于正项和负项出现的情况.Heine在l870年的一 篇论文中指出，有界函数f()可以唯一地表示成在[一心，]上 的一个三角级数这一结论，通常采用的证明是不完全的，因为级数 (5）Jour.fuir Math.,71,1870,353~365
6.Fourier级数 29 IV 可能不一致收敛，因此不能逐项积分，这就使人联想到还可能存 在非一致收敛的三角级数，而它又确实表示一个函数.而且，一个 连续函数有可能表成Fourier级数，而这个级数可以不一致收敛， 这些问题引起了一系列新的研究，企图建立用三角级数表示一个 函数的唯一性以及研究其系数是否一定是Fourier系数.丑ein 在前面提到的论文中证明了，满足Dirichlet条件的有界函数的 Fourier级数，在区间[一，x]中去掉函数间断点的任意小邻域后 剩下的部分上，是一致收敛的.而在这些邻域中，收敛一定是不一 致的.然后丑eine证明：如果表示一个函数的三角级数具有上述 的一致收敛性，那么级数是唯一的， 关于唯一性的第二个结果，等价于下述陈述：如果形如， (6) 空+高a,ogw+b,血a同 的三角级数是一致收敛的，而且在收敛的地方，即除去一个有限点 集P外，都是零，则系数全为零，因而当然在整个[一元，]上级数 表示零（函数）. 与三角级数和Fourier级数的唯一性有关的问题引起了 Cantor的兴趣，他研究了Heine的工作.Cantor是从寻找函数 的三角级数表示的唯一性的判别准则开始他的研究工作的、他证 明8)了，当(x)用一个对一切心都收敛的三角级数表示时，就不 存在同一形式的另一级数，它也对每个心收敛并且代表同一函数 f().在另一篇论文)中，他给出了上述结果的一个更好的证明， 他证明的唯一性定理可以重新叙述为：如果对于一切x,有 一个收敛的三角级数表示零，则系数an和bn都是零.后来， Cantor在1871年的论文中证明了，即使在有限个x值上不收 敛，这结论仍旧成立.这是Cantor论述c的例外值集合(set of (58)Jorr.fuir Math,72,1870,139~142=Ge8.46i,80~83. (59)J0r.fur Math..73,1871,294296=Ges.4bh,84~86
IvV 30 第40章分析中注入严密性 exceptional values)的一系列论文中的第一篇.他把唯一性的结 果推广到允许例外值是无穷集的情形.©)为了描述这种集合，他 首先定义，一个点p是一个点集S的极限点，如果包含P点的每 一区间都包含8的无穷多个点.然后他引进了点集的导集的概 念，它是由原点集的全部极限点构成的、于是就有第二导集，即 导集的导集，等等。如果一个给定集合的第%个导集是一个有限 点集，那么就说该给定集合是属于第%类的或第n阶的（或者说属 于第一种的).关于一个函数在区间[一，π]上能否有两个不同 的三角级数表示，或者零是否可以有非零的Fourier表示的问题， Cantor最终的回答是：如果在该区间上除去第一种点集外（在这 些点上级数的性质什么也不知道)，对于一切：，三角级数之和为 零，则级数的所有系数必须为零.在1872年的这篇论文中，Cantor 莫定了点集论的基础，我们将在后一章中讨论.在十九世纪末和 二十世纪初有许多别的数学家从事于唯一性问题的研究.) 在Dirichlet的研究工作之后的大约五十年中间，人们都相信 在[-元，r]上的任何一个连续函数的Fourier级数都收敛到该函 数.但是Du Bois-Reymond2给出了(-π，x)上的一个连续函 数，其Fourier级数在一个特定点上并不收敛的例子.他还选了另 一个连续函数，其Fourier级数在一个到处稠密的点集上不收敛 在1875年8)他证明了，如果形如 ao+(an cosna+bsin na) 的三角级数在[一元，x]中收敛到f(),而且如果f(x)是可积的 (比Riemann意义更一般意义下的可积性，即f(a)可以在第一种 (60)1Math.Ann,5,1872,123132=Ges.4bh.,92~102. (61)细节见E.W.Hobson,The Theory of Functionso时a Real Variable,II, 656-698. (62)Nachrichten Konig.Ges.der Wiss.eu Gtt.,1873,571~582. (63)4bh.der Bayer.Akad.der Wiss.12,1876,117166
.6.Fourier级数 31 IV 集合上无界)，则该级数一定是f(x)的Fourier级数.他还证明 了，)任一Riemann可积函数的Fourier级数，即使不是一致收 敛的，也可以逐项积分」 其后有许多数学家从事于早已为Dirichlet用，一种方法回答 了的问题的研究，这个问题就是，要给出函数f(x)具有收敛到f(x) 的Fourier级数的充分条件.有几个结果是经典的.Jordan用他 所引进的有界变差函数的概念给了一个充分条件.)令f()在 [a,b]上有界，又令a=0,,,n-,n=b是这个区间的一种 分划.令o,,,y1,是f()在这些点上的值.则对每一 个分划 学g+1-g)-f()-f@, 令表示 岁1gr1-gl. 对[a,]的每一种细分方式有一个t,当对应于[a,]的所有划分 方式，和数t有一个上界时，则f就定义为在[a,b]上是有界变差 秀 Jordan的充分条件说的是：可积函数f(x)的Fourier级数在 那样一些点上收敛到 是fe+0)+fe-01, 这些点各有一个邻域，使f()在该邻域中是有界变差的.) 在1860年代和1870年代数学家们还考察了Fourier系数的 性质，在所得到的许多重要结果中，有一个就是所谓的Parseval定 理(Par3eval是在限制更严的条件下叙述这个定理的，见第29章 第3节)，根据这个定理，如果f()和[f()]”是在[-π，]上 (64)Math.Anm.,22,1883,260~268. (65)Comp.Rend.,92,1881,228230-Ewures,4,39395 Cours d'analyse, 2,第1版1882，Ch.V. (66)Cour3 danalyse,第二版，1893,1,67~72
IV 32 第40章分析中注入严密性 Rigmann可积的，则 [fo1a-2a6+学a+, 而且如果f(x)和g(x)及其平方Riemann可积，则 品fag国a-2am+ga+68》 其中a,bn和a,Bn分别是f(c)和g(c)的Fourier系数 7.分析的状况 Bolzano、Cauchy、Weierstrass和其他人的工作给分析提供 了严密性.这些工作把微积分及其推广从对几何概念、运动和直 觉了解的完全依赖中解放出来，这些研究一开始就造成了巨大的 轰动.在一次科学会议上，Cauchy提出了级数收敛性的理论，会 后Lapla0e急忙赶回家并隐居起来，直到他查完他的《天体力学》 (M6 canigue celeste8)中所用到的级数.幸亏书中用到的每一个级 数都是收敛的.当Weierstrass的工作通过他的讲演为人们所知 道时，其影响甚至更为显著.把Jordan的《分析教程》(Cours d'analys8)第一版(18821887)同第二版(1893~1896)、第三版 (3卷，1909~1915)进行比较，就可以看出严密性的改进.许多其 它的专题论文体现了新的严密性 分析的严密化并不证明就是基础研究的终结.首先，所有的 研究工作实际上都是以承认实数系为先决条件的，而实数系仍然 是没有条理的.我们将看到Veierstrass在1840年代里就考虑了 无理数的问题，除他之外所有其他的人都认为没有必要去研究数 系的逻辑基础.看来即使是最大的数学家们都必须逐步发挥他们 的才智方能够了解严密性的需要、关于实数系的逻辑基础方面的 工作不久就跟着开展起来了（见第4红章）