7.分析的状况 33 IV 连续函数可以没有导数，不连续函数可以积分，这些发现，以 及由Dirichlet和Riemann关于Fourier级数方面的工作清楚地 显示了对不连续函数的新的见解，还有对函数的间断性的种类和 程度的研究，使数学家们认识到，函数的精确研究扩充了微积分中 以及分析的通常分支中用到的函数，在这些分支中可微性的要求 通常限制了函数类.对函数的研究在二十世纪继续进行着，结果 产生了数学的一个新分支，就是所谓的实变函数论（见第44章） 和数学中的一切新运动一样，分析的严密化不是没有遭到反 对，关于是否应该从事分析的改进就有许多争论.引进来的独特 的函数被攻击为奇怪而无意义的函数，古怪的函数，也许比较复杂 却也不比幻方更重要的数学游戏.这些函数还被看作是一种变态 或是函数的不健康部分，‘而且还被认为在纯粹和应用数学的重要 问题中是不会出现的.违反了公认为是完美的法则的这些新的函 数，被看作是无秩序和混乱的标志，而这种无秩序和混乱是对以前 形成的秩序和协调的嘲笑.现在为了叙述一个正确的定理必须加 上的许多前提，被认为是学究式的，破坏了十八世纪古典数学的优 美，用Du Bois-Reymond的话来说，这种优美“就象在天堂里一 样.”人们对这些新的函数的琐碎细节感到不满，因为它们掩盖了 主要的思想 尤其是Poincare6怀疑这种新的研究.他说om: 逻辑有时侯产生怪物.半个世纪以来我们已经看到了一 大堆离奇古怪的函数，它们被弄得愈来愈不象那些能解 决问题的真正的函数.多一点连续性或少一点连续性， 多几阶导数，如此等等.诚然，从逻辑的观点看来，这些 陌生的函数是最一般的；另一方面，不用去找就碰到的函 数以及遵从简单规律的函数却是一种特殊情形，这种情 (67)I'Enseignement mathimalique,1,1899,157~162-Euvres,2,129~134
IV 34 第40章分析中注入严密性 形仅只是函数中很小的一角。 过去人们为了一个实际的目的而创造一个新的函 数；·今天人们为了说明先辈在推理方面的不足而故意造 出这些面数来，而从这些函数所能推出来的东西也就是 仅此而已 Charles Hermite在给Stieltjes的一封信中说：“我怀着惊恐 的心情对不可导函数的令人痛惜的祸害感到厌恶.” Du Bois--Reymond(es表达了另一种不同的意见.他担心分析 的算术化会使分析和几何从而也和直观以及物理思考脱离开，这 就使分析变成一种“简单的符号游戏，在那里所写下的符号具有在 国际象棋和纸牌游戏中的棋子所具有的任意意义.” Abel和Cauohy明显地排除发散级数引起了最大的争论. Abel在1826年写给Holmboo的信中说： ·发散级数是魔鬼的发明.把不管什么样的任何证明建立 在发散级数的基础之上都是一种耻辱.利用发散级数人 们想要什么结论就可以得到什么结论，“面这也是为什么 发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因…对 所有这一切我变得异常关心，因为除几何级数外，在全部 数学中普被严格地确定出和的单个无穷级数是不存在 的.换句话说，数学中最重要的事情也就是那些具有最 小基础的事情.” 但是Abel表示了某种担心，即这样一来是否忽视了一种好的思 想，因为他在信中继续写道：“尽管这种级数是令人非常惊奇的，但 它们中的大多数都是正确的.我正试图为这种正确性寻找理由： (68)Theorie ginerale des fonctions,1887,61. (69)Euvres,.2,256
7,分析的状况 35 IV 这是一个极其有趣的问题，”Abel死得很年轻，并没有从事这方面 的研究 Cauchy对于排斥发散级数也有些不安.他在《教程》(1821) 的引论中说：“俄曾被迫承认各种各样多少有点不幸的命题，例如， 发散级数不能求和.”在1827年，出版他写于1815年的关于水 波的得奖论文时所加的注记中，Cauchy却不管这个结论而继续 使用发散级数.他决心去研究为什么发散级数被证明这样有用的 问题，而且事实上他最终是接近于认识到这个原因的（第47章）. 法国数学家采纳了Cauchy的排除发散级数的做法.但是英 国和德国的数学家没有这样做.在英国，剑桥学派求助于形式的 永恒性原理(the prinoiple of permanence of form),为使用发散 级数辩护（第32章第1节）.对于发散级数，这个形式的永恒性原 理首先是由Robert Woodhouse(1773~1827)使用的.在g解析 计算原理》(The Principles时AnalyticCalculation)(1803,p.3) 中他指出，在方程 ⑧剂 是=1+r++… 中，等号比之只表示数值上相等，具有“更广泛的意义.”因此无论 这个级数发散或收敛，方程（⑥）都成立 Peaoook也应用形式的永恒性原理对发散级数进行运算1)， 在第267页上他说，“这样，因为对于？<1，上面的(6)式成立，于 是对于r=1我们就真的得到了∞-1+1+….对于？>1，我们 在左边得到一个负数，而由于在右端的项不断增大，故右端比∞更 大.”这就是Peacook接受的结论.他试图确立的论点是：对于一 切”级数都能代表己？他说， (70)Mem.des sav.itrangers,1,1827,3~312;见Bures,(1),1,238,277,286. (71)Report on the Recent Progress and Present Stale of Ceriain Branches of Analysis,Brit.Asan.for Adv.of Science,3,1833,185~352
IV 36 第40章分析中注入严密性 如果认为代数运算是一般的，而且认为服从这种运算的 符号在数值上没有限制，那末想要回避发散级数的形成 就和回避收敛级数的形成一样都是不可能的；而且如果 先不谈这种级数本身，·而把这种级数看做是一些可定义 的运第的结果，那么检查相继项的数值之间的关系就不 是太重要的事情了，虽然在断定级数收敛或发散时这样 做或许是必要的；因为在这些情形下，必须认为这些级数 是它们的母函数的等价形式，就这些运算的目的来说，可 以认为它们具有等价的性质….企图在符号运算中排 斥使用发散级数，必将对代数公式和运算的普遍性强加 上一种限制，这是完全违反科学精神的….这样做必 将导致如下的大量而又麻烦的情形：几乎所有的代数运 算所具有的大部分确定性和简单性都被剥夺了. Augustus De Morgan虽然比Peacock更准确更有意识地知 道发散级数中的困难，然而他还是在英国学派的影响之下，而且从 他不顾这些困难而使用发散级数所得到的一些结果也给人这样的 印象.1844年他在一篇尖锐但混乱的论文《发散级数》7)中以这 样的话开始：“我相信本文的标题一般是可以接受的，这个标题描 述了还保留着初等性质（特征）的仅有的主题，在这方面，关于结果 的绝对正确或错误，数学家之间存在着严重的分歧.”De Morgan 的这种见解，他早在他的《微分和积分计算》(Dif扩erential and Integral Caulcus))中就已经宣布了：“代数的历史向我们表明， 没有什么事情是比排斥自然出现的方法更没有根据了，排斥这种 方法的理由是在一个或几个显然正确的情形中由于使用了这种方 法而导致错误的结论.这就告诫我们要小心使用但不应该拒绝这 (72)Trans.Camb.Philo.Soc.,8,Part II,1844,182203,1849出版， (73)L0ndon,1842,p.566
7,分析的状况 37 IV 种方法；如果宁愿拒绝而不是小心使用的话，那么负量，尤其是它 的平方根，就会成为代数进步的一个有力的障碍…而且甚至发 散级数的拒绝者们所毫不担心地涉及的那些巨大的分析领域也就 不会有那么多发现，更会缺少优美而永久的发现…我在反对一 本在我看来是故意终止发现的进展的教科书时，所采取的座右铭 包含在一个词和一个符号中一记住√一1”他区分一个级数的 算术意义和代数意义.代数意义在一切情况下总成立.为了解释 由于使用发散级数而造成的某些错误结论，他在1844年的论文中 (p.187)说，积分法是一个算术运算而不是一个代数运算，因此在 没有对发散级数进行进一步思考的时候不能对它进行积分.但 是从y=1+Ty出发，并在右端用1+ry去代替y,并这样不断地 做下去而导出的 i,=1+r+2+, 1 却因为它是代数的而为Morgan所接受.类似地，从名=1+2x得 到2=1+2+4+….因此一1=1+2+4+…也是对的.他接受那 个时代的三角级数的全部理论，但如果有人给出一个1一1+1一1 +…不等于号的例子（见第20章），他就会要拒绝这种理论。 为了采用发散级数，另外有许多杰出的英国数学家给出了其 它种种辩护，有些辩护回到了N.Bernoulli的一种论证（第20章 第7节)，即级数《⊙包含一个余项”或这是必须考虑 到的（虽然他们没有指出怎样考虑）.另外一些数学家说一个发散 级数代数上是真的而算术上是假的. 某些德国数学家用的是和Peacock一样的论证，虽然他们用 的是不同的言词，诸如语法的运算是和算术的运算相对立的，或说 文字的运算和数字的运算是对立的.Martin Ohm说：“用一个 (?4)du时teaus dem Gebeit der hoheren Mathematii(高等数学领域短文集，l823)