5.无穷级数 23 IV 时级数收敛且u,(x)都连续，则f(x)是连续的.在他的《简明教 程》(Resume des le.ons)4中，他说，如果un(c)都连续且级数收 敛，则对级数可以逐项积分；即 vd-uda. 他忽视了一致收敛性的要求.对于连续函数他还断言 品F6恤-影血 Cauchy的著作鼓舞了Abol.Abel在1826年从巴黎写给他 原先的老师Holmbo的信)中说，Cauohy“是当今懂得应该怎 样对待数学的人.”在那一年Abel研究了m和复的c的二项 级数 1+mz+n(m-1)2+m(m-)(m-2）+… 31 的收敛区域.他对以前没有人去研究这个最重要的级数的收敛性 表示惊讶.他首先证明级数 f(a)=o+y1a+v2a2+… (其中u,是常数而α是正实数)如果对a的一个值δ收敛，则级数 对a的每个较小的值也收敛，而且当a小于等于8时，对于趋于0 的B,·f(ac-B)趋于f(a).最后一部分说一个对于变量a小于等 于8收敛的暴级数是变量的连续函数. Abel在1826年的同一篇论文中4)改正了Cauchy关于连续 函数的一个收敛级数的和一定连续的错误。他给出了例子 (2) in龙-im2a+in3a., 2 3 (41）1823,GE4vre8,(②)，4，p.237. (42)Exercices de mathematiques,2,1827=Ewvres,(2),7,160. (43)Euvres,2,259. (44)Jour.fir Math.,1,1826,311~339=Euvres,,1,219~250. (45)Euvres,1,224
IV 24 第40章·分析中注入严密性 虽然（②）的每一项都是连续的，但是，当x=(2m十1)π而%是整数 时，(2)是不连续的.4)然后他用一致收敛的思想正确地证明了连 续函数的一个一致收敛级数的和在收敛区域内部是连续的.Abel 没有从中把一致收敛的性质抽调出来. 级数2w,()的一致收敛概念要求对任意给定的8，存在W, 使得对所有的n>N,对某个区间上的一切如都有S()-2u() <8.S()当然就是级数的和.这个概念本身为一个第一流的数 学物理学家Stokes清楚地认识，4)而且也为Philipp I.Seidel (1821~1896)独立地认识.48)两个人都没有给出确切的系统阐述， 倒不如说他们两人指出了，如果连续函数的一个级数的和在x=0 点不连续，则在附近有一些：值，使得级数在这些点上任意慢地 收敛.他们也没有指出需要一致收敛性去验证级数逐项积分的合 法性.事实上，Stokes接受了Cauohy的逐项积分的用法.()Cauchy 最后还是认识到，为了断言连续函数的级数的和一定连续，需要一 致收敛性，(o,但即使是Cauohy,在当时也未看出他自己在使用级 数的逐项积分中的错误. ·实际上Weiers9 trass()早在1842年就有了一致收敛的概念. 他无意中重复了Cauohy关于一阶常微分方程的幂级数解的存在 定理。在此定理中，他断言级数一致收敛，因而构成复变量的解析 函数.大约在同一时期，Weierstrass利用一致收敛的概念，给出 (46)级数(2)②是号在区间-w<<x中的Fourie9r展开，因此这个级数表示周期函 数，在每个2x长的区间中是受于是当从左边趋于(2m+1产时级数收敛到受， 而当云从右边趋于(2%+1)时级数收敛到-空. (4T)Trans.Camb.Phil.Soc.,8,1848,533~583-Math.and Phys.Papers,1,236 313. (48)Abh.der Bayer.Akad.der Wiss.,1847/1849,379394. (49)Papers,1,242,255,268和283. (50)Comp.Remd,36,1853,454~459=Eume8,(1),12,3036. (51)were,1,67~85
6.Fourier级数 25 tv 了级数逐项积分和在积分号下求微分的条件. 通过Weierstrass周围的学生，'人们知道了一致收敛的重要 ·性，Hin日在一篇关于三角级数的论文中强调了这个概念)， Heine也许已经通过Georg Cantor听到了这个思想，Cantor曾在 柏林学习，然后在1867年去Halle,在那里他是一个数学教授. Weierstrass在做中学教师期间，还发现在实轴的一个闭区间 上连续的任何函数可以表为这个区间上的绝对一致收敛的多项式 级数.Weierstras9的结论，对多变量函数也对.这个结果)引起 人们极大的兴趣，在十九世纪的最后四分之一年代中，建立了这个 结果的许多推广，推广到用一个多项式级数或用一个有理函数级 数来表示复变函数. 人们曾假定级数的项是可以任意地重新排列的.1837年 Dirichlet在一篇论文4)中证明了，对于一个绝对收敛的级数，人 们可以组合或重新排列它的项而不改变级数的利和.他还给出例子 说明任何一个条件收敛的级数的项可以重新排列而使级数的和不 相同.Riemann在1854年写的一篇论文（见下文）中证明了，适当 重排级数的项可以使级数的和等于任何给定的数值.从1830年 代直到十九世纪末，.许多第一流的数学家推导了无穷级数收敛的 很多判别法则. 6.Fourier级数 我们知道，Fourier的工作表明，广泛的一类函数可以用三角 级数来表示.找出函数具有收敛Fourier级数的确切条件的问题 (62)Jor.fuir Math,.71,1870,353~365 (53)8 Sitzungs8ber.A%ad.Ws.Berlin,1885,633~639,789~905=Were,3,1~ 37. (54)40h.Eonig.Akad.der Wiss.,Berlin,1837,45~81-Werke,1,313~342 Jour.de Math.,4,1839,393~422
IV 28 第40章分析中注入严密性 尚未解决.Cauchy和Poisson的努力没有得到结果 Diriohlet在1822~1825年期间在巴黎会见Fourier之后，对 Fourier级数产生了兴趣.在一篇基本的论文《关于三角级数的 收敛性》(Sur la convergenoe des s6 ries trigonom6 triques）)中) Dirichlet给出了代表一个给定f(c)的Fourier级数是收敛的并 且收敛到f()的第一组充分条件.Dirichlet给出的证明，是对 Fourier在其《热的解析理论》的末尾儿节中草拟的证明的改进， 考虑函数f(x),它或者是以2π为周期的，或者是在区间[一元，] 上给定而且在每一个从[-元，]往左或往右的长为2x的区间上 定义为周期的.Dirichlet的条件是 (a)f(x)是单值、有界的 (6)f()是分段连续的；.即在（闭的）周期内只有有限多个间 断点. (⊙)f()是分段单调的；即在一个周期内只有有限多个最大 值和最小值 在基本周期的不同部分(x)可以有不同的解析表示 Dirichlet的证明方法是，直接求%项的和并研究当n趋于无 穷时会出现什么情况.他证明：对于任给的x值，只要f()在该 :处连续，则级数的和就是f(),如果f()在该x处不连续，则 级数的和是f(x-0)+f(c+0) 2 ·Dirichlet的证明中，必须仔细讨论当u无限增加时积分 a竖血。>0 (singa da,bza0 sin x 的极限值.这些积分至今还叫做Dirichlet积分」 与此工作相关联，Dirichlet给出了一个在有理点上取值为c (55)Jour.fur Math,.4,1829,157~169=Were,1,117132
6,Fourier级数 27V 而在无理点上取值为d的函数（第2节）.他曾希望推广积分的概 念使得更大一类函数仍可表为收敛到该函数的Fourier级数，但 是刚才提到的特殊函数就打算作为一个不能包括在一类更广积分 概念中的例子」 Riemann有一段短时间曾在柏林在Diriohlet的指导下进行 研究工作，而且对Fourier级数产生了兴趣.1854年在哥廷根在 他为取得大学教授资格而写的论文《试用短文》（丑abilitations chrf)中以此为题o),《用三角级数来表示函数》(Uber die Darstellbarkeit einer Funotion.duroh einer trigonometrisohe Reihe),文章的目的是要找出函数f(x)必须满足的充要条件使在 区间[一元，π]中的一点x处f(x)的Fourier级数收敛到f(). Riemann曾证明了基本定理：如果f()在[-，w]上有界且 可积，则Fourier系数 (3) a-是回,b,-∫，f回血nta 当%趋于无穷时趋于零.定理还表明有界可积的f()的Fourier 级数在[一而，]中的一点处的收敛性只依赖于f()在该点邻域 中的特性.但是寻求f()的Fourier级数收敛到它自己的必要而 又充分的条件的问题依旧没有解决. Riemann开辟了另一个研究路子.他研究三角级数，但不需 要根据公式(3)来确定Fourier系数.他从级数 (4) 亨a,mmt+空+字6，co9na 出发并定义 Ao=是bo,A.回=ainG+b,o8a 于是级数（④）等于 f@)-24(回.‘ (56)Abh.der Ges.der Wiss.su Gott.,13,1868,87~132-Werke,227~264