IV 18 第40章分析中注入严密性 积时， Jf(dz-f()-J). Darboux的论点是 fo)-f(o)-客fa）-f-, 其中a=0<1<2<…<=b.由中值定理， [f()-f(-1)]-Σf'(t)(c-x-）, 这里是(c-,x)中的某个值.现在若最大的，或一-1趋 于零，则上式的右端趋于f()血，而左端是f(O)-f(@). 1870年代和1880年代最受欢迎的活动之一，就是构造各种 具有无穷个间断点而在Riemann意义下仍为可积的函数.在这 方面，.H.J.S.Smith3o)给出了在Riemann意义下不可积的函 数的第一个例子，但是这个函数的间断点是“稀疏”的.Dirichlet 函数（第2节）也是Riemann意义下不可积的，不过它是处处不连 续的 积分的概念后来推广到了无界函数，还推广到各种广义积分， 最有意义的推广是在二十世纪由Lebesgue作出的（第44章）.然 而，就初等微积分而言，到1875年时积分概念就已经建立在充分 广阔而严密的基础之上了， 二重积分的理论也解决了.十八世纪已经处理过比较简单的 二重积分（第19章第6节）.Cauchy在1814年的论文（第27章 第4节)中指出，如果被积函数在积分区域中不连续，则在计算二 重积分f(g,)dady时，积分的次序至关重要.Caucby特别指 出1)，当f无界时累次积分 w(fe,0a）,a(fo,g0w) (30)Proc.Lom.11ath.Soc.,6,1875,140~153=Col.Paer8,2,86~100. (31)Memoire(1814年)；特别见Euvres,(1),1,p.394
5.无穷级数 19W 不一定是相等的. Karl J.Thomae(1840~1921)把Riemann的积分理论推广 到二元函数.购以后Th0mae在1878年)给出了有界函数的一 个简单例子，表明上面第二个累次积分存在但第一个没有意义， 在Cauchy和Thomae的例子中，二重积分都不存在.但在 ,1883年3)Du Bois-Reymond证明了，即使二重积分存在，两个 累次积分也不一定存在.在二重积分的情形，最有意义的推广也 是由Lebesgue做出的. 5.无穷级数 十八世纪的数学家不加辨别地使用无穷级数.到十八世纪 未，由于应用无穷级数而得到的一些可疑的或者完全荒谬的结果， 促使人们追究对无穷级数进行运算的合法性.在1810年前后， Fourier,Gauss和Bolzan0开始确切地处理无穷级数.Bolzano 强调人们必须考虑收敛性，并且特别批评了二项式定理的不严密 的证明.Abel是对无穷级数的老式用法的最公开的批评者， Fourier在他1811年的论文中，以及在他的《热的解析理论》 中，给出了一个无穷级数收敛的满意的定义，虽然一般说来他是随 便使用发散级数的.在书中（英文版P.196)他所讲的收敛的意思 是指，当%增加时前%项的和愈来愈趋近一个固定的值，而且同这 个值的差变得小于任何给定的量.而且他认识到，只能在如值的 一个区间中得到函数级数的收敛性.他还强调指出收敛的必要条 件是通项的值趋于零.但是级数1-1+…仍然愚弄了他；他以为 这个级数的和是云· (32)Zeit.fur Math.und Phys.,1,1876,224~227. (33)Zeit.fur Math.und Phys.,23,1878,67~68. (34)Jour.fur Math.,94,1883,2r3~290
IV 20 第40章分析中注入严密性 对收敛性的第一个重要而极其严密的研究是由Gauss在他 1812年的论文《无穷级数的一般研究》(Disquisifiones Generalee Ciroa Seriem Infinitam)3)中给出的，在那篇文章中他研究了超几 何级数F(a,B,Y,).在Gauss的大多数著作中，如果级数从某 一项往后的项减小到零，他就把这个级数叫做收敛的.但在1812 年的论文中，他注意到这不是一个正确的概念.、因为对4，B和Y 的不同的选取，超几何级数可以代表许多函数，所以对超几何级数 提出一个确切的收敛判别准则看来是Gauss的愿望.判别准则是 很费劲地得到了，但是只解决了原来想到的级数的收敛性问题 Gauss证明了对实的和复的x,如果|x<1,则超几何级数收敛， 而如果x>1则发散.对=1，级数当且仅当x十B<y时收敛， 而对x=一1，级数当且仅当a:+B<y+1时收敛.论文中异乎寻 常的严密性使那时的数学家们丧失了兴趣.此外，Gauss只关心 特殊的级数而没有着手处理级数收敛的一般原则. 虽然Gauss作为第一个认识到需要把级数的使用限制在它们 的收敛区域内而被经常提到，但他回避任何决定性的表态.他是， 如此专心于用数值计算去解决具体问题以至于他使用了T函数 的Stirling发散展开.当他在1812年决定研究超儿何级数的收 敛性时，他说③，他这样做是为了使那些喜欢古代几何学家严密 性的人们高兴，但他没有表明他自己在这方面的立场.在他的论文 中，n他利用了1og(2-2c0sx)展为x的倍数的余弦的展开式，可 是没有证明这个级数的收敛性，而且按当时可用的技巧而言，也许 不可能有证明.Gauss在他的天文学和测地学工作中，和十八世 纪的人一样，沿旧习使用了无穷级数的有限多个项而路去其余项。 当他看出后面的项在数值上是小的时候他就停止取项，当然他没 (35)C0mm.8oc.Gott.,2,1813-Werke,,3,125~162和207~229. (36)were,3,129 (37)Werke,.3,156
5.无穷级数 21 IV 有估计误差. Poisse0n也采取了奇特的立场.，他拒绝发散级数88)，甚至给 ·出了用发散级数作计算怎样会导致错误的例子.尽管如此，当他 把一个任意函数表为三角级数和球函数级数时，他还是广泛地使 用了发散级数 Bo]ano在他1817年的出版物中已经对序列收敛的条件有 了正确的概念，现在把这个条件归功于Cauchy.-Bolzano也已有 了关于级数收敛的清楚而正确的概念.但正如我们早先指出的那 样，他的工作没有广泛为人所知. Cauchy关于级数收敛性的工作是这一课题的第一个具有广 、泛意义的论述.他在《分析教程》中说：“令 8m=u6+u十22+…十un-1 是[我们所研究的无穷级数]前%项的和，%表示自然数.如果对 于不断增加的%的值，和$无限趋近某一极限8，则级数叫做收敛 的，而这个极限值叫做该级数的和.3反之，如果当%无限增加 时，8不趋于一个固定的极限，该级数就叫做发散的，而且级数没 有和.” 在定义了收敛和发散以后，Cauohy叙述了（教程》，p.125) Cauchy收敛判别准则，即序列{S}收敛到一个极限S,当且仅当 S+,一Sn的绝对值对于一切？和充分大的%都小于任何指定的 量.Cauchy证明了这个条件是必要的，但是仅仅指出，如果条件 成立，序列的收敛性就有了保证.要作出证明，他还缺少有关实数 性质的知识. Cauchy.然后叙述并证明了正项级数收敛的一些特殊的判别 法.他指出n必须趋于零.另一个判别法（教程》，132~135）需要人 (38)Jour.de 'Ecole Poly.,19,1823,404~509. (39)序列的极限的正确概念是由Wali8在1655年给出的(0iera,1695,1,382),但 是未被人们采用
IV 22 第40章分析中注入严密性一 们求出当%变为无穷时表达式（似，）云趋向的一个或几个极限，用 来记这些极限中的最大者.如果飞<1则级数收敛，如果>1则 级数发散。他也给出了使用m亡2的比值判别法，如果这个极 限小于1则级数收敛，如果极限大于1则级数发散.如果比值为 1,还给出了比值为1时的特殊判别法.接着是比较判别法和对数 判别法.他证明了两个收敛级数的和un十v收敛到各自极限的 和，对于乘积也有类似的结果.对于带有负项的级数，Cauohy证 明了由项的绝对值构成的级数收敛时原级数收敛，然后他推导了 交错级数的Leibniz判别法。 Cauchy也研究了级数 Σun(x)=h(x)+2(x)+g(x)+… 的和，其中所有的项都是单值的连续实函数.这里用常数项级数 的定理来确定收敛区间.他也研究了项是复变函数的级数 Lagrange-是第一个叙述带余项的Taylor定理的人，但Cauohy 在他的1823年和1829年的教科书中指出了重要的一点：如果余 项趋于零，则Taylor级数收敛到导出该级数的函数.他给出了 卫aror级数不收敛到导出该级数的一个函数的例子。”+。÷. 在他的1823年的教科书中，他给出了一个例子，函数。云在x=0 有各阶导数，但在x=0邻近没有Taylor展开.这里他用一个例 子反驳了Lagrange在他的k函数论》(Theorie des fonctions)(第V 章，第30条)中的断言，即如果f(x)在x有各阶导数，则f()可 表为在附近的x处收敛到f(x)的Taylor级数.Cauchy还在 Taylor公式中给出了另一形式的余项公式.o 在这里，Cauohy在严密性方面有些失检.在他的《分析教程》 (Cours danalyse)(pp.131~132)中他说，如果当F()-≥w,() (40)Exercices de mathimatiques,1,1826,5-Euvres,(2),6,3842