.4.积分 13 IV 其中a是一个大的正整数.但是这个例子直到1890年1才发表， 最引起人们注意的例子，是由Weierstrass给出的.早在1861年 他在讲课中已经确认，想要从连续性推出可微性的任何企图都必 定失败.1872年7月18日，在柏林科学院的一次讲演中，他给出 了处处不可微的连续函数的经典例子(22.Weierstrass在1874年 的一封信中把他的例子写信告诉了Du Bois-Reymond,而由后者 首先发表出来.(2)Weierstrass的函数是 f(@)-会6”cos(@r, 其中a是一个奇整数而是一个小于1的正的常数，而且ab>1 +(受）这个级数是一致收敛的，因而定义一个连续函数。 Weirstrass的例子指动人们去创造更多的函数，这些函数在一个 区间上连续或到处连续，但在一个稠密集或在任何点上都是不可 微的.(24) 发现连续性并不蕴含可微性，以及函数可以具有各种各样的 反常性质，其历史意义是巨大的.它使数学家们更加不敢信赖直 观或者几何的思考了. 4。积分 Newton的著作表明面积可以通过把微分法反过来求得.当 然这仍是本质的方法.Leibniz关于把面积或体积看作是诸如矩 形或柱体微元的“和”的思想[定积分]被忽视了.在十八世纪当微 (21)Bu.des Sci..Math,(②)，14,1890,142160. (22)Werke,2,71~74. (23)Jor.fir Math.,79,1875,21~37. (24)其它的例子和参考文献可以在E.J.Townsend的Functionso时f Real Varinbles (Henry Holt,1928)E.W.Hobson The Theory of Functions of a Real Variable2卷第6章(Dover(重印)，1957中找到
w14 第40章分析中注入严密性 元“和”的概念多少被采纳时，使用这些概念也是很不严谨的. Cauchy强调把积分定义为和的极限来代替把积分看作是微 分法的逆运算这个改变至少有一个主要的理由.我们知道， Fourier处理过间断函数，而Fourier级数的系数公式是 -f)地，=f倒血 这就要求间断函数的积分.Fourier把积分看成一个和(Leibniz 的观点)，因此处理即使是间断的f(x)也没有什么困难.但是当 (x)是间断函数时，必须考虑积分的解析含义的问题， Cauohy在他的概论》(1823)中对定积分作了最系统的开创 性工作，在书中他也指出在人们能够使用定积分、原函数之前，必 须确立定积分的存在，以及间接地确立反导数或原函数的存在， 他从连续函数开始. 他对连续函数f()给出了定积分作为和的极限的确切定 义.(2如果区间[xo,X]为c的值，2，…，n-1所分割，n= X。,则积分是 im会f()(,-4-, 其中5：是x在[m-1,]中的任一值.定义中事先假设f(w)在 [x,X]上连续以及最大子区间的长度趋于零.这个定义是算术 性的.Cauchy证明了，无论怎样选取x和5，积分都存在.但由 于他没有一致连续性的概念，他的证明是不严密的.他用Foui©r 建议的记号f回)d证来代替mc对反微分法经常使用的记号 rae[8】 接着Cauohy定义 F()-f(@da, (2)五sum6,8184-Cures,(2),4,122127
4.积分 15 IV 且证明F()在[o,X]上连续.置 Ee+-F@-1[f回da, 并利用积分中值定理，Cauohy证明了 F'(x)=f(x) 这就是微积分基本定理.Cauchy的表示方法是微积分基本定理 的第一个证明.在证明了给定函数f(x)的全体原函数彼此只差 二个常数之后，他把不定积分定义为 f回da=fada+a. 他指出，若假定'()连续，则 Sf()dz-f(v)-f(@). 然后Cauohy论述了在积分区间的某些值x处f()变为无穷或积 分区间趋于∞时的奇异（反常）积分.对于f(x)在心=c点不连续， 而在这点处f()可以有界也可以无界的情形，Cauchy把反常积 分定义为 foas-。foa+J.. 只要右端的极限存在，当1=e2时我们就得到，Cauohy所谓的主 值 曲线所界区域的面积，曲线的长度，曲面所界区域的体积，以 及曲面的面积等概念，已经作为直观的理解而被人们接受了，而 这些量能用积分来计算已被看作是微积分重大成就之一，但是 Cauchy为了和他的算术化分析的目标相一致，他用计算这些量而 建立起来的积分公式来定义这些几何量.由于积分公式把限制强 加给被积函数，所以Cauchy已在无意中对他所定义的概念加上 了一种限制.例如由y=f(x)表示的曲线的弧长公式是 -1+g
w16 第40章分析中注入严密性 而在这个公式中事先假定了f(x)是可微的.至于面积、曲线长度 和体积的最一般定义是什么的问题，是后来才提出来的（第42章 第5节). Cauchy已经对任何连续函数证明了积分的存在.他也定义 了被积函数具有跳跃间断和被积函数为无穷时的积分.但是随着 分析的发展，显然需要去研究更不规则的函数的积分，Riemann 在他1854年关于三角级数的一篇论文中提出了可积性这个课题。 他说：考虑使Fourier系数的积分公式仍然成立的较宽条件，虽然 对物理应用不一定是重要的，但至少对数学是重要的. Riemann把积分推广到在区间[a,b]上有定义且有界的函数 ·f()上去.他把[a,b]分割成子区间24m,r2,,4c,并把 f()在上的最大值和最小值之差定义为f()在44上的振 幅.然后他证明了，当最大的4，趋于0时，和式 (du （(其中，是：中x的任一值)趋于一个唯一的极限（积分存在）的 ·一个必要充分条件是：区间c:(在其中f()的振幅大于任给的 数入)的总长度必须随着各区间长度的趋于零而趋于零。 然后Riemann指出，关于振幅的这一条件使他可以用具有孤 立间断点的函数以及具有到处稠密的间断点的函数来替代连续函 数.事实上，他所给出的在每个任意小区间上有无穷多个间断点 的可积函数的例子（第3节），是企图说明他的积分概念的一般性」 这样，Riemann就在积分的定义中去掉了连续和分段连续的要 求 Riemann在他1854年的论文中给出了在区间[a,b们上有界 函数是可积的另一个必要充分条件，但是没有进一步的说明.实 际上相当于首先建立现在所谓的上和与下和 (26)为简单起见，我们用4表示子区间及其长度
、 4,积分 17 IV S=M1d+…+Mnn, 8=m1c1+…十mn4cn 这里，m,和M,是f(x)在，上的最小值和最大值.然后令D,= M,-m4,Riemann指出，当且仅当对于区间[a,b]上d,的一切选 法都有 im(D4+Da4++Dd-0 时，f(x)在[a,b]上的积分才存在.Darboux把Riemann的说法 阑述得更加完全，并且证明了这个条件是必要充分的.2”S有许 多值，·每一个值与把[a,b们分为x,的分划对应.类似地s也有 许多值.每个S叫上和而每个s叫下和.令J是8的下确界，而 令I是s的上确界.就得到I≤J.于是Darboux的定理说，当 :的数目无限增加，使最大子区间的长度趋于0时，和S与s分 别趋于J与I.如果J一I,则说有界函数在[a,b]上是可积的. 然后Darboux证明，一个有界函数f(x)在[a,b]上可积的充 要条件是，∫(x)的间断点组成一个测度为零的集合.所谓间断点 集合的测度为0，它的意思是指间断点可以包含在有限个区间中， 而这些区间的总长度是任意小.这种关于可积性条件的确切阐 述，也由许多人在同一年(1875年)给了出来.Volterra对8的下 确界J引入了上积分这个术语和记号子国出，他还对的上骑 界引入了下积分这个术语和记号f()d血. Darboux在1875年的论文中还证明了，在推广了的意义下， 可积的函数的微积分基本定理成立.Bonnet不用f'(x)的连续性 证明了微分学的中值定理.(2)Darboux利用这个证明（这个证明 在现在是标准的)证明了，当f'仅在Riemann-Darboux意义下可 (27)4nn.deEcole Norm.Sup,(2),4,1875,57~112. (28)Gior.d1Mat.,19,1881,333372. (29)发表在Serret的Cours de caloul diferentie et integral,l,18G8,l7~l9