1v8 第40章分析中注入严密性 因此直到1859年他在柏林大学任教之前，他的大部分工作没有为 人们所知道 Weierstrass攻击“一个变量趋于一个极限”的说法，这种说法 不幸地使人们想起时间和运动.他把一个变量简单地解释为一个 字母，该字母代表它可以取值的集合中的任何一个数.这样运动 就消除了.一个连续变量是这样一个变量，如果0是该变量的值 的集合中的任一值而8是任意正数，则一定有变量的其它值在区 间(-8，o+8)中】 为了消除Bolzano.和Cauchy在定义函数的连续性和极限中 用到的短语“变为而且保持小于任意给定的量”的不明确性， Weir给出了现今所采用的定义：如果给定任何一个正数 8,都存在一个正数δ使得对于区间o一0|<8内的所有的2都 有f()一f(o)I<8,则f(如)在如=0处连续.如果在上述说法 中，用工代替f(o),则说f()在知=o处有极限工.如果函数 f()在区间内的每一点x处都连续，就说f(知)在：值的这个区间 上连续. 在连续性概念本身正被精细地研究着的那些年代里，为了严 密地建立分析而进行艰雄的尝试就要求人们证明许多原先已经被 直观地接受了的有关连续函数的定理.Bolzan0在他1817年的 出版物中，企图证明如果f()在心=a处为负而在x=b处为正， 则f(如)在a和b之间有一个零点.他（对固定的）考虑函数序列 (①) F1(ac),F2(x),F3(),…,Fn(),… 而且引入了这样的定理：如果%充分大，可使差数Fn+一F。对于 无论多大的？都小于任何给定的正数，则存在一个固定的量X, 使得这个序列愈来愈靠近X,而且确实如人们所想要的那样靠近 X,他对量X的确定是含糊的，因为他没有一个清楚的实数系的 理论，尤其是不清楚作为实数系基础的无理数的理论.然而他已 经有了我们现在叫做序列收敛的Cauchy条件的思想（见下面）
8.函数及其性质 9 IV 在证明的过程中，Bolzano建立了有界实数集的最小上界的 存在.他的确切的陈述是：如果性质M不能适用于变量x的所 有的值，但对于所有小于某个w的值性质M成立，则总存在一个 量U,它是所有这样的量u的最大值.这个引理的Bolzano证明 的实质，在于把有界区间分成两部分，而选取包含集合的无穷多个 元素的那一部分.然后他重复这一手续，直到他得到给定实数集 的最小上界才停止.Weierstrass在1860年代应用Bolzan0贡献 的这一方法证明了现在冠以Weierstrass-Bolzan0名字的定理.这 个定理证实了对于任何有界无穷点集，存在一个点，使得该点的任 何邻域内都有这无穷点集的点 Cauchy(在他关于多项式的根的存在的证明之一中)已经不加 证明地用过定义在闭区间上的连续函数存在最小值.Weierstrass 在他的柏林讲义中证明了：对任何定义在有界闭区域的单变量或 多变量的连续函数，存在函数的一个最大值和一个最小值， 在Georg Cantor和Weierstrass的思想的鼓舞下，Heine定 义了单变量或多变量函数的一致连续性1，而后又证明了在实数 系的有界闭区间上的连续函数是一致连续的.(a3)Heine的方法引 进且利用了下述定理：设给定了一个闭区间[a,b],以及位于[a, ]中的所有闭区间构成的一个可数无穷集合.4，使得a≤x≤b中 的每一点至少是4中一个区间的内点.（当a是一个区间的左 端点而b是另一个区间的右端点时，也把端点a和b看作是内 点，)则由4中有限多个区间组成的一个集合具有同样的性质，即 闭区间[a,]的每个点至少是这个有限区间集合中的某一区间的 一个内点(a和b可能是端点)」 mile B0rel(1871~1956),本世纪的第一流法国数学家之 一，清楚地认识到能够选出有限个覆盖区间的重要性，而且对原来 (12)Jour.fiir Math.,71,1870,353~365 (13)Jor.ftir Math.,74,1872,172188
IV 10 第40章分析中注入严密性 的区间集合4是可数的情形首先把它叙述为一个独立的定理.a) 虽然许多德国和法国的数学家把这个定理叫做Bor阳l定理，但由 于Heine在关于一致连续的证明中利用了这个性质，所以这个定 理也叫Heine-Borel定理.正如Lebesgue所指出的，这个定理的 功绩不在于它的证明（它的证明是不难的），而在于认识到这个定 理的重要性，而且把它作为一个清楚的定理确切地陈述出来.对 于任何维数的闭集合，这个定理都适用，而且现在它已成了集合论 中的一个基本定理， 把Heine-Borel定理推广到可以从一个不可数无穷集合中选 出覆盖区间的一个有限集合的情形，通常归功于L8be8gue,他自 称在1898年就已经知道了这个定理而且发表在他的《积分学教 程》(Legons sur t'integration,.1904)中.但是这个定理是由 C0usin(1867~1933)在1895年首先发表的.1) 3.导数 D'Alembert是看出Newton在本质上具有正确的导数概念 的第一个人..在《百科全书》(Encyclopedie)中d'Alembert明确 地说，导数必须建立在应变量的差和自变量的差的比的基础上 这个看法再次系统地阐述了Newton的最初和最后比.由于 d'Alembert的思想仍然受几何直观的束缚，他没有继续前进.在 后来的五十年中他的继承者们仍然不能给出导数的明确定义.连 Pois0n都相信，小于任何给定的无论多小的正数的非零正数是存 在的。 Bolzan0第一个(1817)把f(x)的导数定义为当4m经由负值 和正值趋于0时，比[f(x+w)一f(x)]/4无限接近地趋向的量 (14)Anm.deEcole Norm.8up,(3),12,1895,9~55. (15)Acta Math.,19,1895,1~61
8.导数 11w f(x).Bolzano强调f(c)不是两个0的商，也不是两个消失了的 量的比，而是前面指出的比所趋近的一个数， Cauohy在他的《无穷小分析教程概论》a中，用和Bolzano同 样的方式定义导数.然后他通过把dx定义为任一有限量而把dy 定义为f(a)dam,从而把导数的概念和Leibniz的微分统一起 来.a切换句话说，他引入两个量，根据定义，它们的比是f'().微 分通过导数就有了意义，但只是一个辅助的概念，在逻辑上没有它 也行，但是作为思考或书写的手段是方便的.Cauohy还指出，整 ·个十八世纪所用的微分表达式的含义就是通过导数来表示的. 然后他通过平均值定理，即侧=f'(x+0),其中0<0< 1,来澜明兴和f'()回之间的关系.Lagrange已经知道这个定 理（第20章第7节）.Cauchy在平均值定理的证明中用到了 f'(c)在区间(，+c)上的连续性. 虽然Bolzano和Cauohy已经（多少）严密化了连续性和导数 的概念，但是Cauchy和他那个时代的几乎所有的数学家都相信， 而且在后来五十年中许多教科书都“证明”，连续函数一定是可微 的（当然要除去象y=}中的：=0那样的孤立）.Boizan0确实 了解到连续性和可微性之间的区别.在他的《函数论》(Fuk tionenlehre)中（他在1834年写这本书，但没写完也没有发表）18，他 给出了一个在任何点都没有有限导数的连续函数的例子.Bolzano 的例子象他的其它著作一样，没有引起人们的注意.(1)即使他在 1834年发表这个例子也可能不会产生什么影响，因为他所举的例 (16)1823,Eures,(2),4,22. (1T)Lacroix在他的《专著的第一版中早就这样定义dy了。 (18)8 chrifter%,1,Prague,1930.这是由K.Bych1i止编辑出版的，布拉格，1930. (19)1922年Rychli肚证明了这个函数是到处不可微的.见Gerhard Kowalewski, "Uber Bolzanos nichtdifferenzierbare stetige Funktion,"Acta Math.,44, 1923,315~319.这篇文章包括Bolzan0函数的一个描述
1w12 第40章分析中注入严密性 子是一条曲线，没有解析表达式，而对那个时期的数学家来说，函 数仍然是由解析表达式给出的实体， 最终讲明白连续性和可微性之间的区别的例子，是由 Riemann在取得大学教授资格的论文(Habilitations-schrift)中 给出的，这是他为了取得哥廷根(G6 ttingen)的一个大学讲师（职 位)(Privatdozent)而在l854年写的论文，《用三角级数来表示函 数的可表示性》(Uber die Darstellbarkeit einer Function duroh sine trigonometrische Reihe).(2o,(这是作为应征讲演而写的几 何基础方面的论文（第37章第3节）.)Riemann定义了下面的函 数.令(x)表示x和最靠近x的整数的差，如果x在两个整数的中 点则令（回）=0.于是-是<()<f国)定义为 fa)-包+22+m+ 9 这个级数对所有的。值收敛。然而（对于任意的刊对=品其 中p是一个和2m互质的整数，f()是间断的而且具有一个数值 为需的跳跃。在的所有其它数值处，于回)是连续的。而且 在每个任意小的区间上f()有无穷多个间断点.尽管如此，∫() 却是可积的（第4节）.而且F()=f(x)c对一切x连续，但在 f()的间断点处没有导数.这个例子直到1868年才发表，在这之 前这个病态函数没有引起多大的注意， 连续性和可微性之间的一个甚至是更为惊人的区别，是由瑞 士数学家Charles Cell6rer(1818~1889)指出的.1860年他给出 了一个连续但处处不可微的函数的例子，就是 f(a)asin da, (20)Abh.erGe8.der Wis8.zwG6tt.,13,1868,87~132=Were,227~264