2.函数及其性质 3 IV integral)同Cauchy的代数分析教程》相比较，就开始看到十八 和十九世纪的数学之间的明显不同.特别要指出，Lagrange纯粹 是形式的.他用符号表达式来进行运算.在他那里没有极限、连 续等根本性的概念 Cauohy在他的1821年著作的导言中说得非常明白，他企图 给分析以严密性。他指出对一切函数自由地使用那些只有代数函 数才有的性质以及使用发散级数都是不合法的.虽然Cauchy的 工作只基迈向严密化方向的一步，他自己却相信而且在《概论》 (Resume)中说他已经把分析的严密化进行到底了.至少对初等 函数，可以说他确实开始给出了定理的确切证明并作出了有适当 限制的断言.Abel在他1826年关于二项式的论文中赞扬Cauohy 的成就：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人都应该读这本杰 出的著作[分析教程].”Cauchy抛奔了Euler的显式表示和 Lagrange的幂级数而引进了处理函数的新概念. 2.函数及其性质 十八世纪的数学家大多相信一个函数必须处处都有相同的解 析表达式.在十八世纪的后半叶，很大程度上作为弦振动问题上 争论的一个结果，Euler和Lagrange允许函数在不同的区域上具 有不同的表达式，而且在那些有同一表达式的点上用连续这个词， 而在那些改变了表达式形式的点上用不连续这个词（虽然在现代 意义上讲整个函数可能都是连续的).当Euler、.d'Alembert和 Lagrange不得不重新考虑函数的概念时，他们既没有得到任何广 泛被采用的定义，也没有解决什么样的函数可以用三角级数来表 示的问题，但是多方面的逐渐发展以及函数的应用迫使数学家接 受一个更广的概念。 、()3vols.,1sted,1797~1800;2udcd.,1810~1819
IV 4 第40章分析中注入严密性 在Gauss的早期著作中函数指的是一个封闭的（有限解析的） 表达式，而当他谈到超几何级数F(a,B,Y,)作为c,B,y和 的函数时，他用注解来确定它的意义说：“在这个范围内能认为它 是一个函数.”Lagrange在把幂级数看成函数时早就采用了一个 更广的概念.在他的《解析力学(M6 canique analytiquo,1811~ 181)第二版中，他用函数一词来表示几乎是任何类型的对一个或 多个变量的依赖关系，甚至在La0roix1797年的《专著》中早就引 入了一个更广的概念.他在引论中说：“每一个量，若其值依赖于一 个或几个别的量，就称它为后者（这个或这些量）的函数，不管人们 知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者.”作为一个例 子，Lacroix把一个五阶方程的一个根作为该方程系数的函数. Fourier的工作甚至更广泛地展现了函数究竟是什么的问题. 一方面他主张函数不必表示为任何解析表达式.他在他的《热的解 析理论》(The Analytical Theory of Heat)中说：“通常，函数f(x) 表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的… 我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；它们以任何方式一 个挨着一个….”实际上，他只讨论了在任一有限区间上具有有 限个间断点的函数.另一方面，在某种程度上Fourier支持函数 必须用二个解析表达式来表示的论点，即使这个表达式是一个 Fourier级数.`无论如何，Fourier的工作是动摇了十八世纪的这 样一个信念，即所有函数无论它们怎么坏总都是代数函数的推广 代数函数，甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了.由于代数 函数的性质不再能搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、 可微性、可积性以及其它性质的真实意义究竟是什么的问题就提 出来了」 在许多人从事的分析的积极重建中，实数系被认为是当然没 有问题的.没有人企图去分析实数系的结构或逻辑地建立实数 (8)英译本，p.430,Dover(蓝印)，1955
8.函数及其性质 5 IV 系.显然数学家们认为就所讨论的问题而言他们是立足于可靠的 基础之上的 Cauchy在他1821年的书中是从定义变量开始的.“人们把 依次取许多互不相同的值的量叫做变量.”至于函数的概念，“当变 量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中一个的值，就可 以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中 的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示 的其它量就叫做这个自变量的函数.”℃auchy也清楚无穷级数是 规定函数的一种方法，但是对函数说来不一定要有解析表达式 在一篇关于Fourier级数的论文g用正弦和余弦级数来表示 完全任意的函数（心ber die Darstellung ganz willkirlioher Funotionen durch Sinus-und Cosinusreihen),(这篇文章我们将 来还要谈到)中，Diriohlet给出了（单值）函数的定义，这个定义是 现今最常用的，即如果对于给定区间上的每一个如的值有唯一的 一个y的值同它对应，那么y就是x的一个函数.接下去他又说， 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于心，或者y 依赖于心是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的.事实上， 在1829年1，他给出了x的一个函数的例子，它对一切有理数取 值c而对一切无理数取值d. Hankel指出，至少在十九世纪的上半世纪，最好的教科书中 在讲到函数概念是什么的时候是混乱的.一些书本质上按Dr 的意义定义函数：另一些书则要求y随x依某一规律而变化，但是 又没说规律的含义是什么；有些书则采用了Dirichlet的定义；还 有一些书则不给定义.但是由他们的定义推出的结论并不逻辑地 蕴含在这些定义中. 连续和间断之间特有的区别逐渐显现出来了.对函数性质的 (Eepertorinm der Plysik,1,1837,152~174-Werke,1,135~160. (10)Jour.fur Math.,4,1829,157~169-Were,1,117~132
Iv e 第40章分析中注入严密性 仔细研究是由Bernhard Bolzano(1781~1848)开始的，他是波希 米亚的一个神父、哲学家和数学家.Bolzano做这一工作，是由于 他试图为代数基本定理给出一个纯算术证明来替代Gauss用几何 思想的第一个证明(1799).对于微积分的建立（除实数理论外）， Bolzano具有正确的概念，但他的工作有半个世纪未被注意.他不 承认无穷小数和无穷大数的存在，而无穷小和无穷大正是十八世 纪的作者曾经用过的.在1817年的一本以《Rein analytischer Beweis(纯粹分析的证明)》开始的书名很长的一本书中（参看文 献)，Bolzano给出了连续性的恰当定义，即若在区间内任一c处， 只要ω（的绝对值）充分小，就能使差f(十)一f()(的绝对值)任 意小，那么就说f()在该区间上连续.他证明了多项式是连续的. Cauchy也抓住了极限和连续性的概念.和Bolzan0一样，极 限概念是基于纯算术的考虑.他在《教程(1821)中说，“当一个变 量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之 差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限.例如，一个 无理数就是那些在数值上愈来愈接近于它的不同分数的极限.”这 个例子有点不恰当，因为许多人把这样的极限作为无理数的定义， 而如果无理数事先不存在，那么极限就没有意义.Cauchy在1823 年和1829年的著作中删去了这个例子」 Cauchy在其1821年著作的序言[k教程》第5页]中说，当说 及函数的连续性时，必须说明无穷小量的主要性质.“当一个变量 的数值这样地无限减小，使之收敛到极限0，那么人们就说这个变 量成为无穷小.”Cauchy把这种变量叫做无穷小量.这样一来， Cauchy就澄清了Leibniz的无穷小概念而且把无穷小量从形而 上学的束缚中解放出来.Cauchy继续说，“当变量的数值这样地 无限增大，使该变量收敛到极限∞，那么该变量就成为无穷大.”但 是∞不意味着是一个固定的量，而只是无限变大的某个量 现在Cauchy准备给函数的连续性下定义了.在教程》(pp
·2.函数及其性质 7 IV 34~35)中他说：“设f()是变量x的一个函数，并设对介于给定 两个限[界]之间的的值，这个函数总取一个有限且唯一的值. 如果从包含在这两个界之间的一个x值开始，给变量x以一个无 穷小增量a,函数本身就将得到一个增量即差f(+a)一f(x), 这个差同时依赖于新变量“和原变量：的值.“假定了这一点之 后，如果对于每一个在这两个限中间的x的值，差f(心+a)一f() 的数值随着α的无限减小而无限减小，那么就说，在变量x的两限 之间，函数f()是变量的一个连续函数.换句话说，如果在这两 限之间，变量的一个无穷小增量总产生函数自身的一个无穷小增 量，那么函数f()在给定限之间对于：保持连续。 “我们也说f()在变量x的一个确定值的邻域中是x的连续 函数，只要这函数在：的这两个限之间是连续的，而不管界住自变 量的值的这两个限是多么靠近.”然后Cauchy又说，如果函数在 包含的任何区间上不连续，就说函数在处不连续 Cauchy在他的教程》中(p.37)断言，如果一个多变量函数 分别对每个变量都是连续的，则它对于所有变量都连续.这是不 正确的. 在整个十九世纪，连续的概念是人们研讨的对象，因而数学 家们对它更多地理解了，有时候产生使他们感到吃惊的结果. Darboux曾给出一个函数的例子，当从心=a变到c=b时，这个函 数取遍两个给定值之间的一切中间值，但却不是连续的.这样，连 续函数的一个基本性质是不足以确保函数连续性的.四 Weierstrass在分析严密化方面的工作改进了Bolzano,Abal, 和Cauohy的工作.他也力求避免直观而把分析奠基在算术概念 的基础上，但他是在1841~1856年做中学教师时做这些工作的， (仙)考虑当x+0时y=血二而当：=0时y0.这个函数取遍从云的一个负值所 对应的函数值到x的一个正值所对应的函数值之间的一切值，但是这个函数在 =0点不连续