6第1章引 论 从而 lim sinx=0. 然后，若作变量替换x=罗-z并回到si(受-z)=cos乙，我们就断言 i。cosx=0. 把这两个极限都进行平方并相加之，我们见到 lim (sin2x +cos2 x)=02+02=0. T- 另一方面，我们有sin2x+cos2x=1对于一切x成立.于是就得到1=0！此处困 难是什么？ 例1.2.5（交换求和次序） 考虑下述算术事实.考虑一个任意的数字矩阵，例 如 123 6 78 并计算它的各行的和以及各列的和，然后把全部行和加起来，也把全部列和加起来」 我们将得到同一个数一一 就是矩阵的全体元素的和： 123 6 4 56 15 789 24 121518 45 用另一个方式来说，如果你要把一个m×n矩阵的全体元素都加起来，你先把每行 加起来或先把每列加起来都没关系，最后总得到同一答数.（在计算机发明之前，会 计师及记账人员就用这个事实来避免他们账本上的差错)用级数的记号，这个事实 表示为 2宫 如果a防代表矩阵中第i行第)列的元素的话. 现在我们可能认为这个法测应该容易地推广到无限级数： 2蓉-云
S1.2为什么要做分析7 实际上，如果在你的工作中常常用到无限级数，你就会发现自己常是这样来求和的 用另一种方式来叙述这一事实就是，在一个无限矩阵中，行和之和等于列和之和.但 是，不管这个命题多么有道理，它却实际上是错误的！举一个反例： 0 00 -1 0 -1 0 如果你把每一行加起来，再把全部行和加起来，你就得1；但如果你把每一列加起 来，再把全部列和加起来，你就得0：那么，这是不是意味着对无限级数求和时不可 换序，而任何使用此类换序的论述都是不可信的？（答案见定理8.2.2） 例1.2.6（积分换序）积分换序是数学中常用的技巧，就像求和换序一样.假 设要计算曲面z=f(x,)之下的体积（我们暂且略去积分限），可以平行于x轴作 切割：对于每个固定的y值，我们可以计算出一个面积∫f(x,)x,然后我们把以 y为变元的面积积分得到体积 f(x,y)dxdy 另外，我们也可以对于每个固定的x平行于y轴作切割而算出一个面积∫f(x,)y, 然后在x轴上积分得 v-I rs.). 这好像是说应该总能交换积分号： fr.vdrdv-ffra.evez. 而实际上，人们常常要交换积分号，因为有时对一个变元先积分比对另一个变元先 积分更为容易.但是，正像无限和有时不可换序一样，积分换序有时也是危险的.对 于函数ey-xyy的积分就是一个例子.假如我们相信可对这些积分换序： 人ew-eyz=ew-dzdo. 由于 ew-yy=en
8第1章引论 左端就是∫edx=-e6=1.但是由于 fm-mr 右端则为00x=0.显然1≠0，所以一定有什么地方出错了，但是除了我们交换 积分次序这一步骤之外，你哪儿也找不出错来.那么我们怎样才能知道何时可以相 信积分换序？（部分答案见定理19.5.1.） 例1.2.7（极限换序）假设我们处理看上去可信的命题 x2 -0g6x2+2=i0im limlim y0+0x2+y2' (1.1) 但是我们有 )吗2+2=2+0=1， 从而(1.1)的左端为1，另一方面我们有 x2 02 2622+22=02+2=0, lim 从而(1.1)的右端为0.由于1显然不等于0，这表明交换极限次序是不值得相信 的.然而是否有其他情况使得交换极限次序成为合理的？（部分答案见习题13.2.9.） 例1.2.8（再谈极限换序）考虑看似可信的命题 2平”=R, 其中记号x→1-指的是x从左边趋于1.当x在1的左边时1imxn=0,从而左 端是零.但对于一切n我们有limx”=1,从而右端的极限是1.这是否表明这类 极限换序总是不可信的？（答案见命题14.3.3） 例1.2.9（极限和积分交换次序）对于任一实数，我们有 1 令y→∞取极限，我们好像应该得到 恩1+日-d=s-d-a=x 但是对于每个x,我们有，1中正-=0.那么我们好像作出了0=元的结论. 以上的论述有什么问题？是不是应该抛弃（非常有用的）交换极限和积分次序的技 巧？（部分答案见定理14.6.1）
§1.2为什么要做分析9 例1.2.10（极限和求导换序） 考察当e>0时 d 3x2(E2+x2)-2x4 e2+x2 (e2+x2)2, 特别地 =0 令e→0取极限（上式右边极限显然为0)，可能有人会因而期望 (o儿 =0 但左端是是x=1,这是否意味着交换极限和求导的次序总是错误的？（答案见定理 14.7.1.) 例1.2.11（交换求导次序） 设f(红，)是函数f(红，)=.心分析学中的 一个通用的技巧是交换两个偏导数的次序，于是期望得到 2f0,0= 8xoy 62f0,0 8y8x 但根据商法则有 0时（红，=2+ 3xy2 2xy4 B -(x2+22” 特别地 00 x,0=2x40 于是 f0,0)=0 8x 另一方面，仍根据商法则 3 2x22y3 8zy=2+22+y22 从而 影aw- 30 于是 25(0,0)=1. 8yox ①你可能提H异议说此函数在（红，）=(0,0)无定义，但若置f(0,0)=0,则此函数成为在一切 (c,)处都连续且可微的，并且事实上两个偏导函数影，影也在一切（工，）处连续且可微
10第1章引论 由于1≠0，所以我们好像证明了求导换序是不可信的.但是有没有其他情况使得 求导换序是合理可行的？（定理17.5.4和习题17.5.1给出了一些回答.） 例1.2.12(LHòpital法则)我们都熟悉简洁优美的LH6 pital法则 f()=lim f'(x) og()o g'(z) 但若用之不当，仍可导致不正确的结果.例如，使用此法则于f(x)=x,g(x):=1+x 以及x0=0,我们将得到 千==1 1 但这是不正确的答案，因为职千：==0.当然，这里所发生的是LH6ptal 法则只可用于当x→0时f(x)和g(x)两者都趋于多，而上例中有一个条件被违 背了.然而即使当x一x0时f(x)和g(x)都趋于多，仍然可能产生错误的结果.例 如，考虑极限 z2sin(z-4) 2 当x→0时分子和分母都趋于零，于是好像十分保险地可以使用LH6 pital法则求 得 lim z2sim(e-4）=im 2xsin(x-4)-4z-3 cos(x-4) x→0 z-0 1 =lin 2 sin()-lin 4z-3 cos(). 第一个极限根据挤压判别法而收敛到零（由于函数2xsin(x-4)上界于2x且下界 于-2x,两者当x→0都趋于0).但第二个极限发散（因为当x→0时x-3趋于 无限，cos(x-4)不趋于零).所以极限 lim 2xsin(x-4)-4x-3 cos(-4) 厘◆0 1 发散.那么人们可能用L'Hopital法则判定1ime)也发散，但是我们可以明 白地把此极限重写为1 im sin(x~4),再次使用挤压判别法便知此极限当x→0时 收敛到多.这并不表明L'H6ptal法则是不可信的（此法则确实是相当严格的；见 §10.5)，不过使用时还希小心. 例12.13（作为极限的长度）当你学习积分，了解它是如何联系于一条曲线 下方的面积时，大概会给你演示某种图形，在这些图上，曲线下的面积是由一束矩形 来近似的，而面积则作为Riemann和给出，然后怎么样一“取极限”就把Riemann 和换成了积分，然后就假定这个积分相当于是曲线下的其实面积.或许紧接着你就