2目录 §11.4 Riemann积分的基本性质.231 §15.2实解析函数……314 S11.5连续函数的Riemann可积 §15.3Abel定理…318 性………235 15.4幂极数的相乘…321 S1l.6单调函数的Riemann可积 615.5 指数函数和对数函数 ·……324 性……238 S15.6谈谈复数 ……327 sl1.7一个非Riemann可积的 S15.7三角函数…333 函数……240 第16章 Fourier级数 ··…·…338 s11.8 Riemann-Sticltjes积分…241 §16.1周期函数…338 $11.9微积分的两个基本定理…244 516.2周期函数的内积…340 S11.10基本定理的推论……248 §16.3 三角多项式: ·…·…343 第二部分 §16.4 周期卷积………345 第12章度量空间… 255 Sl6.5 Fourier定理和Plancherel $121定义和例… 255 定理……………349 S122度量空间的一些点集拓扑知 第17章 多元微分学.…354 识………262 S17.1线性变换…354 §12.3相对拓扑…265 $17.2多元微分学中的导数…359 §12.4 Cauchy序列及完备度重空 §17.3偏导数和方向导数…362 §17.4多元微分链法则.…368 §12.5紧致度量空间………269 第13章度量空间上的连续 S17.5二重导数与Clairaut定理…371 函数…274 §17.6压缩映射定理…373 S131连续函数……274 §17.7多元反函数定理…375 S13.2连续性与乘积空间…276 §17.8隐函数定理…379 §13.3连续性与紧致性… 第18章 Lebesgue测度 .…384 279 §13.4连续性与连通性…280 §18.1目标:Lebesgue测度·385 §13.5拓扑空间(选读)…283 §182第一步:外测度 …·…386 第14章一致收敛…287 §18.3外测度不是加性的 ····…394 614.1函数的极限值 287 618.4 可测集…396 614.2逐点收敛与一致收敛…290 618.5 可测函数……401 S14.3一致收敛性与连续性… 294 第19章Lebesgue积分 614.4一致收敛的度量 §19.1 简单函数………404 S14.5函数级数和Weierstrass M判 $19.2非负可测函数的积分 ....409 别法……298 §19.3绝对可积函数的积分…416 §14.6一致收敛与积分…300 §19.4与Riemann积分比较…420 S14.7一致收敛和导数…302 §19.5 Fubini定理…421 §14.8用多项式一致逼近…305 附录A数理逻辑基础…426 第15章 幂级数……312附录B十进制 446 15.1形式幂级数…312索引…453
第一部分
第1章 引 论 $1.1什么是分析学 本书是对于实分析的一个高等本科水平的介绍.实分析指的是:实数的分析、 实数序列和实数级数的分析以及实值函数的分析.与实分析相关却又不同的有复分 析、调和分析以及泛函分析等.复分析指的是:复数的分析及复函数的分析.调和 分析涉及对于调和(振动)如正弦振动的分析,以及这些振动如何经由Fourier变换 合成其他函数.泛函分析则重点聚焦于函数(以及它们怎样构成如向量空间之类的 东西).分析学是对这些对象进行严格研究的学科,它着重于尽力明白、准确地弄清 这些对象的定性的和定量的性状.实分析是微积分的理论基础,而微积分是人们用 以处理函数的那些计算规则的汇集 本书中我们将研究许多你从初等微积分中熟知的对象:数、序列、级数、极限、 函数、定积分、导数等.你已经具有大量的对于这些对象进行计算的经验,但此处 我们将更多地集中于这些对象的基础理论.我们将涉及如下的一些问题: 1.什么是实数?有没有最大的实数?在0之后,“接下去的”实数是什么?(也 就是说最小的正实数是什么?)你能不能把一个实数分成无限多份?为什么像2这 样的数具有平方根,而像一2这样的数就没有?如果存在无限多个实数也存在无限 多个比例数,那么,实数比比例数“更多”这话从何谈起? 2.怎样取一个实数序列的极限?哪些序列有极限而哪些没有?如果你可以制 止一个序列跑向无穷,这是否意味着此序列终究会停止变化而收敛?你能把无限多 个实数都加起来而仍得到一个有限的实数吗?你能把无限多个比例数加在一起而 终止于一个非比例数吗?如果你重新排列一个具有无限和的级数的元素,所得到的 和依然一样吗? 3.什么是函数?说一个函数连续指的是什么?可微指的是什么?可积指什么? 有界指什么?你能把无限多个函数加在一起吗?取函数序列的极限是什么意思? 你会微分一个函数的无限级数吗?求积分是什么意思?如果函数(x)当x=0时 取值3而当x=1时取值5(即f(0)=3且f(1)=5),那么当x在0和1之间走 动时,它必须取到介于3和5之间的每个中间值吗?为什么? 根据你的微积分知识,你可能已经知道如何回答其中的一些问题,不过这些东 西对于微积分课程来说大体上只是第二位重要的.那里所强调的是使你实施计算, 例如计算xsix2从x=0到x=1的积分.但既然你熟悉这些对象并已知道如何
4第1章引论 进行各种计算,我们就要回到理论,并力图真正理解所发生的事情. §1.2为什么要做分析 谈到分析,一个合情合理的问题是问“为什么做分析?”.了解事情为何起作用, 在一定的哲学意义上是件乐事.但一个务实的人或许会争辩说,人们只需要知道对 于处理现实生活问题,事情怎样起作用就够了.你在入门课程中接受的微积分训练 肯定使你能初步解决许多物理、化学、生物、经济、计算机科学、金融、工程或其他 某些你终身要从事的行业中的问题一你肯定会使用链式法则,LH6 pital法则或 分部积分等诸如此类的法则,而不知道这些法则为何起作用,或者不知道对于这些 法则是否有什么例外之处.但是,如果使用法则时不知道这些法则是从何而来,对 它们的使用有何限制,那么就可能产生麻烦.让我举一些熟知的法则的例子来说明, 如果不知其分析基础而滥用就可能导致灾难 例1.2.1(用零相除)此事你很熟悉:消去律ac=bc→a=b,当c=0时不 成立.例如,等式1×0=2×0成立,但若盲目把0消去就得到1=2,这不成立. 在这种情况下,显然是做了用零相除之事,但在其他情况下,事情可能更为隐蔽, 例1.2.2(发散级数)你大概见过像下面的无穷和 9=1+发++后+后+ 那样的几何级数.你也大概见过求此级数的和的下述花招:如果把级数的和叫作 S,然后两边通乘以2,就得到 1.1.1 2S=2+1+2+4+8+=2+S 于是S=2,从而级数的和是2.但是,如果你对级数 S=1+2+4+8+16+· 使用同样的花招,就得荒谬的结果 2S=2+4+8+16+.=S-1→S=-1. 于是,同一个理由证明了1+是++合+…=2并给出了1+2+4+8+…=-1. 为什么我们相信第一个等式而不相信第二个?一个类似的例子是级数 S=1-1+1-1+1-1+ 可以写成 S=1-(1-1+1-1+…)=1-S
§1.2为什么要做分析5 从而S=;亦或可以写成 S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+·=0+0+0+·, 从而S=0;甚或可以写成 S=1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+·, 从而S=1.哪个是正确的?(答案见习题7.2.1.) 例1.2.3(发散序列)上面的例子有个小小的变形.设x是实数并设L是极 限 L=lim x". 九+0∞ 改换变元n=m+1,得 L=n巴om+1=n×zn=2n把e 但若m+1→心,则m→∞,故 lim xm=lim xm lim x=L, m+1+0o t九+00 n-00 从而 xL=L. 到此,我们可以消去L并断定对于任何一个实数x都有x=1,这是荒谬的.但 是,由于已经知道用零相除的问题,我们可以稍傲聪明一点而将上面的结论代以断 言或者x=1,或者L=0.特别地,我们似乎证明了 lim xn=0对于一切x≠1. 但是如果将其用于特定的x的值的话,这个结论也是荒谬的.例如,用于特殊情形 x=2,我们就会断言序列1,2,4,8,·收敛到零,而用于特殊情形x=一1,将断 言序列1,-1,1,-1,·也收敛到零.这些结论都是荒谬的;上述论证有什么问题 呢?(答案见习题6.3.4) 例1.2.4(函数的极限值)从表达式lim sinx开始,作变量替换x=y+元并 回顾sin(g+)=-siny就得到 lim sin=lim sin(+)=lim (-siny)=-lim siny. y+元二 y-0 由于i。sinx=,。sin头,那么我们得到 lim sinx=-lim sin, E+00 I-00