§1.2为什么要做分析11 学会了如何用类似的方法来计算曲线的长度一一用一束线段来近似曲线，计算出 全部线段的总长度，然后再取极限看你得到什么 然而现在应该不会奇怪，如果这种方法使用不当，也能导致荒谬的结果.考虑 顶点为(0,0)，(1,0)和(0,1)的直角三角形，并假定我们要计算此三角形斜边的长 度.毕达哥拉斯定理告诉我们此斜边的长度是√2，但假定由于某种缘故我们不知 道毕达哥拉斯定理，而要用微积分的方法来计算此长度.好，一种方法就是用水平 的边和竖直的边来近似斜边.取一个很大的数N,并用一个由N个等长的水平边 的“梯子”近似此斜边，并把梯子的N个竖直边也更换得具有相同的长度.很明显， 这些边的长度都是为，从而梯子的总长度为袋=2.如果让N趋于无限而取极 限，梯子明显地接近斜边，从而作为极限我们应该得到斜边的长.但是，当N∞ 时，兴的极限是2而不是√2，这样我们就得到斜边长度的一个不正确的值.这是 怎么发生的？ 你在本书中学的分析学将帮助你解决这些问题，并使你知道什么时候这些法则 (或者另一些法则)是适用的，而什么时候它们是不适用的，从而把这些法则的有益 的应用与谬误隔离开.这就能避免你犯错误，并帮助你把这些法则应用到更广阔的 领域中.进而，一旦你学习了分析，你就会建立起“分析的思考方式”，它将在你接 触到任何新的数学法则时，或当处理标准的法则不能完全处理的情形时，为你提供 帮助.例如，如果你的函数是复值的而不是实值的，情况当如何？如果要处理球面上 的问题而不是平面上的问题，情况当如何？如果你的函数不是连续的，取而代之为 如方形波或6函数之类的东西，情况当如何？如果你的函数，或积分限，或求和限 偶尔成为无限的，情况当如何？你将建立起这样的意识，为什么数学中的一个法则 (例如链式法则)有效，如何将它应用于新的情形，使它成立的限制条件（如果有的 话)是什么；这将使你能够更自信地并正确地使用你已学到的数学知识
第2章从头开始：自然数 在本书中，我们将复习你在高级中学以及在初等微积分课程中学到的材料，但 却是尽可能严格地去做.为此我们将不得不从最基本的地方开始一事实上，我们 要回到数的概念以及数有哪些基本性质.当然，你已经与数打了十多年交道了，而 且你知道如何按照代数法则来化简任何数的表达式，但是我们现在要处理一个更基 本的事情，那就是：为什么这些代数法则总有效力？例如，为什么对于任何三个数 a,b,c,表达式a(b+c)等于ab+ac总是真确的？这不是一个任意选择的法则，它可 以由数系的更为原始的也更为基本的性质来证明.这将教给你一个新技术一如 何用更简单的性质来证明复杂的性质.你会发现，即使一个命题可能是“明显的”， 它却可能不是易于证明的，这里的材料将给你充分的实践去做这样的事，并且逐步 引导你去思考为什么一个明显的命题的确是明显的.这里你要特别地学到的一个 技术是使用数学归纳法，这是在数学的许多领域中证明事情的一个基本工具 所以在最初几章中，我们将让你再认识一下实分析中用到的各种数系.按照复 杂性递增的次序，它们是自然数系N、整数系Z、比例数系Q以及实数系R(还有其 他数系，如复数系C,但直到$15.6，我们都不研究这些数系).自然数系{0,1,2,3，·】 是最原始的数系，但自然数被用来构作整数，整数再被用来构作比例数.更进一步， 比例数被用来构作实数，实数再被用来构作复数.于是，要想从最原始处开始，我们 必须考察自然数.我们将考虑下述问题：人们是怎样实际定义自然数的？（这与怎 样使用自然数是非常不同的问题.使用自然数当然是你十分了解的事情.这就像知 道如何使用一台计算机与知道如何建造这台计算机是完全不同的两回事) 回答这个问题比问题本身看上去要困难得多.基本的问题是你使用自然数已 经太久了，以致这些数都已深深嵌入你的数学思维之中，使得你甚至不必思索你在 做什么就能作出关于这些数的各种不明显的假设（例如a+b总是等于b+a),很难 让你像第一次见到它那样去考察这个数系.所以往下我将不得不要你执行一个相当 艰巨的任务：暂且把你知道的关于自然数的一切放到一边：忘记怎样计数，忘记加 法，忘记乘法，忘记代数算律，等等.我们将逐个引入这些概念，在这一过程中，明 白地鉴别出哪些是我们的假定一一而且不允许使用更进一步的技巧，如代数算律， 直到我们实在地证明了这些算律为止.这好像是一种令人烦恼的限制，特别是当我 们花费大量时间去证明“显然的”命题时会感到如此.但是这种把已知的事实暂时 封存起来的做法对于避免循环论证（即使用一个进一步的事实去证明一个更初等的
§2.1 Peano公理13 事实，而后又使用这个初等的事实去证明那个进一步的事实)是必要的.同时，这个 练习也是树立你的数学知识的牢固根基的一个极好的方式.更有甚者，此处你实行 的证明和抽象思考，对于你接受更进一步的概念，如实数、函数、序列、级数、微分 和积分等，将会有无法估量的好处.简言之，此处的结果或许像是平庸的，然而眼下 过程要比目的重要得多，（一旦数系真正建立起来，我们就可以恢复使用代数算律等 等，而不必次次重新推导它们) 我们也要忘掉我们知道十进制.当然十进制是一个操作数学的极其方便的方 法，但对于数是什么而言，十进制可不是什么基本的东西.（例如，人们可以不用十 进制而使用八进制或二进制，甚或使用罗马数系，仍然恰恰得到同一个数集)此 外，若想完整地解释十进制数是什么，那并不像你可能想象的那么自然.为什么 00423与423是同一个数而32400与324不是同一个数？为什么123.4444. 是实数，而·444.321不是实数？以及为什么当我们作加法或乘法时必须关注小 数点的位置？为什么0.999…和1是同一个数？最小的正实数是什么？是否就 是0.0001？所以，为将这些问题撇开，我们将尽量不涉及十进制的知识，尽管我 们当然还是使用数的常用的名称，如1,2,3等，而不使用其他的记号如I,工，IIⅡ或 0++,(0++)++,(0++)++)++(参见下文)等那样的并非不必要的人造的记 号.为了完整起见，我们在附录B中复习十进制 §2.1 Peano公理 我们现在用Peano公理的语言提出一个定义自然数的标准方法，Peano公理 是Guiseppe Peano(1858一l932)首先提出的.这不是定义自然数的唯一方法.例如， 另一个途径是用有限集的基数，比方说，可以取一个5个元素的集合并定义5是此 集合的元素个数.我们将在s3.6中讨论这种方法.但是我们眼下仅用Peano公理 的方式 我们怎样定义自然数是什么呢？不正式地可以说 定义2.1.1（不正式的）自然数是指集合 N={0,1,2,3,4,…} 的元素，此集合是由从0开始无休止地往前数所得到的一切数的集.我们把N叫 作自然数集 注21.2在有些教材中，自然数是从1开始而不是从0开始的，但这只是一 个符号的约定而已.本书中我们把{1,2,3，}叫作正整数集，用Z+代表”，而不 ①中国出版标准（国标）为N+·一译者注
14第2章从头开始：自然数 叫自然数集.自然数有时也被叫作完整数(whole numbers). 这个定义在一定意义上解决了自然数是什么的问题：一个自然数乃是集合N 的一个元素”.但是，这并不是完全可接受的，因为它遗留下许多没有回答的问题： 例如：怎能知道我们可以无休止地数下去而不会循环回到0？你怎样实行运算，如 加法、乘法或指数运算？ 我们可以首先回答最后一个问题：可以通过简单的运算来定义复杂的运算.指 数运算只不过是重复的乘法运算：53是3个5乘在一起；乘法只不过是加法的重 复：5×3是3个5加在一起；（此处没谈到减法和除法，因为这两种运算不是完全适 用于自然数系的运算)而加法呢？这只不过是向前数(shǔ)或增长的重复运作：如 果你把5加上3，你所做的只不过是让5增长3次.另一方面，增长似乎是一个基 本的运算，它没法再归结为更简单的运算：的确，它是人们遇到的关于数的第一个 运算，甚至在学习加法之前！ 于是，为了定义自然数，我们将使用两个基础性的概念：数零0以及增长运 算.依照现代计算机语言，我们用n++代表n的增额(increment)或n的后继 者(successor),于是，譬如说，3++=4，(3++)++=5，等等.这是计算机语言，例 如C语言的一个稍微不同的应用，在计算机语言中，+十实际上重新定义n的值 为的后继者；但在数学中，我们在任何情况下都尽力避免把一个变元定义两次， 因为这常引起混淆.很多命题对于变元的旧的值是真确的而现在却变成假的，反之 亦然 于是，似乎我们要说N是由0和每个可由0经增长而得者所组成：N应是由 对象 0,0++,(0++)++,(0++)++)++,… 等所组成.如果我们着手写出关于自然数这意味着什么，那么我们看到，应该有下 述的涉及0和增长运算++的公理： 公理2.10是一个自然数 公理2.2若n是自然数，则n++也是自然数， 于是，作为例子，从公理2.1和公理2.2的两次使用，我们看到(0++)++是 一个自然数.当然，这个记号开始变得不好使了，所以我们约定用更熟悉的记号来 写这些数： 定义2.1.3定义1是数0++，2是数(0++)++，3是数(0++)++)++， 等等.（换言之，1：=0++，2：=1十+，3：=2++，等等.本书中我们用“x:=y” ①严格地说，对于这个非正式的定义还有另一个问题：我们尚不曾定义“集合”是什么，也不曾定义“集 合的元素”是什么.因此，在本章的其他部分，我们将尽可能避免提及集合及其元素，除了是在非正 式的讨论中
§2.1 Peano公理15 表示命题x定义为等于y) 于是作为例子，我们有 命题2.1.43是自然数 证明根据公理2.1,0是自然数.根据公理2.2,0++是自然数.再用公理 2.2,1++=2是自然数.再用公理2.2,2++=3是自然数， ■ 对于描述自然数，好像这己经足够了.但是我们还没有完全说清楚N的性状： 例2.1.5考虑由数0,1,2,3组成的数系，在此数系中，增长运算到3转回到 0.确言之，0++等于1,1++等于2,2++等于3，但3++等于0（而根据4的 定义，它也等于4).这类事情确实发生在现实生活中 当使用计算机来储存自然数时如果从0开始反复运行增长运算，最终计算机 将超出其记忆容量而使数字归0（尽管这可能可经过相当大量的增长运算，例如 个整数的二进制表示仅仅经过65536次增长就要回归).注意，这类数系满足公理 2.1和公理2.2，尽管它明显地不合乎我们直观相信的自然数系的样子 为避免这类“回归事件”，我们要加上另一个公理： 公理2.30不是任何自然数的后继，即对于每个自然数九，都有n+十≠0. 现在我们可以证明一些回归现象是不会发生的：例如我们现在可以用下述命 题排除例2.1.5中的那种性状 命题2.1.64不等于0： 别笑！根据我们定义数4的方法一一 它是0的增长的增长的增长的增长一一 此数与零不是同一个数.这一命题尽管是“明显的”却不必是真确的(a priori)”.注 意，作为例子，在例2.1.5中，4的确等于0，并且在标准的2字节计算机上，一个自 然数，例如65536等于0（用我们对65536的定义，它等于0增长六万五千五百三 十六次) 证明根据定义，4=3+十.根据公理2.1和公理2.2,3是自然数.于是根据 公理2.3,3+十≠0，即4≠0 ■ 但是，即使加上了我们的新公理，我们的数系仍然可能会有其他形式的病态性 状： 例2.1.7考虑由0,1,2,3,4五个数组成的数系，在这个数系中增长运算在数 4处碰了“顶”.确言之，设0++=1,1++=2,2十+=3，但4++=4（或另言 之，5=4，从而6=4,7=4，等等).这与公理2.1、公理2.2和公理2.3都不矛盾 有类似问题的另一个数系是那种增长运算发生回归，但不回归到零的系统，例如假 定4++=1（从而5=1,6=1，等等）： ①“a priori'”是“beforhand'”的拉丁词一它指的是人们在开始证明或论述之前就已知道或假定其 为真确的事物.其反义词是“a posteriori'”一人们在经证明或论述断定之后才知其为真确的 事物