第1章系综理论21代入(1.88)式得到关系式d(M-In2)=dE+dN,(1.90)如果W也保持不变有ldEd(M-"In )v.=βdE=(1. 91)kT从热力学关系知：d()ATdE(1.92)-由（1.92）一（1.91)式得d(S-kM-lln )v.w= 0,(1.93)或S-kM-Ina=f(V,M)(1. 94)(1.94)的左式只是V，N的函数.它不依赖于E，因而与T无关，当温度降到0开时，系综的能量应降到系综的基态（系综）→%（系综基态）让系综的基态数为Q。，而每个系统基态的简并度为wo，系综是由M个系统组成的.故0mwM(1.95)是合理的对(1.95)式取对数并乘以k，为kM-1ln Q0=kln w0.(1.96)由于热力学无法确定绝对零度时摘的值，我们规定，当温度T→0开时，S→kM-lln2=klno.(1. 97)则（1.94）式f(V，W)应为零.因此，在任何温度下有S=kM-ilna(1. 98)比较（1.98)和(1.87)式得k-Is=In+E+N(1.99)
22统计力学在固定V的条件下，进行微分得I(ds)v= pdE + yd.M.k与热力学关系（1.67）式比较，得到以下重要关系式上(1.100)Y=-KT，其中u是每个粒子的吉布斯热力学势，u=G/N吉布斯函数为(1.101)G- E- TS + V由（1.99）、（1.100）和(1.101）式可以得到重要关系：宗+绘=SIn2=(1.102)k-kT+kT-kT从（1.102式，通过比较统计力学公式和热力学公式得到压强的公式.我们定义热力学压强kTin2.P热=1另外由力学定义的压强为3En)(1.103)P力av平可以证明，只有当V→8时，P费才和力等价为了便于运算，再引入一个逸度2，定义如下：定义z=er.(1.104)如果将和的关系代入，即得zme(1.105)于是，巨配分函数又可写成2-(1.106)
23第1章系综理论则平均粒子数又可写成ln2Neemalnz=EP(NN=N.(1.107)记住下面对数偏微商的方法是有用的，a-a(1.108)alnz2az以后的运算中，经常会遇到这类微分$ 1.4自由粒子系统让我们应用以上各种系综的理论分析自由粒子系统的热力学性质用巨正则系综的巨配分函数很容易导出它们全部的热力学函数及其关系式.这种自由粒子系统的量子理论，对天体物理、低温和固体物理都有广泛的应用.按粒子性质，可分为费米子和玻色子两种.至于这些气体的详细力学性质，另由粒子物理去研究，我们只对这些已知的力学性质进行统计。由量子力学知，一个自由粒子的状态可以用它的动量P=K和螺旋性入来描写.其中K是波数失量.如果粒子自旋为j，则入可以取的值为：入=-j,-j+l,",j-l,j,共有2j+1个值，由于粒子间没有相互作用，所以系统的总能量等于各个粒子的能量之和（自此，我们不再讨论系综，总能量就是指一系统的总能量），即E= n.e.(1.109)其中的。表示粒子的波数矢量K和螺旋性入，动能是
统计力学24(1.110)e,=chK"+m-mc?,其中的n。对不同的粒子是不同的(1.111)对费米子：ng=01.(1.112)对玻色子：n。=0，1,2,3，由巨配分函数及逸度的定义，得Z2-e(1.113)I'a!指数的求和可以化成求积.然后，对换求和与求积的次序，得到2=IZ2e#.(1.114)"a对费米-狄拉克统计法（F-D），由于粒子受到泡利不相容原理的限制，n。只能取0或1.所以2pp=I(1+ze-)(1.115)对玻色-爱因斯坦统计法（B-E），因粒子不受泡利不相容原理限制，故n.可取0，1，2，3，....所以(1.116)2uE=II(1- ze-净)由巨配分函数计算压强时，可取体积很大，以致可以略去界面与粒子间的作用.所以有V=In2(1.117)KT=±In(1±ze),其中[+"为费米子，(1.118)“”为玻色子当V→8时，求和号可用积分来代替.其间的关系式已在前面讨论过，即d'KE→wv(1.119)8元3
第1章系综理论25其中的w是简并度，为2j十1.我们先讨论粒子质量不为零的情形.质量为零的粒子其简并度不同，并且还与宇称是否守恒有关.如=1，无质量的光子不是3，而是2.又1时，如中微子（v）宇称不守恒，不是2，=1.有质量粒子，当j=12@=2.于是=±i(±et),(1.120)T只要将关系式e。=c/K+m-mc2代入(1.120)式进行积分，即可求出适用于非相对论或相对论的热力学函数.由关系式（1.107)与(1.117)式得到Kze-最()-叫7J8元1±2e折1(1.121)由于巨配分函数2中每一项ze7表示某一模式（α=K，a)具有n。粒子的相对概率.因此，可以求n。的平均值《n）.对费米子，n。只取0或1值：ze70+1.er<n.)=-(1.122)1+zer1+ze7对玻色子，n。可取任意值：1.x+2.x+...<n,)=1+r+x+.n(1+#+*+)Tdx1din1-rmdrer(1.123)1-zen