26统计力学其中a=zen.将z一ef代入，可写为（“十”为费米子=±vfaKln(1±er)(1.124)T“二”为玻色子，{“+”为费米子，1<ne)=(1.125)“二”为玻色子eT±1显然vd'K(n.)N-(na) =(1.126)8元d'KwV(1.127)8元e±1E=d'K(ne(1.128)有了这些公式，我们可以讨论有趣的物理问题我们知道当粒子的静止质量比动能大得多时，即为非相对论情形，有K动能=2m，d'K oc Jede.(1.129)当粒子动能远比静止质量为大时，即为极端相对论情形，有动能e=cIKl，d'K oc e"de.(1.130)在分子运动论中，我们知道单原子理想气体的压强和能量之间存在以下关系：ZEpV=(1. 131)在量子统计中，以上的关系是否成立呢？应该指出在分子运动论中，两个相同的粒子（如电子）认为是完全可以区分的；在量子统计中
27第1章系综理论由于它们是全同粒子，故是完全不可区分的.对求解（1.126）式和（1.128）式的积分，往往用到下面类型的积分.因此，先来讨论这类型的积分，对求解是有帮助的+edeln(1±e）=±++n(1±e）/efe+1常，(1.3)X其中有简单对应关系e"de→d'K(1.133)1对非相对论情形n-，对极端相对论情形n=2.2E将(1.133)式左、右乘以一，即有对应关系nti,*+16de→dK-(1.134)n+1n+1于是，立即可以求得能量与压强的关系：在非相对论情形下2E,pV=(1.135)3在极端相对论情形下LEpV(1.136)3（1.135）和（1.136）式对费米子和玻色n.4子皆成立.先来讨论低温情形下的费米气体：由（1.125）式知，T→0开时，当e>μ，n,=0，即每个模式中均无粒子.当e<μ，n.=1，即每个模式仅有一个粒子，如图1.7.e显然，在绝对零度时，费米子的分oμ布是很简单的.图1.7
28统计力学定义费米动量pr和费米波数K有以下关系μ=cK+m-mc?(1.137)(1.138)=c/Pp+m-mc2.因dK=4元KdK,故总粒子数wVVKA.N=d'K.n=(1.139)6元8元330在非相对论情形下，T=0开时，平均能量为EtK?N2mAKe因为<K2)=5故平均能量E-3nK(1.140)N52m同样，得到极端相对论情形，T0开时的平均能量为E<hKc),一W3Kr因为(K)4故平均能量E-号tKr.(1.141)N=如将压强和能量的关系式（1.135)和(1.136)式表示为压强和密度的关系，可得到两个重要的结论：在非相对论情形下pα ()t.(1.142)在极端相对论情形下pα (V)(1.143)
第1章系综理论29现利用这些理论公式做一些物理的应用运算，例1白矮星在宇宙中，白矮星是很多的，测量得较准的是天狼星B.它的质量相当于太阳的质量M。，半径却比太阳的小100倍，和地球的半径相当.于是在白矮星内的原子半径就是10-1°厘米，电子势必被挤出来，形成简并的费米气状态.可以计算，白矮星内部受到由引力所造成的压力是很大的.是什么力量支撑不致压跨呢？这需要做一数量级的估计.为方便计，GM?我们忽略了常数元以及10以下的数字.于是白矮星内的吸引力是R2（R是白矮星的半径），如果是电子气向外膨胀与之相抗衡，则有GM2T~PR,(1. 144)力为电子气的压强.如果白矮星的质量不很大，其内部的电子受到引力的5压缩仅达到非相对论情形.在此情形下，压强与密度呈一次方的关系，2所以(M)GM?1R?R?R即R~M-+.(1.145)Rt(1.145)式是半径与质量的关系，它可以粗略地表示成图1.8.如果星体质量再进一步增大，则R~M"内部电子势必被压缩成相对论性电子.当达到极端相对论情形，压强与密度的等专次方成比例，于是有oMM.GM?AR.~R?~图1.8R?NiGM~ E~KpN ~即(1.146)hc,RR或GM?~NVc.(1.147)
30统计力学这表明，如超过临界质量M。时，则质量与半径之间就没有关系了，即引力大于抵抗压缩的电子气压力，星球就要压垮.所以，观察到的白矮星质量一定有一临界值，在此临界质量以下的星体，其深层内部是极端相对论电子，表面或外层电子是非相对论电子，以此来与引力抗衡估计白矮星的临界质量是不困难的.熟知原子核是由中子、质子组成的，每个核子较电子重2000倍，故恒星质量均可认为是核质量组成的，对于氢，每一个电子就有一质子，对于氢或者更重的核则每个电子大约相应有两个核子，故M.GM2~(1.148)hc(m.n.)其中m，代表质子的质量.而九.一童手数对于氢，n，=1.对于等，n.二2所以临界质量9) ~ (11010)M ~()t,--1×(1.7.10-) ~1.7Mo.(1.149)虽然这样估计很粗糙，但它却能判断出白矮星是由哪种核物质组成的.详细计算表明，如果是由氢构成白矮星，则M～5.6M。，由氨构成，M.～1.4M。.根据天文观察，所有的白矮星的质量都不超过1.4M。，它表明白矮星是热核燃料氢烧尽后，转化为氨的星体.如质量超过1.4M，星体将进一步受到压缩，原子核内的核子也被挤压出来，电子碰撞质子构成了中子.所以，当M.～2M。就形成了中子星.如果质量超过2.2M，星体将继续受到引力的压缩，尽管有核子间的斥力，也无济于事，因为斥力越大，能量将越大，这种能量本身又是引力源，会进一步导致星体場缩.所以，这使人们相信黑洞是存在的以上是仅考虑电子气的因素，至于其他因素均可被忽略，这是由数量级估计做出的结论