王三、可微的条件 庄定理函数(在点可微的充要条件是函 王数f(x)在点处可导且A=r(x 证(1)必要性∵∫(x)在点x可微 D=A+(△x) 工工工 ∴Ay=A·△x+O(△x), △x △ 则 △A+lino(△x)=A. △ lim -e= △x→>0△x 即函数∫(x)在点x可导,且A=f(x) 上页
三、可微的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性∵函数f(x)在点x可导 △ △ △x→0△ =f(x,即=f'(x0)+, △v 从而y=f(x0)·Ax+a(△x),∵α→>0(△x→>0) =f(x0)△x+0(x) 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A. 牛∴可导可微A=f(xn 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或d(x),即=f(x)△x. 上页
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
例1求函数y=x3当x=2,Δx=0.02时的微分 解∵d=(x)Ax=3x2△x dx2=3x2△xx2=0.24. Ar=0.02 0.02 午通常把自变量的增量△称为自变量的微分 记作,即x=△x ￠y=∫'(x)dx 中 ∫(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也微商 上页
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3 == = = = xx x dy x x x = 0 .24 . , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于