第三节泰勒( Taylor)公式 问题的提出 P和Rn的确定 泰勒中值定理 四、简单应用 五、小结思考题
王=、问题的提出 c1.设f(x)在x处连续则有 f(x)sf(o) Lf(x)=f(xo)+a] 牛2设fx)在x处可导则有 工工工 f(u)af(xo)+f(o(x-xo) T (x)=f(xo)+'(o)(x-xo)+o(x-xo) 例如,当x很小时,ex≈1+x,In(1+x)≈x (如下图) 上页 圆
一、问题的提出 1.设 f (x)在x0处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
1+
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足:1、精确度不高;2、误差不能估计. 庄问题寻找函数P(x,使得/(x)P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数(在含有8的开区间4内具有直到 (n+1)阶导数,P(x)为多项式函数 Pn(x)=a0+a1(x-x)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)” 王误差R(x)=f(x)-P() 上页
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. 设函数 f ( x)在含有x0的开区间(a,b) 内具有直到 (n + 1)阶导数,P(x)为多项式函数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n
庄三、P和R的确定 分析: 浴1若在x点相交 (x)=f(x0) y=f(r) 程 越2若有相同的切线 工工工 来 Pn(xo)=f(o) 好 3若弯曲方向相同 Pn(x0)=f"(x0) 0 0 上页
二、Pn和Rn的确定 0 x y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交