第三章关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质 §1.关于实数的基本定理 1.设f(x)在D上定义,求证: (1)sup( f(x)=-inf f(x); x∈D (2)inf(-f(x)=-sup f(x) 2.试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于-∞的数列 必有上确界. 3.试分别举出满足下列条件的数列: (1)有上确界无下确界的数列 (2)含有上确界但不含有下确界的数列 (3)既含有上确界又含有下确界的数列 (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限 4.求数列的上、下确界 (1)x=1 n xn=n{2+(-2)"] (3)x2k=k,x2k41=1+;(k=1,2,3,…); (4)x=[+(17 (5)xn +2m- (6)xn= n+/Os<nT 5.设β=supE,且βgE,试证自E中可选取数列{xn}且xn互不相同,使 inxn=B;又若B∈E,则情形如何? 6.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4 7.试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件 [a13b]→[a2,b]→…去掉或将条件bn-an→>0去掉,结果怎样?试举例说明. 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质 §1. 关于实数的基本定理 1. 设 f x( ) 在 D 上定义，求证： (1) sup{ ( )} inf ( ); x D x D f x f x − = − (2) inf{ ( )} sup ( ). x D x D f x f x − = − 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于 + 的数列必有下确界，趋于 − 的数列 必有上确界． 3. 试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 4. 求数列的上、下确界： (1) 1 1 ; n x n = − (2) [2 ( 2) ]; n n x n = + − (3) 2 2 1 1 , 1 ( 1,2,3, ); k k x k x k k = = + = + (4) 1 [1 ( 1) ] ; n n n x n + = + − (5) ( 1) 1 2 ; n n n n x − = + (6) 1 2 cos . 1 3 n n n x n − = + 5. 设 = sup E ，且 E ，试证自 E 中可选取数列 { }n x 且 n x 互不相同，使 lim n x x → = ；又若 E ，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理 9．2 证明紧致性定理 9．4． 7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 1 1 2 2 [ , ] [ , ] a b a b 去掉或将条件 0 n n b a − → 去掉，结果怎样?试举例说明．
8.若{xn}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列xn→∞,xm→a(a为有限数 9.设∫(x)在[ab]无界,求证:存在c∈[a,b],对任给δ>0,函数f(x)在 (c-δ,c+δ)∩[a,b上无界 10.设f(x)在{a,b上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,O(x)≥E的点x只有有限多个 11.设f(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:imf(x),limf(x)存在 12.利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限 13.用区间套定理证明单调有界数列必有极限 14.设f(x)在[0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a在[0,+∞)上只 有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 15.设f(x)在[a,b上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上 有界. 16.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 §2.闭区间上连续函数性质的证明 设∫(x)在[a,b]上连续,可微,又设 (1)min f(x)<p< max f(x); (2)如果f(x)=P,则有f(x)≠0, 求证:f(x)=P的根只有有限多个 2.设f(x)是[a,b]上的连续函数,其最大值和最小值分别为M和m(m<M),求证 必存在区间[a,B],满足条件: (1)f(a)=M,f(B)=maf(a)=m, f(B)=M: 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 8. 若 { }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x x a → → ( a 为有限数)． 9. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 无界，求证：存在 c a b [ , ] ，对任给 0 ，函数 f x( ) 在 ( , ) [ , ] c c a b − + 上无界． 10. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上只有第一类间断点，定义 ( ) | ( 0) ( 0) |. x f x f x = + − − 求证：任意 0, ( ) x 的点 x 只有有限多个． 11. 设 f x( ) 是 ( , ) a b 上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f x → → + − 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 14. 设 f x( ) 在 [0, ) + 上连续且有界，对任意 a − + ( , ) ，f x a ( ) = 在 [0, ) + 上只 有有限个根或无根，求证： lim ( ) x f x →+ 存在． 15. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： f x( ) 在 [ , ] a b 上 有界． 16. 求证：数列 { }n a 有界的充要条件是， { }n a 的任何子数列 { } k n a 都有收敛的子数列． §2. 闭区间上连续函数性质的证明 1. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，可微，又设 (1) min ( ) max ( ); a x b a x b f x p f x (2) 如果 f x p ( ) = ，则有 f x'( ) 0 ， 求证： f x p ( ) = 的根只有有限多个． 2. 设 f x( ) 是 [ , ] a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为 M 和 m m M ( ) ，求证： 必存在区间 [ , ] ，满足条件： (1) f M f m ( ) , ( ) = = 或 f m f M ( ) , ( ) = = ；
(2)m<f(x)<M,当x∈(a,B) 3.设∫(x)在[a,b]上连续,且取值为整数,求证:f(x)≡常数 4.设∫(x)在[a,b]连续,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在∈(a,b),使∫()=0 且f(x)>0(5<x≤b) 5.设∫(x)在[ab]上连续,并且最大值点x是唯一的,又设x∈[a,b],使 imf(xn)=f(x),求证 x 6.试用一致连续的定义证明:若函数f(x)在[a,c]和[c,b]上都一致连续,则f(x)在 [a,b]上也一致连续 7.f(x)在[0,2a]连续,且f(O)=f(2a),求证:存在x∈[0,a],使f(x)=f(x+a) 8.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,且imf(x)与limf(x)存在.证明;f(x)在 (-∞,+∞)上一致连续 9.若函数f(x)在(ab)上满足利普希茨 Lipschitz)条件,即存在常数K,使得 f(x")-f(x")≤K|x'-x"l,x,x"∈(a,b) 证明:f(x)在(a,b)上一致连续 0.设f(x)在(a,b)上一致连续,a,b≠土∞,证明f(x)在(a,b)上有界; 11.设f(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=+∞,求证:f(x)在(a,+∞)上不一致 连续 12.求证:f(x Inx在(0,+∞)上一致连续 13.若f(x)在区间X(有穷或无穷)中具有有界的导数,即f(x)kM,x∈X,则 f(x)在X中一致连续 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 (2) m f x M ( ) ，当 x( , ) ． 3. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且取值为整数，求证： f x( ) 常数． 4. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， f a( ) 0 ， f b( ) 0 ，求证：存在 ( , ) a b ，使 f ( ) 0 = ， 且 f x x b ( ) 0( ) ． 5. 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，并且最大值点 0 x 是唯一的，又设 0 x a b [ , ] ，使 0 lim ( ) ( ) n x f x f x → = ，求证 0 lim n x x x → = 6. 试用一致连续的定义证明：若函数 f x( ) 在 [ , ] a c 和 [ , ] c b 上都一致连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上也一致连续． 7. f x( ) 在 [0, 2 ] a 连续，且 f f a (0) (2 ) = ，求证：存在 x a [0, ] ，使 f x f x a ( ) ( ) = + ． 8. 设 f x( ) 在 ( , ) − + 上连续，且 lim ( ) x f x →− 与 lim ( ) x f x →+ 存在．证明； f x( ) 在 ( , ) − + 上一致连续． 9. 若函数 f x( ) 在 ( , ) a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 K ，使得 | ( ') ( '') | | ' '' |, ', '' ( , ). f x f x K x x x x a b − − 证明： f x( ) 在 ( , ) a b 上一致连续． 10. 设 f x( ) 在 ( , ) a b 上一致连续， a b, ，证明 f x( ) 在 ( , ) a b 上有界； 11. 设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim '( ) x f x →+ = + ，求证： f x( ) 在 ( , ) a + 上不一致 连续． 12. 求证： f x x x ( ) ln = 在 (0, ) + 上一致连续． 13. 若 f x( ) 在区间 X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即 | '( ) | , f x M x X ，则 f x( ) 在 X 中一致连续．