数学的实践与认识 30卷 U1=NI1-F(T)k+gt1+30g1+4 2.同上,定期换刀前出现故障情况下的总损失U2=N·F(T)·P,其中P2为换刀前 出现故障的更新过程的单位损失费用 由于故障的出现是随机的,即故障可能在x≤T的任意点发生,同模型一,系统在此单 位刀具更换间隔内的平均损失费用为:P2 f 其中单位换刀间隔内的x点处发生故障的平均损失费用W2包括 令、(1)发生故障前的检查费用:(g2:1)g32表示包括故障后的那次检查的故障前所有检 次数的和) (2)发生故障前由于误检停机造成的损失费用(同一(3)中表述): (g2-1)×2%×1500=30(g2-1) (3)正常工序中2%的不合格零件造成的损失 (4)发生故障后的检查所需费用 ①因为每次故障后要进行一次检査,而这次检查时可能检查到40%的合格品,也就是 下一次是否进行检查的可能性为40%,于是对从g2次(记为第0次)到g(记为第g1-g2 次)进行累计作为平均检查次数,即 ∑ 04(当T-x>H时) 其中H等于Tc减去X除以Tc所得的余数,即为发生故障的检查间隔内,发生故障到 下次检查之间产生的零件数 这时发生故障后的检查所需费用为∑04t ②而当T-x≤H时,即换刀发生在从故障发生到下一次检查维修之间的时候,检查次 数为0,所以检查费用为Q (5)对故障进行维修换刀的平均损失 其中0.4?为第g1-g2+1次检查时检查到合格品时的概率 (6)发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用 ①当T-x>H时即当故障发生后第一次检查到合格零件而误认为是无故障发生直到 检查出故障而进行换刀或维修为止的情况这时损失可分为两个部分 发生故障产生后到第一次检查的所产生不合格零件的损失,即 Q 6Hf b从发生故障后的第一次检查直到维修换刀时产生不合格零件的损失 于是当T-x>H时,发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用 H+047.+0427+…04r ②当T-x≤H,即固定换刀发生在从故障发生到第一次检查之间时,发生故障后产生 的不合格零件的平均损失费用 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
U 1 = N [1 - F (T ) ] k + g 1 t + 30g 1 + T f 50 21 同上, 定期换刀前出现故障情况下的总损失U 2= N ·F (T ) ·P 2, 其中 P 2 为换刀前 出现故障的更新过程的单位损失费用. 由于故障的出现是随机的, 即故障可能在 x ≤T 的任意点发生, 同模型一, 系统在此单 位刀具更换间隔内的平均损失费用为: P 2 =∫ T 0 W X f (x ) F (T ) dx 其中单位换刀间隔内的 x 点处发生故障的平均损失费用W 2 包括: (1) 发生故障前的检查费用: (g 2 - 1) t(g 2 表示包括故障后的那次检查的故障前所有检 查次数的和) (2) 发生故障前由于误检停机造成的损失费用(同一(3) 中表述): (g 2- 1) ×2% ×1500= 30 (g 2- 1) (3) 正常工序中 2% 的不合格零件造成的损失: 2% xf = xf 50 (4) 发生故障后的检查所需费用: ① 因为每次故障后要进行一次检查, 而这次检查时可能检查到 40% 的合格品, 也就是 下一次是否进行检查的可能性为 40% , 于是对从 g 2 次(记为第 0 次) 到 g 1 (记为第 g 1 - g 2 次) 进行累计作为平均检查次数, 即 ∑ g 1 - g 2 i= 0 0. 4i (当 T - x > H 时) 其中 H 等于 T C 减去X 除以 T C 所得的余数, 即为发生故障的检查间隔内, 发生故障到 下次检查之间产生的零件数. 这时发生故障后的检查所需费用为 ∑ g 1 - g 2 i= 0 0. 4i t ② 而当 T - x ≤H 时, 即换刀发生在从故障发生到下一次检查维修之间的时候, 检查次 数为 0, 所以检查费用为 0. (5) 对故障进行维修换刀的平均损失: 1- 0. 4g 1 - g 2 + 1 d 其中 014 g 1 - g 2 + 1为第 g 1- g 2+ 1 次检查时检查到合格品时的概率. (6) 发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用: ① 当 T - x > H 时即当故障发生后第一次检查到合格零件而误认为是无故障发生直到 检查出故障而进行换刀或维修为止的情况. 这时损失可分为两个部分: a. 发生故障产生后到第一次检查的所产生不合格零件的损失, 即 0. 6H f b. 从发生故障后的第一次检查直到维修换刀时产生不合格零件的损失. 于是当 T - x > H 时, 发生故障后产生的不合格零件的平均损失费用: H + 0. 4T c + 0. 42 T c + …0. 4g 1 - g 2T c 0. 6f ② 当 T - x ≤H , 即固定换刀发生在从故障发生到第一次检查之间时, 发生故障后产生 的不合格零件的平均损失费用: 22 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
期 戚正君等:自动化车床最优刀具检测更换模型 )·06f 所以换刀前出现故障的情况下总的损失费用U3=N·F()J:(a 其中Wx等于(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各项损失之和 因此,整个系统的平均损失为 U总=k+g1t+ 3 [1-F(T)]+ flr (x)dx·N·F(7) 共产生的合格零件总数为 (1)换刀前未发生故障所产生的总的合格零件个数:它等于换刀前未发生故障的情况下 产生的零件总数与合格零件所占百分比的乘积 N[1-F(7)]T×98% (2)换刀前发生故障所产生的总的合格零件个数 N·F(T)|98% fx⊥ 06F()dx(6)结果见上式) 于是,模型二中系统工序的单位期望损失为 r(c)=,1从而再次转化为确定T和re的值使r()最小的关系式(1)、(2) 结果见上式) 同模型一利用计算机进行穷举比较法计算得出最优解 T(C)=9268 T=306 同模型一的改进,我们对模型二进行不等间隔检查的改进,用改进的模型一中的g(T) (单位换刀间隔内的检查次数)g2(x)(在故障x前进行检查的次数)、H(x)(从损坏到下次 检查间产生的零件数)代入模型二中,求得 T(C)=9047 T=316 area =Q 017 相对于模型一,由于模型二发生故障后仍有40%的合格品产生,因此给检查带来了困 难,为了尽量减少误检造成的损失,于是相应的检查间隔变大而换刀间隔减小,从而单位期 望损失也由4.405变为9.047 4.5模型二检查方式的改进(问题3的解答) 对于问题二,由于工序正常时产出的零件仍有2%为不合格品,而工序故障时产生的零 件有40%为合格品,这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的检 查方式必然会导致正常工序时因检査到不合格零件而误认为出现故障停机的错误和工序发 生故障后检査到的仍是合格品而认为工序正常的错误,都将造成很大损失于是我们建议 工作人员当检査到一个零件为合格品时,再检查一个零件,若仍是合格品则判断工序正常 若为不合格品则判定为系统工序出现故障这样虽然会相应地增加检查的费用,但大大降 低了因误检而造成的损失,从而使系统工序获得更高的效益(编者按:这就是 Bayes决策 的思想,最好具体算一下这样处理后,减少了多少误判概率) c1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. Al rights reserved
(T - x ) õ 0. 6f 所以换刀前出现故障的情况下总的损失费用U 2 = N õ F (T )∫ T 0 W X f (x ) F (T ) dx 其中W X 等于(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6) 各项损失之和. 因此, 整个系统的平均损失为 U 总 = k + g 1 t + 30g 1 + T f 50 õN õ [1 - F (T ) ] +∫ T 0 W X f (x ) F (T ) dx õN õ F (T ) 共产生的合格零件总数为: (1) 换刀前未发生故障所产生的总的合格零件个数: 它等于换刀前未发生故障的情况下 产生的零件总数与合格零件所占百分比的乘积 N [1- F (T ) ]T ×98% (2) 换刀前发生故障所产生的总的合格零件个数 N õ F (T )∫ T 0 98% x + (6) 0. 6f 0. 4 f (x ) F (T ) dx ( (6) 结果见上式) 于是, 模型二中系统工序的单位期望损失为 T (C) = W 总 (1) + (2) 从而再次转化为确定 T 和 T c 的值使 T (c) 最小的关系式. ( (1)、(2) 结果见上式) 同模型一利用计算机进行穷举比较法计算得出最优解 T (C) 3 = 9. 268 T 3 = 306 T c3 = 28 同模型一的改进, 我们对模型二进行不等间隔检查的改进, 用改进的模型一中的 g 1 (T ) (单位换刀间隔内的检查次数)、g 2 (x ) (在故障 x 前进行检查的次数)、H (x ) (从损坏到下次 检查间产生的零件数) 代入模型二中, 求得 T (C) 3 = 9. 047 T 3 = 316 a rea 3 = 0. 017 相对于模型一, 由于模型二发生故障后仍有 40% 的合格品产生, 因此给检查带来了困 难, 为了尽量减少误检造成的损失, 于是相应的检查间隔变大而换刀间隔减小, 从而单位期 望损失也由 41405 变为 91047. 415 模型二检查方式的改进(问题 3 的解答) 对于问题二, 由于工序正常时产出的零件仍有 2% 为不合格品, 而工序故障时产生的零 件有 40% 为合格品, 这样工作人员在通过定期检查单个零件来确定工序是否出现故障的检 查方式必然会导致正常工序时因检查到不合格零件而误认为出现故障停机的错误和工序发 生故障后检查到的仍是合格品而认为工序正常的错误, 都将造成很大损失. 于是我们建议 工作人员当检查到一个零件为合格品时, 再检查一个零件, 若仍是合格品则判断工序正常, 若为不合格品则判定为系统工序出现故障. 这样虽然会相应地增加检查的费用, 但大大降 低了因误检而造成的损失, 从而使系统工序获得更高的效益. (编者按: 这就是Bayes 决策 的思想, 最好具体算一下这样处理后, 减少了多少误判概率. ) 1 期 戚正君等: 自动化车床最优刀具检测更换模型 32 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
30卷 5对模型的评价和改进 本文所阐述的模型是以单位期望效益为目标的更新报酬定理的改进与推广它广泛 适用于自动化车床的管理系统,但只能是单道工序加工单一零件的情况,却对扩展到多道工 序和多种零件的复杂车床管理系统产生指导意义本文还应用等概率法对等间隔检查方式 进行了改进,利用失效概率密度函数使检查间隔符合等概率分布,使模型更优本模型对可 能发生的故障损失逐一进行了细致的分析求解,但多目标的模型方程比较繁琐,于是本模型 选择了用计算机进行了给定范围的穷举比较法来进行求解 在假设中我们假设检查零件时如检查到不合格零件,立即停止生产(即不再产生不合格 产品),而实际中由于检查时间不容忽视,必然会多产生一些不合格产品,本模型中并没有考 虑,会造成一些误差另外本模型没有对故障及维修时间提出具体要求,即在整个工序中如 何尽量提高生产效率问题上留下了遗憾 参考文献 [1]茆诗松,周纪芗.概率论与数理统计.中国统计出版社 [2]蔡俊可靠性工程学黑龙江科学技术出版社 沈玉波,冯敬海可修系统的最优检测更新模型数学的实践与认识,19963 The optim um Checking and replacing m odel for the Cutting tool of the automa tic machine tool Q I Zheng-jun, REN Yi SI Yong (Dalian U niversity of Techno b gy, Dalian 116024) Abstract Through statist ical analy sis of more than 100 tmes breakdow n of cutting tools on the autom at ic m ach ine too l the check ing and rep lac ing model has been stud ied for cutting too l to m ach ine only one part continuously. In this paper, by using of the d inspect on m ethod for the large-scale sam p le situat on in the p robability theory, it has been p roved that the occurring law of cutting tooI's breakdow n accords w ith the no m al distr buton A fter figuring out the life-span distributon functon of the sy stem process, the m ultrob jective functon equaton has been obtained in w hich the un it expected loss of the qualified part is taken as objective and the check ing interval as well as the regular rep lacem ent interval for cutting tool are variables By eans of enumerat pn and com parison m ethods to look for the so lut in on the m i the op tm um check ing interval and the op tm um rep lacing strategy for the cutting too l have been given w hich could bring out the op tm al econom ic p rofit in the sy stem process Since the occur- ring law of cutting tools break dow n acco rds the no m al distributon, the m proved model has i ted by adopt ing the regular unequal interval check ing m ethod and the better results than these of equal interval check ing m ethod are obtainee 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
5 对模型的评价和改进 本文所阐述的模型是以单位期望效益为目标的更新报酬定理[ 3 ]的改进与推广. 它广泛 适用于自动化车床的管理系统, 但只能是单道工序加工单一零件的情况, 却对扩展到多道工 序和多种零件的复杂车床管理系统产生指导意义. 本文还应用等概率法对等间隔检查方式 进行了改进, 利用失效概率密度函数使检查间隔符合等概率分布, 使模型更优. 本模型对可 能发生的故障损失逐一进行了细致的分析求解, 但多目标的模型方程比较繁琐, 于是本模型 选择了用计算机进行了给定范围的穷举比较法来进行求解. 在假设中我们假设检查零件时如检查到不合格零件, 立即停止生产(即不再产生不合格 产品) , 而实际中由于检查时间不容忽视, 必然会多产生一些不合格产品, 本模型中并没有考 虑, 会造成一些误差. 另外本模型没有对故障及维修时间提出具体要求, 即在整个工序中如 何尽量提高生产效率问题上留下了遗憾. 参考文献: [ 1 ] 茆诗松, 周纪芗. 概率论与数理统计. 中国统计出版社. [ 2 ] 蔡 俊. 可靠性工程学. 黑龙江科学技术出版社. [ 3 ] 沈玉波, 冯敬海. 可修系统的最优检测更新模型. 数学的实践与认识, 1996. 3. The Optim um Check ing and Replac ing M odel for the Cutting Tool of the Automatic M ach ine Tool Q I Zheng2jun, R EN Y i, S I Yong (D alian U niversity of T echno logy, D alian 116024) Abstract: T h rough statistical analysis of mo re than 100 tim es breakdow n of cutting too ls on the autom atic m ach ine too l, the check ing and rep lacing model has been studied fo r cutting too l to m ach ine only one part continuously. In th is paper, by using of the D inspection m ethod fo r the large2scale samp le situation in the p robability theo ry, it has been p roved that the occurring law of cutting too l′s breakdow n acco rds w ith the no rm al distribution. A fter figuring out the life2span distribution function of the system p rocess, the m ulti2objective function equation has been obtained in w h ich the unit expected lo ss of the qualified part is taken as objective and the check ing interval as w ell as the regular rep lacem ent interval fo r cutting too l are variables. By m eans of enum eration and comparison m ethods to look fo r the so lution on the m icrocomputer, the op tim um check ing interval and the op tim um rep lacing strategy fo r the cutting too l have been given w h ich could bring out the op tim al econom ic p rofit in the system p rocess. Since the occur2 ring law of cutting too l′s breakdow n acco rds the no rm al distribution, the imp roved model has been p resented by adop ting the regular unequal interval check ing m ethod and the better results than these of equal interval check ing m ethod are obtained. 42 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
第30卷第1期 数学的实践与认识 Vol 30 No. 1 20001 MATHEMATICS N PRACT ICE AND THEORY Jan 2000 By using the algorithm mentoned above, the functon has been so lved fairly and the optr mum so luton has been got In this paper two study cases are described For case l, the inter- vals of rep lacing and check ing are 369 and 18 respectively, the b ss of unit qualif ied part is 4. 615 Yuan and it w ill be dow n to 4. 405 Yuan if the unequal interval is adop ted For case 2, under com p licated condit pns, the intervals of rep lacing and theck ing are 306 and 28 respective- ly, the b ss of un it qualified part is 9. 268 Yuan and it w ill change to 9. 047 Yuan w hen using unequal interval These results p rov ide a more advantage p roof for the mp roved model using the unequal in terval check ing m ethod 自动化车床管理 于杰,蒋爱民,李荣冰 指导教师:倪勤 (南京航空航天大学,南京210016) 编者按本文思路清晰,叙述简沽扼要,在处理5%其他故障方面有独到之处但问题二的分析和结果有 不足和错误 摘要:本文讨论了系统的最优维修策略问题,考虑到题目中所涉及的变量大多为随机变量,我们建立了单 目标的期望值模型并利用计算机采用穷举搜索法求解得第一种情况最优解为每生产18个零件检査1次, 当检查到20次时更换刀具,这时生产单个零件的最低平均费用为4.62元 最后,我们指出了模型中一些未考虑的因素,分析了这些因素可能对模型产生的影响,并提出了模型的 改进方案 1问题的提出(略 2基本假设 (1)假定生产任一零件出现故障机会均等,且相互独立 (2)发现故障时无法区分刀具故障和其它故障 (3)其它故障服从几何分布 (4)每次只检查1个零件 (5)零件检查时间很小,可忽略不计 (6)检查间隔是相等的 (7)假设随机变量X1、X2是相互独立的,X1、X2的含义见符号说明 3符号说明 n:每生产n个零件检查一次 n:检查第m次时更换新的刀具 T:定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期T=n·m 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved
第 30 卷第 1 期 2000 年 1 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l130 N o11 Jan. 2000 By using the algo rithm m entioned above, the function has been so lved fairly and the op ti2 m um so lution has been go t. In th is paper tw o study cases are described. Fo r case 1, the inter2 vals of rep lacing and check ing are 369 and 18 respectively, the lo ss of unit qualified part is 41615 Yuan and it w ill be dow n to 41405 Yuan if the unequal interval is adop ted. Fo r case 2, under comp licated conditions, the intervals of rep lacing and theck ing are 306 and 28 respective2 ly, the lo ss of unit qualified part is 91268 Yuan and it w ill change to 91047 Yuan w hen using unequal interval. T hese results p rovide a mo re advantage p roof fo r the imp roved model using the unequal interval check ing m ethod. 自 动 化 车 床 管 理 于 杰, 蒋爱民, 李荣冰 指导教师: 倪 勤 (南京航空航天大学, 南京 210016) 编者按: 本文思路清晰, 叙述简洁扼要, 在处理 5% 其他故障方面有独到之处. 但问题二的分析和结果有 不足和错误. 摘要: 本文讨论了系统的最优维修策略问题, 考虑到题目中所涉及的变量大多为随机变量, 我们建立了单 目标的期望值模型. 并利用计算机采用穷举搜索法求解得第一种情况最优解为每生产 18 个零件检查 1 次, 当检查到 20 次时更换刀具, 这时生产单个零件的最低平均费用为 4162 元. 最后, 我们指出了模型中一些未考虑的因素, 分析了这些因素可能对模型产生的影响, 并提出了模型的 改进方案. 1 问题的提出(略) 2 基本假设 (1) 假定生产任一零件出现故障机会均等, 且相互独立 (2) 发现故障时无法区分刀具故障和其它故障 (3) 其它故障服从几何分布 (4) 每次只检查 1 个零件 (5) 零件检查时间很小, 可忽略不计 (6) 检查间隔是相等的 (7) 假设随机变量 X 1、X 2 是相互独立的, X 1、X 2 的含义见符号说明 3 符号说明 n: 每生产 n 个零件检查一次 m : 检查第m 次时更换新的刀具 T : 定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期 T = n·m ' 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
第30卷第1期 数学的实践与认识 Vol 30 No. 1 20001 MATHEMATICS N PRACT ICE AND THEORY Jan 2000 By using the algorithm mentoned above, the functon has been so lved fairly and the optr mum so luton has been got In this paper two study cases are described For case l, the inter- vals of rep lacing and check ing are 369 and 18 respectively, the b ss of unit qualif ied part is 4. 615 Yuan and it w ill be dow n to 4. 405 Yuan if the unequal interval is adop ted For case 2, under com p licated condit pns, the intervals of rep lacing and theck ing are 306 and 28 respective- ly, the b ss of un it qualified part is 9. 268 Yuan and it w ill change to 9. 047 Yuan w hen using unequal interval These results p rov ide a more advantage p roof for the mp roved model using the unequal in terval check ing m ethod 自动化车床管理 于杰,蒋爱民,李荣冰 指导教师:倪勤 (南京航空航天大学,南京210016) 编者按本文思路清晰,叙述简沽扼要,在处理5%其他故障方面有独到之处但问题二的分析和结果有 不足和错误 摘要:本文讨论了系统的最优维修策略问题,考虑到题目中所涉及的变量大多为随机变量,我们建立了单 目标的期望值模型并利用计算机采用穷举搜索法求解得第一种情况最优解为每生产18个零件检査1次, 当检查到20次时更换刀具,这时生产单个零件的最低平均费用为4.62元 最后,我们指出了模型中一些未考虑的因素,分析了这些因素可能对模型产生的影响,并提出了模型的 改进方案 1问题的提出(略 2基本假设 (1)假定生产任一零件出现故障机会均等,且相互独立 (2)发现故障时无法区分刀具故障和其它故障 (3)其它故障服从几何分布 (4)每次只检查1个零件 (5)零件检查时间很小,可忽略不计 (6)检查间隔是相等的 (7)假设随机变量X1、X2是相互独立的,X1、X2的含义见符号说明 3符号说明 n:每生产n个零件检查一次 n:检查第m次时更换新的刀具 T:定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期T=n·m 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved
第 30 卷第 1 期 2000 年 1 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l130 N o11 Jan. 2000 By using the algo rithm m entioned above, the function has been so lved fairly and the op ti2 m um so lution has been go t. In th is paper tw o study cases are described. Fo r case 1, the inter2 vals of rep lacing and check ing are 369 and 18 respectively, the lo ss of unit qualified part is 41615 Yuan and it w ill be dow n to 41405 Yuan if the unequal interval is adop ted. Fo r case 2, under comp licated conditions, the intervals of rep lacing and theck ing are 306 and 28 respective2 ly, the lo ss of unit qualified part is 91268 Yuan and it w ill change to 91047 Yuan w hen using unequal interval. T hese results p rovide a mo re advantage p roof fo r the imp roved model using the unequal interval check ing m ethod. 自 动 化 车 床 管 理 于 杰, 蒋爱民, 李荣冰 指导教师: 倪 勤 (南京航空航天大学, 南京 210016) 编者按: 本文思路清晰, 叙述简洁扼要, 在处理 5% 其他故障方面有独到之处. 但问题二的分析和结果有 不足和错误. 摘要: 本文讨论了系统的最优维修策略问题, 考虑到题目中所涉及的变量大多为随机变量, 我们建立了单 目标的期望值模型. 并利用计算机采用穷举搜索法求解得第一种情况最优解为每生产 18 个零件检查 1 次, 当检查到 20 次时更换刀具, 这时生产单个零件的最低平均费用为 4162 元. 最后, 我们指出了模型中一些未考虑的因素, 分析了这些因素可能对模型产生的影响, 并提出了模型的 改进方案. 1 问题的提出(略) 2 基本假设 (1) 假定生产任一零件出现故障机会均等, 且相互独立 (2) 发现故障时无法区分刀具故障和其它故障 (3) 其它故障服从几何分布 (4) 每次只检查 1 个零件 (5) 零件检查时间很小, 可忽略不计 (6) 检查间隔是相等的 (7) 假设随机变量 X 1、X 2 是相互独立的, X 1、X 2 的含义见符号说明 3 符号说明 n: 每生产 n 个零件检查一次 m : 检查第m 次时更换新的刀具 T : 定期更换刀具时已生产的产品的总数即刀具更换周期 T = n·m ' 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved