期 戚正君等自动化车床最优刀具检测更换模型 17 以经济损失最小为目标的最优的换刀间隔 T(C)在Tc'和r'的情况下,系统工序合格零件的最小单位期望损失 f(x)系统的失效概率密度 F(x)累计失效概率密度,亦即寿命分布函数 故障时产出的零件损失费用200元/件 ftdkμ 检查的费用10元 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用3000元/(包括刀具费) 未发现故障时更换一把新刀具的费用1000元/次 刀具平均寿命 样本方差 4模型的建立与求解 4.1建立模型前的数据处理 正态性检验 首先根据大样本场合(n>50)的D检验验证刀具寿命记录的概率分布的方式 y=①=0282093)n 002998598 正态分布的拒绝域为{Y≤Y或Y≥Y.m}取=0.05由于n=100,则拒绝域为{Y 2.54或Y≥1.31}Y=-1.2933 计算有D=0.2782 由于样本未落入拒绝域,故在0=0.05时可认为刀具故障记录满足正态分布 2.概率密度函数的求解 于是失效概率密度函数为(0)=f(0,x)=02n (1x)2/d2 其中x= 由数据统计得x600G=196.6291695 则累积失效概率密度函数(寿命分布函数)为 (x)dx 4.2模型 我们首先建立以合格零件的单位期望损失为目标函数的数学模型 系统工序的期望总损失L总 系统工序合格零件的单位期望损失r(C)=系统工序产生的合格零件总数 4.2.1首先求系统工序的期望总损失U总 假设自动化车床在连续运行中将发生N次更新过程(每次换刀或者维修换刀为一次更 2 01995-2004 Tsinghua Tong/ang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
T 3 以经济损失最小为目标的最优的换刀间隔. T (C) 3 在 T c3 和 T 3 的情况下, 系统工序合格零件的最小单位期望损失. f (x ) 系统的失效概率密度. F (x ) 累计失效概率密度, 亦即寿命分布函数. f 故障时产出的零件损失费用 200 元ö件. t 检查的费用 10 元ö次. d 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 3000 元ö次(包括刀具费). k 未发现故障时更换一把新刀具的费用 1000 元ö次. Λ 刀具平均寿命 Ρ 样本方差 4 模型的建立与求解 411 建立模型前的数据处理 11 正态性检验 首先根据大样本场合(n> 50) 的D 检验验证刀具寿命记录的概率分布的方式. D = ∑ n i= 1 i - n + 1 2 x (i) n 3 2 ∑ n i= 1 (x i - x θ) 2 Y = (D - 0. 28209479) n 0. 02998598 正态分布的拒绝域为{Y ≤Y Αö2或 Y ≥Y 1- Αö2 } 取 Α= 0105 由于 n= 100, 则拒绝域为{Y ≤ - 2154 或 Y ≥1131} Y = - 112933 经计算有D = 012782 由于样本未落入拒绝域, 故在 Α= 0105 时可认为刀具故障记录满足正态分布. 21 概率密度函数的求解 于是失效概率密度函数为: f (t) = f N (t; Ρ 2 , x ) = 1 Ρ 2Π e - (1- x ) 2ö2Ρ 2 其中 x θ = 1 N ∑ N i= 1 x i Ρ 2≈ S 2 = 1 N - 1∑ N i= 1 (x i - x θ) 2 由数据统计得 x θ= 600 Ρ= 19616291695 则累积失效概率密度函数(寿命分布函数) 为 F (t) = FN (t; Ρ 2 , x ) =∫ t 0 f (x ) dx 412 模型一 我们首先建立以合格零件的单位期望损失为目标函数的数学模型. 系统工序合格零件的单位期望损失 T (C) = 系统工序的期望总损失U 总 系统工序产生的合格零件总数 41211 首先求系统工序的期望总损失U 总 假设自动化车床在连续运行中将发生N 次更新过程(每次换刀或者维修换刀为一次更 1 期 戚正君等: 自动化车床最优刀具检测更换模型 71 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
数学的实践与认识 30卷 新过程),即包括到固定换刀间隔才换刀和发生故障后立即维修换刀两类情况 这N次更新刀具的过程又可分为两种情况: 1.换刀间隔T前尚未出现故障发生这种情况时的更新间隔均为T,出现的次数等于 刀具更新的总次数乘以以了为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率,即N[1 F(T)],因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失U1等于这种情况下的刀具更新次 数N[1-F(T)]乘以单位更新过程的损失费用P1U1=N[1-F(T)P1 2.换刀间隔T前就出现故障这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀,从而完成 了一个更新过程这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的 概率,即N·F(T),因此定期换刀前出现故障的情况下的总损失U2等于这种情况下的刀具 更新次数N·F(T)乘以单位更新过程的损失费用P2U2=N·F(T)·P2 而U总=U1+U2 注其中F(T)为以r为更新周期的情况下工序出现故障的概率,即为前面的数据处 理2中的累计失效概率密度函数F()=)dr,当7情况下F(T)的结果 下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1和P2 1.求到换刀间隔T尚未出现故障时一次更新所消耗费用P (1)检查费用:检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用,即gt 注其中g表示一次换刀前未出现故障的过程的检查次数,等于固定换刀间隔T除 以检查周期Tc所得的整数部分 (2)换刀费用:k (3)不合格零件损失费用:0 所以P1=g1+k+0 于是,在换刀前未出现故障的情况下总的损失费用U1为一次换刀周期内的损失乘以 这种情况可能发生的总的更新次数,即 U1=N[1-F(T)[g1t+K+0 2.求换刀时已出现故障时一次更新过程所消耗费用P 这种更新过程如图1所示,即在定期换刀间隔T内发生故障,则在故障发生后的下 次检查时及时发现并维修换刀,从而完成一个更新过程一次更新过程的费用包括 失零件数 (1)发生故障时的维修换刀费用:d (2)故障维修前所有的损失费用:由于故障发生的随机性,因此可以发生在T内的任何 位置因此这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障所造成的损失与在x 处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果,即n,(rdx 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
新过程) , 即包括到固定换刀间隔才换刀和发生故障后立即维修换刀两类情况. 这N 次更新刀具的过程又可分为两种情况: 11 换刀间隔 T 前尚未出现故障. 发生这种情况时的更新间隔均为 T , 出现的次数等于 刀具更新的总次数乘以以 T 为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率, 即N [ 1- F (T ) ], 因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失U 1 等于这种情况下的刀具更新次 数N [1- F (T ) ]乘以单位更新过程的损失费用 P 1. U 1= N [1- F (T ) ]P 1 21 换刀间隔 T 前就出现故障. 这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀, 从而完成 了一个更新过程. 这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的 概率, 即N ·F (T ) , 因此定期换刀前出现故障的情况下的总损失U 2 等于这种情况下的刀具 更新次数N ·F (T ) 乘以单位更新过程的损失费用 P 2. U 2= N ·F (T ) ·P 2 而U 总= U 1+ U 2 注 其中 F (T ) 为以 T 为更新周期的情况下工序出现故障的概率, 即为前面的数据处 理 2 中的累计失效概率密度函数, F (t) =∫ t 0 f (x ) dx , 当 t= T 情况下 F (T ) 的结果. 下面我们将通过对一个换刀间隔 T 的研究来求 P 1 和 P 2. 11 求到换刀间隔 T 尚未出现故障时一次更新所消耗费用 P 1: (1) 检查费用: 检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用, 即 g 1 t 注 其中 g 1 表示一次换刀前未出现故障的过程的检查次数, 等于固定换刀间隔 T 除 以检查周期 T c 所得的整数部分. (2) 换刀费用: k (3) 不合格零件损失费用: 0 所以 P 1= g 1 t+ k+ 0 于是, 在换刀前未出现故障的情况下总的损失费用U 1 为: 一次换刀周期内的损失乘以 这种情况可能发生的总的更新次数, 即 U 1 = N 1 - F (T ) [g 1 t + K + 0 ] 21 求换刀时已出现故障时一次更新过程所消耗费用 P 2 这种更新过程如图 1 所示, 即在定期换刀间隔 T 内发生故障, 则在故障发生后的下一 次检查时及时发现并维修换刀, 从而完成一个更新过程. 一次更新过程的费用包括: 图 1 (1) 发生故障时的维修换刀费用: d (2) 故障维修前所有的损失费用: 由于故障发生的随机性, 因此可以发生在 T 内的任何 位置. 因此这部分的损失费用等于对于周期 T 内任意点 x 处发生故障所造成的损失与在 x 处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果, 即∫ T 0 W x f (x ) F (T ) dx 81 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
期 戚正君等:自动化车床最优刀具检测更换模型 其中表示在一个换刀周期r内任意的x处发生故障概率 F(T) 任意位置发生故障的损失费Wκ=检查费用+零件损失费 a.检查费用等于检查次数乘以单次检查费用,即[g2+1]t(g2为发生故障x前的检查 次数,等于x/Tc所得的整数部分) b.零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件 的损失费用,即[ TC-H I 注H为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数,即发生故障前的所有合格零件数 除以检查间隔所得的余数 所以 P:-(g:+1+re:D)f()+ 于是得到在换刀前已出现故障的情况下的损失总费用U2为 f(x⊥ [82+1]t+ [Tc- hD F()r+ dp 因此工序总的期望损失为U总=U1+U2 系统工序产生的合格零件总数为换刀前没发生故障情况产生的合格零件总数加上换 刀前发生故障情况下产生的合格零件总数,即 N[1-F(T)]T+N·F(T) Lfl 统工序的期望总损失L总 系统工序合格零件的单位期望损失r(C)=系统工序产生的合格零件总数ˉ N[1-F(r)T+N·F(7)hf(x,(U,U2见上文) 上式中N可以约去,式子变成了以T,Tc为变量,T(c)为目标函数的方程为使T(c) 最小,我们利用计算机进行穷举比较法求解首先选取T=50为步长进行求解比较,求得 T=400,Tc=16时出现最优解,然后在T∈(350,450)之间逐一进行求解比较,从而得到模 型的优化解如下: T(C)=4.615 4.3对模型一的进一步改进 由于故障记录满足正态分布因此在等检查间隔内产生的不合格零件数并不相等,即故 障发生在各间距内的概率并不相等,也就是说这样便不符合在生产任一零件时出现故障的 机会均相等的假设为了使在任意检査区间内故障发生的概率积累均相同,我们根据故障 记录的正态分布规律,开始时工序故障发生的概率小,到工序运行中期达到最大,然后再次 变小的变化规律,如图采用不等间隔的检查方式,即检查间隔由大一小一大的方式进行检 查,从而相对于等间隔检查更加合理如图2所示 由图2已知单位检查间隔内产生的不合格零件的累计失效概率密度用面积area表示, 各块面积大小相等,即在各单位检查间隔内产生不合格零件的概率积累均相同,由此可以确 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, LId. All rights reserved
其中f (x ) F (T ) 表示在一个换刀周期 T 内任意的 x 处发生故障概率. 任意位置发生故障的损失费W x = 检查费用+ 零件损失费 a1 检查费用等于检查次数乘以单次检查费用, 即[g 2+ 1 ]t (g 2 为发生故障 x 前的检查 次数, 等于 x öT c 所得的整数部分) b1 零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件 的损失费用, 即[T c- H ]f 注 H 为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数, 即发生故障前的所有合格零件数 除以检查间隔所得的余数. 所以 P 2 =∫ T 0 [g 2 + 1 ]t + [T c - H ]f f (x ) F (T ) dx + d 于是得到在换刀前已出现故障的情况下的损失总费用U 2 为 U 2 = N õ F (T )∫ T 0 [g 2 + 1 ]t + [T c - H ]f f (x ) F (T ) dx + d 因此工序总的期望损失为U 总= U 1+ U 2 系统工序产生的合格零件总数为: 换刀前没发生故障情况产生的合格零件总数加上换 刀前发生故障情况下产生的合格零件总数, 即 N [1 - F (T ) ]T + N õ F (T )∫ T 0 x f (x ) F (T ) dx 系 统 工 序 合 格 零 件 的 单 位 期 望 损 失 T (C ) = 系统工序的期望总损失U 总 系统工序产生的合格零件总数 = U 1+ U 2 N [1- F (T ) T ]+ N ·F (T )∫ T 0 x f (x ) F (T ) dx (U 1,U 2 见上文) 上式中N 可以约去, 式子变成了以 T , T c 为变量, T (c) 为目标函数的方程. 为使 T (c) 最小, 我们利用计算机进行穷举比较法求解. 首先选取 T = 50 为步长进行求解比较, 求得 T = 400, T c= 16 时出现最优解; 然后在 T ∈(350, 450) 之间逐一进行求解比较, 从而得到模 型的优化解如下: T (C) 3 = 41615 T 3 = 369 T c3 = 18 413 对模型一的进一步改进 由于故障记录满足正态分布, 因此在等检查间隔内产生的不合格零件数并不相等, 即故 障发生在各间距内的概率并不相等, 也就是说这样便不符合在生产任一零件时出现故障的 机会均相等的假设. 为了使在任意检查区间内故障发生的概率积累均相同, 我们根据故障 记录的正态分布规律, 开始时工序故障发生的概率小, 到工序运行中期达到最大, 然后再次 变小的变化规律, 如图采用不等间隔的检查方式, 即检查间隔由大一小一大的方式进行检 查, 从而相对于等间隔检查更加合理. 如图 2 所示: 由图 2 已知单位检查间隔内产生的不合格零件的累计失效概率密度用面积 a rea 表示, 各块面积大小相等, 即在各单位检查间隔内产生不合格零件的概率积累均相同, 由此可以确 1 期 戚正君等: 自动化车床最优刀具检测更换模型 91 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
30卷 2 定检查间隔Tc具体的变化规律设在一个换刀间隔内检测间隔次数为g1(T),图2下半部 分中的纵坐标累积失效概率密度即为图2上半部分中的面积area, 因此, g1(T)=F(T) diy area(dm表示整除) 设在T的周期内任一点X处发生故障,设在故障x之前的检测次数为g2(x) 则 g2(x)=[F(x-1)div area 1+ 1 (2) 于是得到损失零件数H(x)=F[g2(x)×area]-x(H(x)<7-x) 如果H(x)≥T-x时则损失零件数为T-x 我们将改进后的(1)、(2)、(3)的结果应用于模型一中,得到了模型一的更优解和更好的 效益 T(C)=4405 area =Q 006 改进后的模型得到的更优解较改进前期望损失的最小值降低了5%,对于不等间隔检 查,其检查间隔Tc(n)的计算公式为 Tc(n)=F [area Xn]- F Tarea(n- 1) Tc(n)的计算结果如下表所示 检查间隔 检查零件号 检查次数 检查零件号 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
图 2 定检查间隔 T c 具体的变化规律. 设在一个换刀间隔内检测间隔次数为 g 1 (T ) , 图 2 下半部 分中的纵坐标累积失效概率密度即为图 2 上半部分中的面积 a rea, 因此, g 1 (T ) = F (T ) d iv a rea (d iv 表示整除) (1) 设在 T 的周期内任一点X 处发生故障, 设在故障 x 之前的检测次数为 g 2 (x ) 则 g 2 (x ) = [F (x - 1) d iv a rea ]+ 1 (2) 于是得到损失零件数H (x ) = F - 1 [g 2 (x ) ×a rea ]- x (H (x ) < T - x ) 如果H (x ) ≥T - x 时则损失零件数为 T - x (3) 我们将改进后的(1)、(2)、(3) 的结果应用于模型一中, 得到了模型一的更优解和更好的 效益. T (C) 3 = 4. 405 T 3 = 369 a rea 3 = 0. 006 改进后的模型得到的更优解较改进前期望损失的最小值降低了 5% , 对于不等间隔检 查, 其检查间隔 T c (n) 的计算公式为: T c (n) = F - 1 [a rea×n ]- F - 1 [a rea (n- 1) ] T c (n) 的计算结果如下表所示. 检查次数 检查间隔 检查零件号 检查次数 检查间隔 检查零件号 1 106 106 11 9 303 2 50 156 12 9 312 3 31 187 13 9 321 4 24 211 14 7 328 5 19 230 15 8 336 6 16 246 16 7 343 7 14 260 17 7 350 8 12 272 18 6 356 9 12 284 19 7 363 10 10 294 20 6 369 02 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
期 戚正君等:自动化车床最优刀具检测更换模型 4模型二 相对于模型一,模型二需要增加考虑两种情况:一种是在工序正常工作时有可能检査到 2%的不合格零件而误认为出现故障停机,发现误检后不进行换刀,继续正常工作,每次误停 机将造成1500元的损失,第二种情况是由于工序发生故障后仍有40%的合格零件产生,必 然会导致因为检查到40%的合格零件而认为工序正常的错误,这样会增加不合格零件的数 量和相应增加不必要的检查,从而使工序的损失增加 同模型一,我们同样列出以单位合格零件的期望损失为目标的函数方程 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数 系统工序的总损失U总又包括定期换刀前出现故障情况下产生的损失U1加上定期换 刀前未出现故障情况下产生的损失U2 我们仍假设整个系统共包括N次更新过程 换刀前出现故障的更新次数N·F(T)(F(T)的含义同模型一) 换刀前未出现故障的更新次数N[-F(T)] 所以 UI=N[I- F(T)IPI U2=N·F(T)·P2 下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1、P 1.换刀前未出现故障的更新过程的单位损失费用P1包括 (1)一次换刀费用:k (2)检查费用:单位更新周期内的检查次数乘以单次检查费用 同模型一我们用g1表示T/rc的整数部分 (3)由于车床在正常工作时将会产生2%的不合格产品,如果在检测时正好被检测到, 将误认为有故障而停机,造成的误停机损失总费用等于误停机的次数乘以一次误停机的损 失 误检测而停机的次数=总的检测次数×在正常情况下不合格产品所占总产品的百分含 所以,误检测而停机造成的损失费用为×1500=30g (4)在工序正常运行中产生的不合格零件的损失费用=单位换刀间隔T内产生的不合 格零件总数r×2%与单个不合格零件的损失f的乘积,即 T 合计(1)、(2)、(3)、(4)各项的费用,即为换刀前未出现故障的更新过程的单位损耗费用 所以换刀前未出现故障的情况下的损失费用U1合计为 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
414 模型二 相对于模型一, 模型二需要增加考虑两种情况: 一种是在工序正常工作时有可能检查到 2% 的不合格零件而误认为出现故障停机, 发现误检后不进行换刀, 继续正常工作, 每次误停 机将造成 1500 元的损失; 第二种情况是由于工序发生故障后仍有 40% 的合格零件产生, 必 然会导致因为检查到 40% 的合格零件而认为工序正常的错误, 这样会增加不合格零件的数 量和相应增加不必要的检查, 从而使工序的损失增加. 同模型一, 我们同样列出以单位合格零件的期望损失为目标的函数方程 系统工序合格零件的单位期望损失 T (C) = 系统工序的期望总损失U 总 系统工序产生的合格零件总数 系统工序的总损失U 总 又包括定期换刀前出现故障情况下产生的损失U 1 加上定期换 刀前未出现故障情况下产生的损失U 2. 我们仍假设整个系统共包括N 次更新过程. 换刀前出现故障的更新次数:N ·F (T ) (F (T ) 的含义同模型一) 换刀前未出现故障的更新次数:N [1- F (T ) ] 所以 U 1 = N [1 - F (T ) ]P 1 U 2 = N õ F (T ) õ P 2 下面我们将通过对一个换刀间隔 T 的研究来求 P 1、P 2 11 换刀前未出现故障的更新过程的单位损失费用 P 1 包括: (1) 一次换刀费用: k (2) 检查费用: 单位更新周期内的检查次数乘以单次检查费用 即 g 1 t 同模型一我们用 g 1 表示 T öT c 的整数部分 (3) 由于车床在正常工作时将会产生 2% 的不合格产品, 如果在检测时正好被检测到, 将误认为有故障而停机, 造成的误停机损失总费用等于误停机的次数乘以一次误停机的损 失. 误检测而停机的次数= 总的检测次数×在正常情况下不合格产品所占总产品的百分含 量, 即: 2% g 1= g 1 50 所以, 误检测而停机造成的损失费用为: g 1 50×1500= 30g 1 (4) 在工序正常运行中产生的不合格零件的损失费用= 单位换刀间隔 T 内产生的不合 格零件总数 T ×2% 与单个不合格零件的损失 f 的乘积, 即 T f 2% = T f 50 合计(1)、(2)、(3)、(4) 各项的费用, 即为换刀前未出现故障的更新过程的单位损耗费用 P 1: P 1 = k + g 1 t + 30g 1 + T f 50 所以换刀前未出现故障的情况下的损失费用U 1 合计为: 1 期 戚正君等: 自动化车床最优刀具检测更换模型 12 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved