零件的参数设计 孙连山洪献曹奕剑 (上海交通大学,上海200030) 指导教师周钢 编者按本文的建模思路很有条理,模型简洁、正确,并对结果的敏感性作了详尽的分析 在算法上也作了探讨,有一定创造 摘要模型是研究产品各零件参数对产品某一性能影响的连续模型,以生产产品总费 用最小为最终目的主要用非线性规划化的思想建立因为零件参数为随机变量,所以建模时要 用概率论的方法给出非线性规划化问题目标函数模型形式简洁因零件加工精度的限制,实际 参数标定值的选取是离散的,我们可充分利用计算机的数值计算能力用各种方法搜索最优值 其中虎克一吉福斯直接搜索法效果最好 、问题重述(略 二、合理的假设 根据零件设计工艺中的一些具体要求,并为达到简化问题的目的,除问题中已给出的假 设外,我们进一步做以下假设: 1.假设组成产品的各个零件在生产过程中互不影响,而且这些零件可以无困难地组装 成一件产品即若视各零件的参数为随机变量,则它们相互独立 2.假设问题中的经验公式在给定的零件参数变化范围之中是有效的 3.在大批量生产当中,假设整批零件都处在同一等级本题中可视1000个零件都是A 等、B等或C等 4.设得到的产品分三个等级:正品、次品、废品.各等级产品性能参数的目标值分别为: 正品:y∈(y0-0.1,y+0.1)次品;y∈[yo-0.3,y0-0.1)U[y0+0.1,yo+0.3]l;废 品:y∈1y11y-y1≥0.31 并设生产过程中没有工艺失误造成产品的损坏 5.由于制造工艺技术上的限制,标定值只能以某种确定的间隔来选取例如本问题中, 则由于精度的关系,我们可以选取的最小步长为0.001 三、符号约定 粒子分离器某性能参数; y的目标值(y=1.50); y的计算值; X=(x1,…,x7)7其中x(i=1,…,7)为7个零件参数; cmin.ti x的取值下限 rmax I x1的取值上限
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 F(X): y关于X的经验公式; 参数x的标定值;(i=1,…,7) 参数x1的容差; 参数y的变化量; 容差关于标定值u1的相对系数; 即△x=ru;(i=1,…,7); x;的方差(i=1,…,7) 的方差 C(X): 产品的成本函数(单位:元) N(u,a2) 表示以p为均值,2为方差的正态分布; f(y) y的分布密度函数; 产品质量损失函数(单位/元); 产品的总成本(单位/元); 产品质量总损失(单位/元); N 产品数量(单位/个); C 零件容差等级分类标准值j=1,…,m 四、问题分析 本问题是一个有条件约束的非线性规划问题 问题的约束条件由零件参数(包括标定值和容差)变化范围确定.参数标定值的有效取 值范围构成问题解的可行域我们的目标是确定零件参数的可行值,使得我们的产品总费用 尽可能低 问题的目标函数就是总费用函数总费用由产品参数偏离目标值引起的质量损失费用 和产品的成本费用两部分组成.由于零件参数为随机变量,具有不确定性,我们考虑采用概 率论方法来生成目标函数对于值在可行域内的参数变量,利用它们的概率分布通过经验公 式得出产品参数的概率分布,从而可以得出产品的质量损失费用函数W(X),而对应参数 向量X存在一个成本费用函数C(X).于是得出我们的产品总费用函数表示W(X)+ C(X).我们的目标就是确定参数向量X的值以及各种零件的等级,使目标函数W(X)+ C(X)达到最小 本问题的求解过程实际上是一种优解搜索过程,由于参数的标定值容许范围是一个连 续域,穷举法显然是不可行的,而各种传统的优解搜索方法都只能得到局部最优解.既然得」 到全局最优解有困难,从方法的可行性和有效性方面考虑,我们考虑采用混合搜索方法,利 用计算机强大的计算能力,由点到面,从多个局部最优解中选取最优的作为近似最优解.具 体算法及其实现将在第六小节中详细讨论 五、原理和建模 因原问题是一个非线性规划问题,我们可设目标函数为g(X),X=(x1,…,xn),则 般模型可以写成如下形式
零件的参数设计 (X) min T;≤41≤ rr max a(1) =a,i=1,…,n,j=1,…,m 在本问题中,目标函数受y偏移y造成的损失W(X)和C(X)选取零件所需成本两方面的 影响则有g(X)=W(X)+C(X).下面分别求出W(X)和C(X)就可得到本问题的数学 模型 1.求成本消耗函数C(X) C(X)=N∑C 2.求目标y值偏离y造成的损耗W(X)因为零件参数是随机变量,u;是其标定值,即 =E是x的数学期望a是其均方差当进行大批量生产时,根据概率论中的大数定律 就有服从正态分布即△x=x;-u1服从期望为0、方差为G2的正态分布记为△x; N(H,a2).又容差通常规定为均方差的3倍,则有31=ar,即G1=w3.由y=F(X 得 △ △x;·Fx 其中对于一组给定的标定值(u1,…,u),F是确定的数值,记为F,由概率论中相关的结 论就有△yN(,一)从面由有服从期望为y=y+△,方差为立所记 的正态分布.则其密度函数为 f(y) 则由假设y为正品的概率为 (y)d3 y为次品的概率为 p2 f(y)d f(y)d y为废品的概率为 f(y)dy f(y)dy 则总损失为 具 W(X)=N(10002+90003) (5) 和上面(1).2)(5)的结论可得到数学模型如下 minN∑C+N(000900 3.. a min ti≤41≤ r max (6) 1,…,3
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 六、模型的计算机解法及框图 对该非线性规划问题,一般只能通过计算机编程,采用可行值比较求解,我们采用的搜 索法中主要的一个单步搜索的步骤如下 首先,对当前的X计算其目标函数值然后,对其中的当前搜索的分量加大一个步长 如果此时新的在允许的变化范围内,同时其目标值优于前值,则沿这个方向(即加大方向) 直往前找,直到x1越界,或者找到一个x1值,使得目标值在该点不优,此时退回一步得到 x;如果原来的x增加步长后已经超过了允许范围,或者新的目标值并不比旧的优秀,则 同样的沿减小方向搜索,类似的获得x:这个x所对应的X“就是在其他分量不变的情况 下,目标函数沿x方向上的一个局部最优解 这样的单步搜索步骤对每个分量都适用因此可以循环的对每个x1依次进行搜索,直 到目标值逐渐变优.由于程序是离散的有穷取点,根据题意也应存在一个全局最优值,则程 序应在有限步内结束 给定搜索初值,对于零件等级的各种选取排列方法,依次取得在该排列下的局部最优 解,经比较即得在该搜索初值下的局部最优解,给定更多的初值,则能得到更接近全局最优 解的解,在程序设计中采用了几种改进方法:其一是采用两倍或更多倍最小步长(即能达到 精度要求的最大步长)搜索,获得该步长下的局部最优解X.再修改程序,在X附近以最 小步长或缩短的步长进行搜索,这样可能获得一个更优的解其二是当获得一个局部最优解 时,把不可能的解域删除,如x4取A等的情况,这样可以减少循环次数.其三建立在对 F(X)的值的分析上注意到F(X)不能与y有太大偏差诸如F(X)不能大于ya+0.1 否则至少有一半的产品是次品,单产品损失就超过100000过某些 局部最优值 实际上考察这些局部最优值,可发现其对应F(X)值都在y0±0.3之间因此在搜索前 先检验F(X)值,对超过这个范围的初值不进行搜索,这样能减少最耗时间的搜索步骤 该模型的计算机解法中还需要几个对F(X)求偏导数后的函数,这个可以采用离散的 方法解决实际中为了保证偏导函数的精度,我们使用 Mathematica数学软件包计算出了这 几个偏导函数的形式,将其换为C语言认可的形式,直接使用C语函数求得精度较高的 值 当给定等级方案及初值X时的搜索程序框图(略) 七、结果分析 (一)参数分析 求解模型所得的最优设计方案,主要显示了各参数的综合效果.为了了解各参数对最 优设计方案的影响,以便于在以后的设计中控制这些参数的调整范围因此有必要将各参数 对优化设计方案的影响进行具体分析 为了研究某个参数对结果的影响程度,以最优值点为基础,先暂时固定其余的参数,有 规律地改变该参数变量值,观察其偏离最优值变化对目标函数的影响.下面给出了目标函数 在最优解附近对七个零件参数的敏感程度曲线图(其中系列i对应零件参数x;)
零件的参数设计三 600000 系列 50000 系列4 350000 300000 250000 优解对零件参数的敏感性曲线图 根据曲线与零件参数的对应关系,从上图可以看出,参数x1在最优解附近对目标函数 影响最大,即目标函数最优点附近对零件参数x1的敏感度大,相比之下,对零件参数x1, x6,x7的敏感度较小,也就是说,在最优点附近改变单零件参数x4或x6或x7的标定值,不 会引起目标值即总费用太大变化,而对于参数x来说,则是随标定值减少方向敏感而相反 方向几乎没有引起目标值的变化,总之目标值对各个零件参数,在最优点附近的敏感性综合 如下 x1敏感性高;x2:左侧敏感性次高,右侧敏感性低;x3左侧不敏感,右侧敏感性低;x4 不敏感 xs:左侧敏感性次高,右侧敏感性低;x6:不敏感;x7:不敏感 有了以上参数分析的结果,便可在设计实践中指导控制参数例如对敏感性高的参数 应尽量保证它在最优值附近;而对那些不敏感的参数可以放宽要求,必要时可作适当调整 (二)误差分析 零件参数的取值误差均会引起计算结果的误差在以上参数分析中我们讨论了各个参 数在最优点附近对目标函数的影响,由于关系式 于x=M1+G,△r三,=1,… 固定r,则x1与u;是线性关系,于是从以上分析结果可以窥得标定值误差对计算结果的影 响结合误差理论,根据多变量误差传递公式,参数y的标准误差为 =2(础 再由y的计算值y,可得它的百分误差为:×100% 在最优点时有结果 a=0.071864,y=1.49994×100%4.79% 又由建模部分有如下关系式1=r,对于固定的一组标定值,标准误差a与某个相对系数 r;的关系是 √D+Lr