第29卷第l期 数学的实践与认识 Vol. 29 No. I 1999年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Jan. 19 99 数学建模竞赛 1998年全国大学生数学建模竞赛 姜启源 (清华大学应用数学系,北京10 由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的“1998年全国大学生数学建模竞赛”于 1998年9月22日至24日举行.来自26个省(市、自治区),400所院校的2103个队参加了这次 竞赛 竞赛答卷首先在24个赛区进行初评,评出各赛区的获奖者.然后各赛区按一定比例将优秀答卷 送全国组委会,全国组委会聘请专家从273份答卷中评出全国一等奖79名,二等奖153名,占参赛 队11%,12月11日在上海举行了颁奖仪式 全国大学生数学建模竞赛是1992年开始由中国工业与应用数学学会举办的.国家教委对这项活 动十分重枧,决定自1994年开始由教委高教司和中国工业与应用数学学会共同主办,每年一次.参赛 的院校平均以30%的速度递增 这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题,不要求预 先掌握深入的专门知识,而具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力.今午的A题由浙江大学陈叔平 提供,B题由上海海运学院丁颂康提供.为了更广泛、有效地收集适合这项竞赛的题目和素材,再次 向全社会诚征赛题,联系地址:北京市清华大学应用数学系,联系人:郝秀荣,邮编:100084 为了与广大同学进行交流,并对今后的竞赛予以适当引导,全国评阅委员会选择了1篇优秀答 卷发表,并请命题者和评阅者撰文讲评 这里发表的论文都是学生们在三天内写出的,为了保持原貌只作了文字上的个别修正和繁琐处的 删节,文章不可避免地存在着相当多的不妥之处,请读者谅解. 下面是本次竞赛的题目和获奖名单 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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数学的实践与认识 29卷 1998年全国大学生数学建模竞賽题目 A题投资的收益和风险 场上有n种资产(如股票、债券、…)S;(=1,…,n)供投资者选择,某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个吋期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估,估算出在 这一时期内购买S的平均收益率为n,并预测出购买S;的风险损失率为q,考虑到投资越分散,总 的风险越小,公司确定,当用这笔资金购买若干种资产吋,总体风险可用所投资的S;中最大的一个 风险来度量 购买Si要付交易费,费率为p,并且当购买额不超过给定值v时,交易费按购买t;计算(不 买当然无须付费).另外,假定同期银行存款利率是o,且既无交易费又无风险.(o=5%) 1)已知n=4时的相关数据如下 s,r(%)[q(%),%)[(元) 试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M.有选择地购买若干种资产或存银行生息,使 净收益尽可能大,而总体风险尽可能小 2)试就一般情况对以上问题进行讨论,并利用以下数据进行计算 r(%)q(%)P:(%)x(元) l8.5 3,4 33.4 53684029 59.45345328 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1998年全国大学生数学建模竞赛 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡(镇)、村公路网示意图,公路边的数字为该路段的公里数 今年夏天该县遭受水灾,为考察灾情、组织自救.县领导决定带领有关部门负责人到全县各乡 (镇)、村巡枧。巡视路线指从县政府所在地出发,走遍各乡(镇)、村,又回到县政府所在地的路线 若分三组(路)巡视,试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线 假定巡视人员在各乡(镇)停留吋间T=2小时,在各村停留时间t=1小时,汽车行驶速 度V=:5公里/小时.要在21小时内完成巡视,至少应分几组;给出这种分组下你认为最佳的巡 视路线 3.在上述关于T,t和V的假定下,如果巡视人员足够多,完成巡视的最短时间是多少;给出在 这种最短时间完成巡视的要求下,你认为最佳的巡视路线 4.若巡视组数已定(比如三组),要求尽快完成巡视,讨论T(和V改变对最佳巡视路线的影 日例 ★县政府所在 村1235 邻公县 o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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第29卷第1期 数学的实践与认识 Vol. 29 No. 1999年1月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 投资组合与模糊规划模型 王正方赵文明倪德娟 指导教师:数学建模教练组 (杭州电子工业学院,杭州310027) 编者按本文能针对问题的要求通过分析,建立正确的数学模型,并用偏好系数加权法把双目标优化问 题,化为单目标优化问题,计算得到正确的结果。作者还用模糊线性规划的方法来求解,进行比较.此 外本文还分析讨论了头资额相对小的情形 摘要本文讨论了投资的风险与收益的问题.首先我们给出了一个比较完整的模型,然后,考虑投资 数额相当大时的一个近似处理模型,并分别用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解,接下来 我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况,引入了绝对收益率进行了较为有 效的解决 问题的提出(■ 二、基本假设(略) 三、符号说明 M:投资者拥有的全部资金;;:供投资者选择的资产 资产s;的平均收益率; :购买资产s;要付交易费费率; :购买资产s的风险损失率;T0:同期银行利率; :投资于资金的比例(其余符号在文中陆续引出) 四、问题的分析和模型的建立 设银行存款也是等价于市场上供投资者选择的资产之一存银行记为Sa,而它相应的风险损失率 φ和交易费p均为0,经以上变换,存银行生息与投资市场上的资产可以统一处理 设投资于第i种资产所付交易费为A(i=0, 4 0,(;=0) ∫(r;)= 上式中,如不投资于S,则t;=0,可得A=0,如投资,则在Mt;与u1两者中取大的一个,然 后再乘以相应的交易费率即为所付的交易费,这完全符合了实际要求 投资总额M可分为两部分:一部分用来付交易费共为∑A另一部分则可用来购买各种资产 共为∑A;,显然有∑A+∑M=M而投资M相应的净收益R=∑rM-∑A !=O i=U o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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1期 王正方等:投资组合与模糊规划模型 ∑(n+1)Mm2-M.总体风险大小为('=mx(q;tr;.M)该式体现出了投资越分散,风险值越 小,且用所投资的s中最大的一个风险来度量总体风险 经以上分析,可建立如下双目标规划模型 mxR=∑+1M2-M.mC=楼(xMm) r;>0 其中4=p1xmx(M,"xf(e),f(e)={0(m,=0) 1,(t;>0) 五、模型的求解 题目给出的是一笔相当大数额的资金M,而在M相当大时,如对S有投资,可近似认为 Mt1均大于相应的m;于是模型的约束条件简化为 于是原模型的求解等价为 R=M((+1);-1) 该式中,第二个目标为非线性的,这为求解带来了很大的麻烦,我们设法把此非线性目标转化为线性, 于是又得到以下模型 ir=M>(r;+1)l;-1 in(=M×A 运用偏好系数加权法,将模型中的两个目标分别赋权重合并.设1-1和分别表示投资者赋 于净收益和总体投资风险的权重数以上双日标规划就变为如下的单目标规划 minn=(1-1)x n+1)e; o1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
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