自动化车床最优刀具检测更换模型 戚正君任毅司勇 (大连理工大学,大连116024) 指导教师教师组 编者按本文对问题一给出了正确的模型和结果,对问题二也进行了详细的分析,给出了 基本正确的结果,这在所有提交的论文中是较少见的,本文缺点是没有考虑5%的其它故障问 题三的讨论也不充分 摘要本文通过对自动化车床100次刀具故障的记录进行数理统计分析,研究了自动化 车床连续加工单一零件时刀具的检测及更换模型.首先利用概率大样本场合的D检验方法证 明了刀具的故障发生规律服从正态分布1,继面求出系统工序的寿命分布函数2,列出以合格 零件单位期望损失为目标,关于检测间隔和刀具定期更换间隔为变量的多目标函数方程,最后 利用计算机进行列举比较求解,从而得出取得最大经济效益的系统工序的最优检测间隔以及最 优刀具更换策略.由于刀具的故障发生服从正态分布,我们对模型进行了改进,采取有规律的 不等间隔的检查方式,结果取得了相对于等检查间隔的更优解 本文利用算法较好地解决了问题,得到了问题的优化解对于问题1解得换刀间隔和检查 间隔分别为369和18,单位合格零件损失4.615元,采用不等间隔的损失为4405元;对于问题 2,由于情况复杂,解得换刀间隔和检查间隔分别为306和28,单位合格零件损失9268元,采用 不等间隔的损失为9.047元,从而验证了本文提出的不等间隔检查方式的更优性 1问题的提出(略) , 2基本假设 (1)假设在生产任一零件时出现故障的机会均相同 (2)假设无论95%的刀具损坏故障还是5%的其它故障,发生故障并使恢复正常的平 均费用均为3000元次, (3)假设问题2中工序正常时而误认为有故障停机产生的损失费用(1500元/次)不包 括刀具费用,即发现检查有误时不进行换刀 (4)假设发现故障和停机维修所用的时间可忽略不计. (5)假设生产任一零件所需时间相同 (6)假设检查时不停止生产,只在检查出不合格零件时才停止生产进行维修 (7)假设提供的刀具故障记录数据是独立同分布的 (8)假设5%的其它故障不予考虑 3符号说明 2限年合 检查零件的单位时间间隔 定期换刀的单位时间间隔 T(C)以检测时间间隔为Tc时,系统工序合格零件的单位期望损失
412 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 以经济损失最小为目标的最优检查的时间间隔 T以经济损失最小为目标的最优的换刀间隔,位 T(C)在Tc‘和T“的情况下,系统工序合格零件的最小单位期望损失 f(x)系统的失效概率密度, F(x)累计失效概率,亦即寿命分布函数、 f故障时产出的零件损失费用200元/件, 检查的费用10元/次 d发现故障进行调节使恢复正常的平均费用3000元/次(包括刀具费) k未发现故障时更换一把新刀具的费用1000元次,,海五本基 刀具平均寿命 不与长三 1样本标准差 一以 4模型的建立与求解 4,1建立模型前的数据处理 关,日长天单 量出 1.正态性检验联 首先根据大样本场合(n>50)的D检验验证刀具寿命记录的概率分布的方式 2)2y=(D=0.2820979)√n 0.029985985于 正态分布的拒绝域为{Y≤Y2或Y≥Y1-。2}取a=0.05由于n=100,则拒绝域为 1Y≤-2.54或Y≥1.31 经计算有D=0.2782,Y=-1.2933 由于样本未落入拒绝域,故在a=0.05时可认为刀具故障记录满足正态分布 2.概率密度函数的求解(1) 于是失效概率密度函数为:f()=(4;02,x)=1=(=( 00E世 不其中=1∑代用素平了中同 (x=x)2润实( 数据统计得x=600a=196.6291695 需一( 则累积失效概率分布函数(寿命分布函数)为 中不射(0 为具影是( F(t)=F(t;2,x)=。(x)dx基的 4.2模型一 我们首先建立以合格零件的单位期望损失为目标函数的数学模型 系统工序的期望总损失Ua 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数 4.2.1首先求系统工序的期望总损失U,同思(
自动化车床最优刀具检测更换模型 413 假设自动化车床在连续运行中将发生N次更新过程(每次换刀或者维修换刀为一次更 新过程),即包括到固定换刀间隔才换刀和发生故障后立即维修换刀两类情况 这N次更新刀具的过程又可分为两种情况: 1.换刀间隔T前尚未出现故障.发生这种情况时的更新间隔均为T,出现的次数等于 刀具更新的总次数乘以以T为更新间隔情况下换刀前仍未出现故障的概率,即N[1 F(T)],因此定期换刀前未出现故障的情况下的总损失U1等于这种情况下的刀具更新次 数N1-F(T)乘以单位更新过程的损失费用P1×U1=N[1-F(T)P1 2.换刀间隔T前就出现故障,这时在故障发生后进行检查并进行维修换刀,从而完成 了一个更新过程,这种情况下总的发生次数等于总的更换次数乘以系统中发生这种情况的 概率,即N·F(T),因此定期换刀前出现故障的情况下的总损失U2等于这种情况下的刀 具更新次数N·F(T)乘以单位更新过程的损失费用P2U2=N·F(T)P2 而U=U1+U2 注其中F(T)为以T为更新周期的情况下工序出现故障的概率,即为前面的数据处 理2中的累计失效概率分布函数,F(1)=(r(x)d,当=T情况下F(T)的结果 下面我们将通过对一个换刀间隔T的研究来求P1和P2 1.求到换刀间隔T尚未出现故障时一次更新所消耗费用P1: (1)检查费用:检查费用等于检查的次数乘以单次检查所需的费用,即g1t 注其中g1表示一次换刀前未出现故障的过程的检查次数,等于固定换刀间隔T除 以检查周期Tc所得的整数部分 (2)换刀费用:k (3)不合格零件损失费用:0 所以P1=g1t+k+0 于是,在换刀前未出现故障的情况下总的损失费用U1为:一次换刀周期内的损失乘以 这种情况可能发生的总的更新次数,即 U1=N[1-F(T)][g1t+K+0 2.求换刀时已出现故障时一次更新过程所消耗费用P2 这种更新过程如图1所示,即在定期换刀间隔T内发生故障,则在故障发生后的下 次检查时及时发现并维修换刀,从而完成一个更新过程.一次更新过程的费用包括 损失零件数 图1 (1)发生故障时的维修换刀费用:d (2)故障维修前所有的损失费用:由于故障发生的随机性,因此可以发生在T内的任 阿位置.因此这部分的损失费用等于对于周期T内任意点x处发生故障所造成的损失与
全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 在x处可能发生故障的概率的乘积进行积分的结果即wx 其中(x)表示在一个换刀周期T内任意的x处发生故障概率 任意位置发生故障的损失费W:=检查费用+零件损失费 a.检查费用等于检查次数乘以单次检查费用,即[g2+1]t(g2为发生故障x前的检查 次数,等于x/Tc所得的整数部分) b.零件损失费用等于从发生故障到维修检查之间产生的不合格零件数乘以单个零件 的损失费用,即[Tc-H]f 注H为发生故障的检查间隔内产生的合格零件数,即发生故障前的所有合格零件数 除以检查间隔所得的余数 所以 P I[82+1]t+[Tc-HIfl dr+ d 于是得到在换刀前已出现故障的情况下的损失总费用U2为 U2=N·F(T) 1k2+1+H(号为+d 因此工序总的期望损失为Ua=U1+U2 系统工序产生的合格零件总数为:换刀前没发生故障情况产生的合格零件总数加上换 刀前发生故障情况下产生的合格零件总数,即 N[1-F(T)]T+N·F(T)x 系统工序的期望总损失U 系统工序合格零件的单位期望损失T(C)=系统工序产生的合格零件总数 U1+U2 N1F(T)T1+N,F(T)∫axf(x),(U1,U2见上文 上式中N可以约去,式子变成了以T,Tc为变量,T(c)为目标函数的方程,为使 (c)最小,我们利用计算机进行穷举比较法求解.首先选取T=50为步长进行求解比较, 得T=400=16时出现最优解;然后在T∈(350.450)之间逐一进行求解比较,从而 到模型的优化解如下 T(C)=4.615 T=369 Tc 4.3对模型一的进一步改进 由于故障记录满足正态分布,因此在等检查间隔内产生的不合格零件数并不相等,即 障发生在各间距内的概率并不相等,也就是说这样便不符合在生产任一零件时出现故障 机会均相等的假设.为了使在任意检查区间内故障发生的概率积累均相同,我们根据故 记录的正态分布规律,开始时工序故障发生的概率小,到工序运行中期达到最大,然后再 变小的变化规律,如图采用不等间隔的检查方式,即检查间隔由大一小一大的方式进行
自动化车床最优刀具检测更换模型 5 查,从而相对于等间隔检查更加合理.如图2所示 f(r) 图2 小西 由图2已知单位检查间隔内产生的不合格零件的累计失效概率密度用面积area表示 各块面积大小相等,即在各单位检查间隔内产生不合格零件的概率积累均相同,由此可以确 定检查间隔Tc具体的变化规律.设在一个换刀间隔内检测间隔次数为g1(T),图2下半部 分中的纵坐标累积失效概率即为图2上半部分中的面积are 因此 g1(T)=F(T) div area(div表示整除 (1) 设在T的周期内任一点X处发生故障,设在故障x之前的检测次数为g2(x) 则 g2(x)=[F(a-1) div area]+1 (2) 于是得到损失零件数H(x)=Fg2(x) x area]-x(H(x)<T-x) 如果H(x)≥T-x时则损失零件数为T-x 我们将改进后的(1)、(2)、(3)的结果应用于模型一中,得到了模型一的更优解和更好的效益 T(C)=4.405 T=369 area=0.006 改进后的模型得到的更优解较改进前期望损失的最小值降低了5%,对于不等间隔检 查,其检查间隔Tc(n)的计算公式为 Te(n)=F-[area x n]-F-I[area(n-1)] Tc(n)的计算结果如下表所示 检查次数检查间隔检查零件号检查次数 检查间隔 检查零件号 106 156 12 312 31 5的1923015 99787767 336 343 260 350