数学中国ht:!/ vww. madio. net 第十四章大地污染问题 叶其孝 北京理工大学应用数学系 提要 本章介绍了1999年美国大学生数学建模竞赛(MCM-1999) 的C趣的优秀论文。评阅人的评述和我们的评注、主要内容: 厄勒姆学院队和浙江大学队的优秀论文;评阅人和命题人的评 述;我们的注记(包括对可供参考的其他优秀论文的简要评注) §14.1MCM1999C题大地污染 「注]MM1999的一个新的特点是增加了第三题(C题):一个 与数学、化学、环境科学和环境工程有关的跨学科的实际间题 参赛队可以从网上得到一个实际的污染问题的数据.参赛C题 的队要单独报名,一个学校可以有两个队报名参赛C题,这样 一来每个学校至多可以报名6个队参加MCM199.实际上,C 题的另一个名称是ICM= Interdisciplinary Contest in Modeling 背最 若干实践中重要但理论上困难的数学问题与污染的评估有 关.这种问题之一就是根据只是在被怀疑为已污染地区的周图而 不必直接在该地区中,测得的很少的测量数据来导出不易进人的 地下的滲漏污染物的位置和数量,以及污染源的精确估计 例子 数据集可通过htp://www.comap.com/mcm 303
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数学中国htp:/www.madio.net ta.xis找到 该数据集(一种超常文件( an excel file),它能卸载到大多 数电子数据表( spreadsheets))展示了从1990年到1997年在10 个监测井处地下水中污染物的测量数据.单位是微克/升(g/1) 8个测井的位置和高度是已知的并在下表给出.头两个数是在 张地图的直角格点上井的位置的坐标.第三个数是井中水面高出 平均海平面的高度(以英尺计) 井号 c坐标(英尺计)y坐标(英尺计)高度(英尺计) MW-1 4l87,5 6375.0 1482.23 MW-3 9062,5 4375.0 1387,92 MW-7 7625,0 5812.5 1400.19 MW-9 9125.0 4000.0 1384.53 MW-11 62.5 5187.5 l394.26 MW-12 9062.5 4562.5 1388,94 MW-13 9062.5 5000.0 1394.25 MW-14 4750.0 2562.5 1412.00 效据集中另两个井(MW-27和MW-33)的位置和高度不知 道.在该数据集中你还会看到数字后面的字母T(Top),M (Midl),或B( Bottom),它们分别表示测量是在井的含水层 的顶部、中部和底部进行的.因此,MW7B和MW7M是来自 同一个井,但分别是底部和中部的测量.此外,其他的测量数据 表明水有流向该区域中的MW-9号井的趋势 问题1试建立一个数学模型来决定在由该数据集表示的区域和 时间里是杏有任何新的污染物产生,若有,试识别新的 污染物并估计它们的污染源的位置和时间 问囊2在收集任何数据之前,会提出下列问题:是否报议中的 数据类型和模型能给出关于污染物所在位置和数量的我 304
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数学中国htp//www.madio.net 们想要的估计.液态的化学物质会从埋置在均匀的土壤 中的存储设备中,许多类似的存储罐中的一个存储罐中 渗漏.因为若要在许多大罐的下面去探测的费用会过分 昂贵而且危险,所以只能在存储设备的边缘地区附近或 在看来是更合意的地区的表面进行测量.试决定只是在 整个存储罐的边界的外面或表面,进行什么类型的测量 以及测量数目可以用于一个数学模型以决定渗漏是否发 生,何时发生,何处(从哪个罐)发生,以及渗漏多少液 体 §14.2厄勒姆学院队的优秀论文 一污染的侦测:经由水文化学 物质的分析对地下溢出的建模( 142.I摘要 来自一个被怀疑有地下污染的地区的10个监测井的数据, 用来评估释放到大地中的污染物的源(的位置)、时间和(污染物) 总量.基于对所记录的随时间变化的化学物质的浓度的分类来决 定哪些是在数据收集期间积极活动的污染物,并说明由于不完全 的数据集所造成的不相符之处.在这段时间内所发现的积极活动 的化学物质同时改变浓度,说明了每种化学物质是与两处出有 关的一个流体渗出中的(诊出物的)组成成分.把所选的那些积极 活动的化学物质结合起来形成了一种复合指示物,它提供了在每 个监测井处、每个日期该化学物质的浓度值.该复合指示物揭示 有两次溢出发生,第一次在1991年7月到1993年3月间,第二 次在1995年1月到1997年4月间,可能还会继续到数据收集期 的最后时刻为止,渗出流体的主要化学成分得到了识别 采用 Delaunay的三角化方法,每个测量日期监测井之间复 合指示物的浓度梯度.(我们的)结渠指出在该区域内总的地下
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数学中国http://www.madio.net 水流动指向第9号井,基于浓度梯度随时间的变化,污染物的时 间和位置可以近似表出.估计溢出源自点(800,4500)的周图地 区.在初始三角化后, Vornoi多腔形被用来构成表示溢出的总 体积和位置(污染区域的体积)的一个凸包.多腔形包括较小的 段,每一个都是特定的均匀浓度.程序 Geomview是用来生成这 些多腔形和凸包的.在每个浓度值处都可以计算体积,如果起初 的受污染液体中复合指示物的浓度已知的话,最终可求得受污染 液体的总体积 最后,考察了各种测试和内插方法并融合到评估地下污染的 方法中去.每种方法都是通过它在试题第二问的方案的应用中得 到讨论,并利用数据集中给出的信息来测试方法的有效性 14.2.2引寶 给定了8个地下水监测井的位量和高度(另两个井的位置不 知道),在1990年~1997年期间在每个井处定期地进行了完全 的化学分析,还分析了地下水流的总的指向,有可能精确地估计 出源的位置,污染的来源以及渗人地下的污染物的总体积.在被 怀疑为有渗漏的建筑的均匀土质上的化学药品存储设施的情形, 由于费用和安全性的原因,繁止在被怀蜒有溢出的地区直接收集 数据.把来自布置在被怀疑有溢出的地区的外团,而不必布置在 该地区的监测井的数据用于一个数学模型以决定:该地区是否有 渗漏发生,若有,渗漏发生的时间和位置,在数据收集期间渗出 液体的总量 I4.2.3假设 所有的监测井都在地下并穿过一个含水层(或称为蓄水层 是一种能存储和输运大量水的一种地质结构).该含水层有 个畅通无阻的不变的流动流速,流速和土介质的多孔性成 反比.容许自由流体流经其测量仪器,对该地区的化学和地 306
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数学中国htp//www.madio.net 质构成没有影响,并能提供邻近地区的确切情况.这保证了 监测井本身不会污染要评估的地区[ Soliman et al.1997, 32]. 在每个监测井中流体的体积是不变的,而且所有的监测井都 有相同的流体体积.监测井中流体体积相同的假设使得要估 计的污染物与每个监测井中的溶解物的浓度成正比 不同的化学物质可以用不同的速度流经含水层.化学物质具 有不变和特殊的能力在水溶液中移动,这种能力取决于分子 的极性、悉水性以及每种复合物的初始浓度 ·在数据集中发现存在某些化学物质是在地下水中自然出现 的,不会产生污染.在数据集收集期间在监测井中没有呈现 出明显改变的化学物质都可以从数据集中去掉,不于考虑 此外,可以认为某些自然出现在地下水中的化学物质的成分 可以在某个标准水平上浮动 污染物的浓度在其源头最高,当时间和离开其源头的距高增 加时污染物的浓度会减小 所给的数据是不完全的.由于缺少可利用的数据,有些趋势 可能误述或者整个被忽略掉,还有,对所给的值必须予以适 当的评估,使得不至于把不能用的值当作零来处理 ·数据的不一致可能是由于所用的仪器或在研究过程中样本和 分析方法的差异造成的,数据的不一致,特别是出现于测试 过的样本中的同样的数据的差异不能总是解释为环境的变 化 污染( pollution)定义为对有机体有害的污染物,而玷污 ( contamination)指的是比不一定造成伤害的自然出现的物 质浓度更高的浓度[ Blatt1997,76].在本问题中,我们假 定这两个术语指的都是地下区城中人为造成的污染物,而不 管污染物是否对有机体有什么影响
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