第20卷第5期 工程数学学报 Vol 20 No, 5 2003年03月 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Mar,2003 文章编号:1005-3085(2003)05-0001-18 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛 姜启源 (清华大学,北京100084) 由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的2002高教社杯全国大学生数 学建模竞赛,于2002年9月20日至23日举行,来自全国30省(市、自治区)及香港的572所 院校的448队(其中大专组914队)参加了这项通讯比赛,比去年529所院校的3887队又有 较大发展 竞赛答卷首先在26个赛区和联合赛区(内蒙、宁夏、青海、海南和香港组成今年的联合 赛区)进行初评,评出各赛区的获奖者然后各赛区按一定比例将优秀答卷送全国竞赛组委 会,全国组委会聘请专家从中评出本科组全国一等奖118名,二等奖274名,大专组全国 等奖39名,二等奖79名,共510名,占参赛总数的115%。北京化工大学的薛武、杨铭和 倪冉同学组成的参赛队荣获2002高教社杯。 全国大学生数学建模竞赛是1992年开始由中国工业与应用数学学会举办的,教育部 前国家教委)对这项活动十分重视,决定自1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数 学学会共同主办,每年一次,10多年来参赛规模以年均20%左右的速度增长,成为目前我国 高校规模最大的课外科技活动。 这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学领域经过简化的实际问题,不要求预 先掌握深入的专门知识,具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力。竞赛采用开卷形式,三 名学生组成一队,可以使用任何资料、计算机、软件和互联网(但是不允许与队外任何人包括 指导教师讨论),在三天内从两道赛题中选择一题完成一篇论文。竞赛的评比标准是,假设 的合理性、建模的创造性、结果的正确性和表述的清晰程度 今年竞赛的A、C题由复旦大学谭永基和华东理工大学俞文鱿、贺黎明提供,B题由解 放军信息工程大学韩中庚提供,D题由清华大学姜启源提供。为了更广泛有效地收集适合 竞赛的题目及素材,再次向全社会诚征赛题,有意者请与全国竞赛组委会联系:10094北京 清华大学数学科学系郝秀荣,电话及传真(010)62781785。 为了与广大同学进行交流,对今后的竞赛予以适当引导,全国竞赛组委会选择了十几篇 优秀论文在本刊发表,并请命题者和评阅者撰文讲评。 发表的答卷是学生们三天内写出的,为了保持原貌只作了适当的删节和文字上的修正 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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文章不可避免地存在着相当多的不妥之处,请读者谅解。 若希望对竞赛作进一步了解请阅竞赛网址htp:/w. mcm. edu. cn 下面是这次竞赛的题目及获奖名单。 200高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(本科组) 全部题目可以从以下网址之一下载 http://mcm.nease.net A题车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其 开口半径36毫米深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称 地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏,屏与 FA垂直,用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线 A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值(可 取为1个单位),B点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。 请解决下列问题 (1)在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。 (2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性 B题彩票中的数学 近年来“彩票飓风席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前 流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组09号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个 然后从04号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基 本号码(可重复),从04中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数 多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码” abcdef+g"为例说明中奖等级,如表一(X表示未选 中的号码)。 表 中奖 10选6+1(6+1/10 等 基本号码 特别号码 说明 等奖| abcdef 选7中(6+1) 等奖 选7中(6) 奖 选7中(5) 四等奖「 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中(4) 五等奖 abcxXx XbcdXX XXcdex xxxdef 选7中(3) 六等奖 abXXXX Xbc XXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中(2) 乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从0133个号码球中一个一个地 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第5期 00高教社杯全国大学生数学建模竞赛 摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从013个号码中 任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖 等级,不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案,先从0136个号码球中一个一个地摇出6 个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成 一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号 码顺序。这两种方案的中奖等级如表2。 表2 中奖 33选7(7/33) 36选6+1(6+1/36) 等级屡本号码特别号码说明藤本号码特别号码说明 等奖●●●●●●·选7中(7)●●●●●·★「选7中(6+1) 三等奖口●。●。●○★选7中(6+1)●●●●●● 中(6) 三等奖·●●●●●○「选7中(6)●●●●●O★「选7中(5+1) 四等奖●●●。○○★选7中(5+1)●●●●●。选7中(5 五等奖●●●●●○○选7中(5)·●●●○○★|选7中(4+1) 六等奖●●●●○O★选7中(4+1)●●●●O 选7中(4) 七等奖●●●●○○○选7中(4)●●●OO 选7中(3+1) 注●为选中的基本号码;★为选中的特别号码;○为未选中的号码 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若 已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如 表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配, 但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为 [(当期销售总额x总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例 (1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置 以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 (2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。 (3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。 表3 序奖项一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖「七等奖 号方案比例比例「比 6+1/1050% 序 6+1/1060%20 300 序 6+1/1065%15%20%300 按序 6+1/1070%15%15%300 20% 66+1/2960%25% 3065%15% 25 20020 500 50 15 87/3070%10%20% 50 105 978075%10%15%200 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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序奖项一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖 号方象比例比例比例金额|金颏|金颏|金额 75%10% 7/3265%15% 137/3270%10%20% 10 147/3275%10%15% 500 15733 10% 7/34 65%15% 20% 000000000 187/3468%12%20%50 15% 207/3570% 500 217/3575%10%15%100 227/35 80% 10% 200 50 237/35 606050000000 无特别号 246+1/3675%10%15%500 256+1/3680% 10% 10% 67/3670%10%20%500 70% 15% 1500 82%10%8%200 000000 295/6060%20%20% 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组) C题车灯线光源的计算 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面,车灯的对称轴水平地指向正前方,其开 口半径36毫米深度21.6毫米。经过车灯的焦点,在与对称轴相垂直的水平方向,对称地 放置长度为4毫米的线光源线光源均匀分布。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试 屏,屏与FA垂直。 请解决下列问题 1.计算直射光总功率与反射光总功率之比。 2.计算测试屏上直射光的亮区,在有标尺的坐标系中画出其图形。 3.计算测试屏上反射光的亮区,在有标尺的坐标系中画出其图形(只须考虑一次反 射)。 D题赛程安排 你所在的年级有5个班,每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场 比赛.如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程:记5支球 队为A,B,C,D,E,在下表左半部分的右上三角的10个空格中,随手填上1,2,?10,就得 到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,?,第10场C对E.为方便起见将这些数字 沿对角线对称地填入左下三角。 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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第5期 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛 这个赛程的公平性如何呢,不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均 等.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则 不公平 B E 每两场比赛间相隔场次数 1,2,2 5 0, l,1,1 从上面的例子出发讨论以下问题 1)对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。 2)当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少。 3)在达到2)的上限的条件下,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程。 4)除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程 的优劣,并说明3)中给出的赛程达到这些指标的程度 200高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单 高教杜杯获得者:薛武、杨铭和、倪冉(北京化工大学 一等奖118名(排名以学校笔划为序) 序 学校 指导教师 1上海大学 王长春张莺龚张蓉王远弟 教模指导组 3上海交通大学 晴川刘伟峰朱嘉骐数模指导组 4上海交通大学 东岚李典翁洁数模指导组 5上海交通大学 类铭王晓林张世劼数模指导组 大连理工大学 范成涛梁爱丽徐冬 7大连理工大学 周奇徐华王连胜 贺明峰 8大连理工大学 王爽潘秋惠杨昊霖 贺明峰 9大连理工大学 滕达罗立冬李玉星 贺明峰 10山东师范大学 牛丽群徐德华王培明 姜子文 世胜张波李传金 12中国矿业大学 唐中良张忠明刘娟 教练组 13中国矿业大学 夏登俊陈喜伦何启海 教练组 14中国科学技术大学 盂强李宇辉郁婧 俞理 15中南大学 刘志斌苏达贤张泽京 郑洲顺 张夏天高晋芳宋成陈小松 17云南大学 李伟东王善民杨军 胡光华 18天津大学 姚远王丽婷张晓楠 刘则毅 19天津师范大学 马新光周长胤杨玲 杨新华 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co. LId. All rights reserved
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