全国大学生《数学建模》竞赛：1999all.pdf

第30卷第1期数学的实践与认识 Vol 30 No. 1 20001 MATHEMATICS N PRACT CE AND THEORY Jan 2000 数学建模竞赛 99创维杯全国大学生数学建模竞赛姜启源 (清华大学,北京100084) 由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的99创维杯全国大学生数学建模竞赛,于1999年9月21日至24日举行竞赛获得了我国大型企业创维集团的赞助,表明我国有越来越多的企业投身于致力科教兴国、培养优秀人才的伟大事业,必将有力地推动这项竞赛活动更加迅速地发展来自26省(市、自治区)460所院校的2657队参加了竞赛,比去年(400所院校的2103 队)有了很大发展特别指出的是,今年成功地组织了大专组的竞赛,有21省(市、自治区) 的416队参加竞赛答卷首先在25个赛区进行初评,评出各赛区的获奖者然后各赛区按一定比例将优秀答卷送全国组委会,全国组委会聘请专家从中评出全国一等奖97名(其中大专组17 名),二等奖204名(其中大专组34名),大连理工大学的吴廷彬等3名同学荣获99创维杯, 12月14日在北京举行了隆重的颁奖仪式全国大学生数学建模竞赛是1992年开始由中国工业与应用数学学会举办的,教育部 (前国家教委)对这项活动十分重视,决定自1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办,每年一次,8年来参赛规模以年均30%的速度增长这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学领域经过简化加工的实际问题,不要求预先掌握深入的专门知识,具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力今年的A题由北京大学孙山泽提供,B题和D题由郑州大学林诒勋提供,C题由山西理工大学贾晓峰提供为了更广泛、有效地收集适合竞赛的题目和素材,再次衷心地向全社会诚征赛题,有意者请与全国组委会联系:100084北京清华大学数学系郝秀荣,电话及传真(010)62781785 为了与广大同学进行交流,对今后的竞赛予以适当引导,全国评阅委员会选择了10篇优秀答卷在本刊发表,并请命题和评阅者撰文讲评。几位教师的有关论文也同时刊出参赛者的答卷是学生们三天内写出的,为了保持原貌只作了文字上的修正和适当的删节,文章不可避免地存在着相当多的不妥之处,请读者谅解面是本次竞赛的题目和获奖名单 99创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题自动化车床管理一道工序用自动化车床连续加工某种零件,由于刀具损坏等原因该工序会出现故障,其 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Opl/cal Disc Co, Ltd. All rights reserved

第 30 卷第 1 期 2000 年 1 月数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l130 N o11 Jan. 2000 数学建模竞赛 ′99 创维杯全国大学生数学建模竞赛姜启源 (清华大学, 北京 100084) 由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的′99 创维杯全国大学生数学建模竞赛, 于 1999 年 9 月 21 日至 24 日举行. 竞赛获得了我国大型企业创维集团的赞助, 表明我国有越来越多的企业投身于致力科教兴国、培养优秀人才的伟大事业, 必将有力地推动这项竞赛活动更加迅速地发展. 来自 26 省(市、自治区) 460 所院校的 2657 队参加了竞赛, 比去年(400 所院校的 2103 队) 有了很大发展. 特别指出的是, 今年成功地组织了大专组的竞赛, 有 21 省(市、自治区) 的 416 队参加. 竞赛答卷首先在 25 个赛区进行初评, 评出各赛区的获奖者. 然后各赛区按一定比例将优秀答卷送全国组委会, 全国组委会聘请专家从中评出全国一等奖 97 名(其中大专组 17 名) , 二等奖 204 名(其中大专组 34 名) , 大连理工大学的吴廷彬等 3 名同学荣获′99 创维杯, 12 月 14 日在北京举行了隆重的颁奖仪式. 全国大学生数学建模竞赛是 1992 年开始由中国工业与应用数学学会举办的, 教育部 (前国家教委) 对这项活动十分重视, 决定自 1994 年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办, 每年一次, 8 年来参赛规模以年均 30% 的速度增长. 这项竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学领域经过简化加工的实际问题, 不要求预先掌握深入的专门知识, 具有较大的灵活性供参赛者发挥创造能力. 今年的A 题由北京大学孙山泽提供,B 题和D 题由郑州大学林诒勋提供, C 题由山西理工大学贾晓峰提供. 为了更广泛、有效地收集适合竞赛的题目和素材, 再次衷心地向全社会诚征赛题, 有意者请与全国组委会联系: 100084 北京清华大学数学系郝秀荣, 电话及传真(010) 62781785. 为了与广大同学进行交流, 对今后的竞赛予以适当引导, 全国评阅委员会选择了 10 篇优秀答卷在本刊发表, 并请命题和评阅者撰文讲评。几位教师的有关论文也同时刊出. 参赛者的答卷是学生们三天内写出的, 为了保持原貌只作了文字上的修正和适当的删节, 文章不可避免地存在着相当多的不妥之处, 请读者谅解. 下面是本次竞赛的题目和获奖名单. ′99 创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 A 题自动化车床管理一道工序用自动化车床连续加工某种零件, 由于刀具损坏等原因该工序会出现故障, 其 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved

数学的实践与认识 30卷中刀具损坏故障占95%,其它故障仅占5%.工序出现故障是完全随机的,假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障现积累有100次刀具故障记录,故障出现时该刀具完成的零件数如附表现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具已知生产工序的费用参数如下故障时产出的零件损失费用f=200元/件, 进行检查的费用=10元/饮发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/(包括刀具费) 未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/饮次 1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品,正常时产出的零件均为合格品,试对该工序设计效益最好的检查间隔(生产多少零件检查一次)和刀具更换策略 2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品,有2%为不合格品,而工序故障时产出的零件有40%为合格品,60%为不合格品工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为 1500元/饮对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略 3)在2)的情况,可否改进检查方式获得更高的效益附100次刀具故障记录(完成的零件数) 459362 748815 452434982640 742 706593680 653 4877346084281153593844 527 388824 697515 92837 570 512577496468 499 764558378765666763 715 B题钻井布局勘探部门在某地区找矿.初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井,取得了地质资料进入系统勘探时期后,要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位,进行“撒网式”全面钻探由于钻一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合(或相当接近),便可利用旧井的地质资料,不必打这口新井因此,应该尽量利用旧井,少打新井,以节约钻探费用比如钻一口新井的费用为500万元,利用旧井资料的费用为10万元,则利用一口旧井就节约费用490万元设平面上有n个点P4,其坐标为(a,b),P=1,2,…,n,表示已有的n个井位新布置的井位是一个正方形网格的所有结点(所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格结点是指纵线和横线的交叉点)假定每个格子的边长(井位的纵横间距)都是1单位(比如 100米)整个网格是可以在平面上任意移动的若一个已知点P,与某个网格结点的距离 2 21995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved

中刀具损坏故障占 95% , 其它故障仅占 5%. 工序出现故障是完全随机的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同. 工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障. 现积累有 100 次刀具故障记录, 故障出现时该刀具完成的零件数如附表. 现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具. 已知生产工序的费用参数如下: 故障时产出的零件损失费用 f = 200 元ö件; 进行检查的费用 t= 10 元ö次; 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d = 3000 元ö次(包括刀具费); 未发现故障时更换一把新刀具的费用 k= 1000 元ö次. 1) 假定工序故障时产出的零件均为不合格品, 正常时产出的零件均为合格品, 试对该工序设计效益最好的检查间隔(生产多少零件检查一次) 和刀具更换策略. 2) 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品, 有 2% 为不合格品; 而工序故障时产出的零件有 40% 为合格品, 60% 为不合格品. 工序正常而误认有故障仃机产生的损失费用为 1500 元ö次. 对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略. 3) 在 2) 的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益. 附: 100 次刀具故障记录(完成的零件数) 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 B 题钻井布局勘探部门在某地区找矿. 初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井, 取得了地质资料. 进入系统勘探时期后, 要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位, 进行“撒网式”全面钻探. 由于钻一口井的费用很高, 如果新设计的井位与原有井位重合(或相当接近) , 便可利用旧井的地质资料, 不必打这口新井. 因此, 应该尽量利用旧井, 少打新井, 以节约钻探费用. 比如钻一口新井的费用为 500 万元, 利用旧井资料的费用为 10 万元, 则利用一口旧井就节约费用 490 万元. 设平面上有 n 个点 P i, 其坐标为(ai, bi) , i= 1, 2, …, n, 表示已有的 n 个井位. 新布置的井位是一个正方形网格的所有结点(所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格; 结点是指纵线和横线的交叉点). 假定每个格子的边长(井位的纵横间距) 都是 1 单位(比如 100 米). 整个网格是可以在平面上任意移动的. 若一个已知点 P i 与某个网格结点的距离 2 数学的实践与认识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved

不超过给定误差(= 0105 单位) , 则认为 P i 处的旧井资料可以利用, 不必在结点 X i 处打新井. 为进行辅助决策, 勘探部门要求我们研究如下问题: 1) 假定网格的横向和纵向是固定的(比如东西向和南北向) , 并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差绝对值) 及纵向距离(纵坐标之差绝对值) 的最大值. 在平面上平行移动网格N , 使可利用的旧井数尽可能大. 试提供数值计算方法, 并对下面的数值例子用计算机进行计算. 2) 在欧氏距离的误差意义下, 考虑网格的横向和纵向不固定(可以旋转) 的情形, 给出算法及计算结果. 3) 如果有 n 口旧井, 给出判定这些井均可利用的条件和算法(你可以任意选定一种距离). 数值例子 n= 12 个点的坐标如下表所示: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ai 0. 50 1. 41 3. 00 3. 37 3. 40 4. 72 4. 72 5. 43 7. 57 8. 38 8. 98 9. 50 bi 2. 00 3. 50 1. 50 3. 51 5. 50 2. 00 6. 24 4. 10 2. 01 4. 50 3. 41 0. 80 ′99 创维杯全国大学生数学建模竞赛题目(大专组) C 题煤矸石堆积煤矿采煤时, 会产出无用废料——煤矸石. 在平原地区, 煤矿不得不征用土地堆放矸石. 通常矸石的堆积方法是: 架设一段与地面角度约为 Β= 25°的直线形上升轨道(角度过大, 运矸车无法装满) , 用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾倒, 待矸石堆高后, 再借助矸石堆延长轨道, 这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来. 现给出下列数据: 矸石自然堆放安息角(矸石自然堆积稳定后, 其坡面与地面形成的夹角) Α≤55°; 矸石容重(碎矸石单位体积的重量) 约 2 吨ö米3 ; 运矸车所需电费为 0150 元ö度(不变); 运矸车机械效率(只考虑堆积坡道上的运输) 初始值(在地平面上) 约 30% , 坡道每延长 10 米, 效率在原有基础上约下降 2% ; 1 期姜启源: ′99 创维杯全国大学生数学建模竞赛 3 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved

数学的实践与认识 30卷土地征用费现值为8万元/亩,预计地价年涨幅约10%; 银行存贷款利率均为5% 煤矿设计原煤产量为300万吨/; 煤矿设计寿命为20年采矿出矸率(矸石占全部采出的百分比)一般为7%1 另外,为保护耕地,煤矿堆矸土地应比实际占地多征用10% 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费(只计征地费及堆积时运矸车用的电费)为100万元/年,这笔钱是否够用?试制订合理的年度征地计划,并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用 D题钻井布局勘探部门在某地区找矿.初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井,取得了地质资料进入系统勘探时期后,要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位,进行“撒网式”全面钻探由于钻一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合(或相当接近),便可利用旧井的地质资料,不必打这口新井因此,应该尽量利用旧井,少打新井,以节约钻探费用比如钻一口新井的费用为500万元,利用旧井资料的费用为10万元,则利用一口旧井就节约费用490万元设平面上有n个点P4,其坐标为(a,b),P=1,2,…,n,表示已有的n个井位新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点(所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格,结点是指纵线和横线的交叉点)假定每个格子的边长(井位的纵横间距)都是1单位 (比如100米)整个网格是可以在平面上任意移动的若一个已知P,点与某个网格结x 点的距离不超过给定误差E(=0.05单位),则认为P,处的旧井资料可以利用,不必在结点 X处打新井为进行辅助决策,勘探部门要求我们研究如下问题 1)假定网格的横向和纵向是固定的(比如东西向和南北向),并假定距离误差是沿横向和纵向计算的,即要求可利用P点与相应结点x,的横坐标之差(取绝对值)及纵坐标之差 (取绝对值)均不超过∈在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大试提供数值计算方法,并对下面的数值例子用计算机进行计算 2)在问题1)的基础上,考虑网格的横向和纵向不固定(可以旋转)的情形,给出算法及计算结果数值例子n=12个点的坐标如下表所示 a:050141300337340472472543757838898950 00350L 351550200624410201450341080 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved

土地征用费现值为 8 万元ö亩, 预计地价年涨幅约 10% ; 银行存、贷款利率均为 5% ; 煤矿设计原煤产量为 300 万吨ö年; 煤矿设计寿命为 20 年; 采矿出矸率(矸石占全部采出的百分比) 一般为 7%～ 10%. 另外, 为保护耕地, 煤矿堆矸土地应比实际占地多征用 10%. 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费(只计征地费及堆积时运矸车用的电费) 为 100 万元ö年, 这笔钱是否够用?试制订合理的年度征地计划, 并对不同的出矸率预测处理矸石的最低费用. D 题钻井布局勘探部门在某地区找矿. 初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井, 取得了地质资料. 进入系统勘探时期后, 要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位, 进行“撒网式”全面钻探. 由于钻一口井的费用很高, 如果新设计的井位与原有井位重合(或相当接近) , 便可利用旧井的地质资料, 不必打这口新井. 因此, 应该尽量利用旧井, 少打新井, 以节约钻探费用. 比如钻一口新井的费用为 500 万元, 利用旧井资料的费用为 10 万元, 则利用一口旧井就节约费用 490 万元. 设平面上有 n 个点 P i, 其坐标为(ai, bi) , i= 1, 2, …, n, 表示已有的 n 个井位. 新布置的井位是一个正方形网格N 的所有结点(所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格; 结点是指纵线和横线的交叉点). 假定每个格子的边长(井位的纵横间距) 都是 1 单位 (比如 100 米). 整个网格是可以在平面上任意移动的. 若一个已知 P i 点与某个网格结 X i 点的距离不超过给定误差 Ε(= 0105 单位) , 则认为 P i 处的旧井资料可以利用, 不必在结点 X i 处打新井. 为进行辅助决策, 勘探部门要求我们研究如下问题: 1) 假定网格的横向和纵向是固定的(比如东西向和南北向) , 并假定距离误差是沿横向和纵向计算的, 即要求可利用 P i 点与相应结点 X i 的横坐标之差(取绝对值) 及纵坐标之差 (取绝对值) 均不超过 Ε. 在平面上平行移动网格N , 使可利用的旧井数尽可能大. 试提供数值计算方法, 并对下面的数值例子用计算机进行计算. 2) 在问题 1) 的基础上, 考虑网格的横向和纵向不固定(可以旋转) 的情形, 给出算法及计算结果. 数值例子 n= 12 个点的坐标如下表所示: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ai 0. 50 1. 41 3. 00 3. 37 3. 40 4. 72 4. 72 5. 43 7. 57 8. 38 8. 98 9. 50 B i 2. 00 3. 50 1. 50 3. 51 5. 50 2. 00 6. 24 4. 10 2. 01 4. 50 3. 41 0. 80 4 数学的实践与认识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved