数学的实践与认识 30卷 7:刀具更换周期的数学期望(均值) F:故障时产出的零件损失费用F=200元/件 J:进行检查的费用J=10元/饮 D:发现故障进行调节使恢复正常的平均费用D=3000元/次(包括刀具费) K:未发现故障时更换一把新刀具的费用K=1000元/次 M:工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用M=1500元/饮 C(n,m):整个工序在刀具更换周期的总费用的数学期望值 S(n,m):整个工序在刀具更换周期的生产单个零件平均费用的数学期望值 X:表示首次产生刀具故障时已加工的零件数 Xx:表示其它原因引起的首次故障时已加工的零件数 X:首次故障时已加工的零件数即故障间隔 问题分析 自动化车床发生故障时,要及时实施维修,如果检査周期太长,故障不能及时发现,给生 产带来损失检査周期太短,又会增加费用,因为车床出现故障是随机的,问题是如何安排设 备检查方案,使得刀具更换时,每个零件的平均费用最低 对于第1种情况若检査零件为合格的,则工序未出现故障,此时更换刀具称为预备性替 换,若检査零件为不合格的,则工序必已出现故障,此时应立即更换刀具,此称为事后替换 (参见文献[1]) 第2种情况较为复杂,因为仅凭1次检查零件是否合格,不能准确判断工序是否正常, 这时我们可以分情况讨论,如果发现零件不合格,就停机检查工序是否正常,若正常继续生 产,如果不正常就更换刀具,如果到周期结束时即第m次检查后零件仍合格必须换刀具 为解决此问题我们建立了单目标期望值模型 5模型的建立 1刀具故障完成零件个数的数据统计分析 我们使用 MATLAB软件包对100次刀具故障记录数据处理作直方图,用分布拟合检 验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布 假设Ho:X1的概率密度为 f(x1)= 2TTO 由极大似然估计法得 1966292 将x(0~1200)分为12个区间,若H0为真,则x1的概率密度为 f(x1) 2m×1966292 按上式查标准正态分布函数表可得概率P c1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. Al rights reserved
T ϖ: 刀具更换周期的数学期望(均值) F: 故障时产出的零件损失费用 F = 200 元ö件 J : 进行检查的费用J = 10 元ö次 D : 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 D = 3000 元ö次(包括刀具费) K : 未发现故障时更换一把新刀具的费用 K = 1000 元ö次 M : 工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用M = 1500 元ö次 C θ (n,m ): 整个工序在刀具更换周期的总费用的数学期望值 S θ (n,m ): 整个工序在刀具更换周期的生产单个零件平均费用的数学期望值 X 1: 表示首次产生刀具故障时已加工的零件数 X 2: 表示其它原因引起的首次故障时已加工的零件数 X : 首次故障时已加工的零件数即故障间隔 4 问题分析 自动化车床发生故障时, 要及时实施维修, 如果检查周期太长, 故障不能及时发现, 给生 产带来损失; 检查周期太短, 又会增加费用, 因为车床出现故障是随机的, 问题是如何安排设 备检查方案, 使得刀具更换时, 每个零件的平均费用最低. 对于第 1 种情况若检查零件为合格的, 则工序未出现故障, 此时更换刀具称为预备性替 换; 若检查零件为不合格的, 则工序必已出现故障, 此时应立即更换刀具, 此称为事后替换 (参见文献[1 ]). 第 2 种情况较为复杂, 因为仅凭 1 次检查零件是否合格, 不能准确判断工序是否正常, 这时我们可以分情况讨论, 如果发现零件不合格, 就停机检查工序是否正常, 若正常继续生 产, 如果不正常就更换刀具, 如果到周期结束时即第m 次检查后零件仍合格必须换刀具. 为解决此问题我们建立了单目标期望值模型. 5 模型的建立 1. 刀具故障完成零件个数的数据统计分析. 我们使用M A TLAB 软件包对 100 次刀具故障记录数据处理作直方图, 用分布拟合检 验法可以证明刀具故障数据近似服从正态分布. 假设H 0∶X 1 的概率密度为 f (x 1) = 1 2ΠΡ e - (x - Λ) 2 2Ρ 2 - ∞ < x < + ∞ 由极大似然估计法得 Λ δ = 600, Ρ δ = 196. 6292, 将X (0～ 1200) 分为 12 个区间, 若 H 0 为真, 则X 1 的概率密度为 f (x 1) = 1 2Π× 196. 6292 e - (x - 600) 2 2×196. 62922 按上式查标准正态分布函数表可得概率 P i 62 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
期 于杰等:自动化车床管理 -nP)2P,=40 因为 s(12-2-1)=05(9)=16919>409 所以接受假设在显著性水平c=0.05下按受总体服从正态分布(参见文献[2]) 我们已假设其它随机原因对于任一零件出现故障的机会相同,且相互独立,所以可假设 服从几何分布,其分布函数是 2)= P(1-p)“,(0<p<1),E(X2) 由题意知,刀具损坏故障占工序故障95%,而其它故障占5%,近似 E(x 959 求得 P=000087719 所以总故障间隔X=MN(X,X2),X分布函数 Fx(x)=1-(1-Fx1(x))(1-Fx2(x) P x二 (1-p)(参见文献b 2.模型1 对于第一种情况,设每生产n个零件检查1次,检查m次换刀具,若第m次检查零件仍 合格,则前面生产的零件全部为合格的,即工序正常,这时费用记为C1,则 若第k次检查零件不合格,则工序必出现故障,设故障出现在第(k-1)n+i个(如图 现故障) 这时费用记为C2 ∑·P{=(k-1)n+ J·k+D+F· P{(k-1)n<X≤kn} P{(k-1)n<X≤kn} 对于刀具更换周期T来说,因为它是n,m的函数,所以也是随机变量,求其数学期望 7=E(m)=JdF(0+了mf(od m nF(nm F(rdt+nm ( 1-F(nm) ()d S(n,m)= CIn- Cl+ C2 (参见文献[3]) 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Lid. All rights reserved
∴ ∑ 12 i= 1 (f i - nP i) 2önP i = 4. 09 因为 ς 2 0. 05 (12 - 2 - 1) = ς 2 0. 05 (9) = 16. 919 > 4. 09 所以接受假设, 在显著性水平 Α= 0105 下按受总体服从正态分布(参见文献[2 ]). 我们已假设其它随机原因对于任一零件出现故障的机会相同, 且相互独立, 所以可假设 X 2 服从几何分布, 其分布函数是 F (X 2) = ∑ 〔x 2〕 k= 1 p (1 - p ) k- 1 , (0 < p < 1) , E (X 2) = 1 p 由题意知, 刀具损坏故障占工序故障 95% , 而其它故障占 5% , 近似 E (x 2) E (x 1) = 1 Λp = 95% 5% = 19 求得 p = 0. 000087719 所以总故障间隔X = M IN (X 1, X 2) , X 分布函数 F x (x ) = 1 - (1 - F x 1 (x ) ) (1 - F x 2 (x ) ) = 1 - 1 - 5 x - Λ Ρ 1 - ∑ 〔x〕 k= 1 p (1 - p ) k- 1 = 1 - 1 - 5 x - Λ Ρ (1 - p ) 〔x 〕 (参见文献〔2〕) 21 模型 1: 对于第一种情况, 设每生产 n 个零件检查 1 次, 检查m 次换刀具, 若第m 次检查零件仍 合格, 则前面生产的零件全部为合格的, 即工序正常, 这时费用记为 C1, 则 C1 = (J õm + K ) × P {X > nõm } 若第 k 次检查零件不合格, 则工序必出现故障, 设故障出现在第(k - 1) n+ i 个(如图). 这时费用记为C2 C2 = ∑ m k= 1 J õ k + D + F õ ∑ n i= 1 iõ P {X = (k - 1) n + i} P { (k - 1) n < X ≤ kn} õ P { (k - 1) n < X ≤ kn} 对于刀具更换周期 T 来说, 因为它是 n, m 的函数, 所以也是随机变量, 求其数学期望 值: T ϖ= E (n,m ) =∫ nm 0 tdF (t) +∫ ∞ nm nm f (t) dt = m nF (nm ) - ∫ nm 0 F (t) dt + nm〔1 - F (nm ) 〕 =∫ nm 0 〔1 - F (t) 〕dt ∴ S θ (n,m ) = C θ (n,m ) T ϖ = C1 + C2 T ϖ (参见文献[3 ]) 1 期 于 杰等: 自动化车床管理 72 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
30卷 3模型2: 对于第二种情况,我们分为两类(如图): i(出现故障) k+1)7 π(发现故障) 1)工序在生产第kn+i个零件时出现故障,其概率为P{X=kn+i} 情况一:虽然故障发生在第(kn+i个零件,但直到第t次检查时才发现,并换刀具第 (k+1)n到第m个零件中检查到的t-k-1个零件均为合格的零件,其概率为0.6× 0.4k1 此情况中,在生产第kn+i个零件前工序正常不合格零件的平均个数为(kn+r-1) 0.02个,因零件不合格损失(kn+r-1)×0.02×F元被查到的k个零件中平均有k×0.02 个不合格,此种情况下停机检查工序需花费k×0.02×M元 生产第kn+i个零件到m个零件时,工序处于故障状态,不合格零件的平均个数是 (m-kn-+1)×0.6,零件不合格损失的费用为(m-kn-t+1)×0.6×F元,到第t次检查 完换刀,检查费用为J·t 上述情形对于每一可能的t,费用为Sx F+002Mk}XQ6×04k1 情况二,直到必须换刀具时,仍未发现工序故障,此情况的概率0.4 此情况下的损失包括检查费Jm、换刀具费K、零件损失费(mn-kn-1)×0.6+ (kn+计+1)×0.02)·F、故障出现前的误判损失费为0.02Mk 总平均费用为 Sk.,m={J·m+D+(mn-kn-1×Q6+(kn+i+1)×002 F+002Mk}×0 将情况一和情况二合并得情况(1)下的平均费用为 k=0,1,2,…,m 2)在必须换刀具的第m次检查以前工序一直正常,其概率为P{X≥m+1},单个零 件平均费用为 S2=U·m+K+Q02F·n·m+002M·m)/m·n) 由(1)和(2)得总平均费用为 S1·P{X=kn+i} 计算方法设计和计算机实现 对于模型1,我们用C语言编程并采用穷举法进行搜索由x1呈正态分布可知,当刀 具生产600个零件附近时出现故障概率最大所以刀具更换周期T即m·n的最优解应在 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,, LId. All rights reserved
3. 模型 2: 对于第二种情况, 我们分为两类(如图): (1) 工序在生产第 kn+ i 个零件时出现故障, 其概率为 P {X = kn+ i}. 情况一: 虽然故障发生在第(kn+ i) 个零件, 但直到第 t 次检查时才发现, 并换刀具. 第 ( k + 1) n 到第 tn 个零件中检查到的 t- k - 1 个零件均为合格的零件, 其概率为 016× 014 t- k- 1 . 此情况中, 在生产第 kn+ i 个零件前工序正常. 不合格零件的平均个数为(kn+ i- 1) × 0102 个, 因零件不合格损失(kn+ i- 1) ×0102×F 元. 被查到的 k 个零件中平均有 k×0102 个不合格, 此种情况下停机检查工序需花费 k×0102×M 元. 生产第 kn+ i 个零件到 tn 个零件时, 工序处于故障状态, 不合格零件的平均个数是 (tn- kn- i+ 1) ×016, 零件不合格损失的费用为(tn- kn- i+ 1) ×016×F 元, 到第 t 次检查 完换刀, 检查费用为 J ·t. 上述情形对于每一可能的 t, 费用为S k, i, t S k, i, t = {J õ t + D + 〔(tn - kn - i + 1) × 0. 6 + (kn + i - 1) × 0. 02〕 × F + 0. 02M k} × 0. 6 × 0. 4t- k- 1 tn t = k + 1, k + 2, …,m 情况二, 直到必须换刀具时, 仍未发现工序故障, 此情况的概率 014 m - k . 此情况下的损失包括: 检查费 Jm、换刀具费 K、零件损失费〔(m n - kn - i) ×016+ (kn+ i+ 1) ×0102〕·F、故障出现前的误判损失费为 0102M k. ∴ 总平均费用为 S k, i,m = {J õm + D + 〔(m n - kn - i) × 0. 6 + (kn + i + 1) × 0. 02〕 × F + 0. 02M k} × 0. 4m - k m n 将情况一和情况二合并得: 情况(1) 下的平均费用为 S 1 = ∑ m t= k+ 1 S k, i, t k = 0, 1, 2, …,m - 1; i = 1, 2, …, n (2) 在必须换刀具的第m 次检查以前工序一直正常, 其概率为 P {X ≥nm + 1}, 单个零 件平均费用为 S 2 = (J õm + K + 0. 02F õ nõm + 0. 02M õm )ö(m õ n) 由(1) 和(2) 得总平均费用为 S θ n,m = ∑ m - 1 k= 0∑ n i= 1 S 1õ P {X = kn + i} + S 2õ P {X ≥ nm + 1} 6 计算方法设计和计算机实现 对于模型 1, 我们用 C 语言编程并采用穷举法进行搜索. 由 X 1 呈正态分布可知, 当刀 具生产 600 个零件附近时出现故障概率最大. 所以刀具更换周期 T 即m ·n 的最优解应在 82 数 学 的 实 践 与 认 识 30 卷 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
期 于杰等:自动化车床管理 600附近,我们取200900范围又因为n与m有关系,既不可能只检查1次就更换刀具, 也不可能每生产一个零件都检查一次所以我们可以判定m和n的最优解必落在(10 100)之间现在先以10为步长计算费用可以发现最优解的区间m在(20~30),n在(10 20)之间,改变步长为1,在上述区间内再进行搜索得最优解为n=18,m=20,Sn,m=4 详见附表) 对于模型2,刀具更换周期的数学期望厂近似用n·m代替,误差不大,用同样方法搜 索得最优解为n=48,m=6,Sm=11.16 7模型的改进 对于模型2,我们作改进方案分析 序故障不服从均匀分布,而我们在模型2的建立和求解中均采用等间隔检查这是 模型2的一个缺点,因此,我们依据工序故障服从的分布函数,用变间隔去逼近理想情况 随着加工的零件的增多,刀具出现故障的概率会大大增加,故检查间隔应随之减小 我们将间隔取为等差数列,利用这种方案在模型2得到的最优解的基础上进一步搜索, 可以得到更好的结果 参考文献 [1]可靠性、维修性的数理基础,旧)三根久河合一著,机械工业出版社 [2]概率论与数理统计(第二版).浙江大学,盛骤著,高等教育出版社 [3]运筹学随机模型,严颖成世学等著,中国人民大学出版社 附表 11.14 7.0710.0210.4810.49 0.4910.49 10.48 5,2010.7212,06 9.6015.30 15.31 15.3 15.3015.3015.3015,29 20.2520.2520.8920.2320.2 20.2220.2120.21 21.4721.9021.9021.8921.8821,8 21.8721.8621.85 2 C1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Lid. All rights reserved
600 附近, 我们取 200～ 900 范围. 又因为 n 与m 有关系, 既不可能只检查 1 次就更换刀具, 也不可能每生产一个零件都检查一次. 所以我们可以判定m 和 n 的最优解必落在 (10～ 100) 之间. 现在先以 10 为步长计算费用. 可以发现最优解的区间m 在(20～ 30) , n 在(10～ 20) 之间, 改变步长为 1, 在上述区间内再进行搜索得最优解为 n= 18, m = 20, S θ n·m = 4162 (详见附表). 对于模型 2, 刀具更换周期的数学期望 T ϖ 近似用 n·m 代替, 误差不大, 用同样方法搜 索得最优解为 n= 48,m = 6, S θ n·m = 11116. 7 模型的改进 对于模型 2, 我们作改进方案分析. 工序故障不服从均匀分布, 而我们在模型 2 的建立和求解中均采用等间隔检查. 这是 模型 2 的一个缺点, 因此, 我们依据工序故障服从的分布函数, 用变间隔去逼近理想情况. 随着加工的零件的增多, 刀具出现故障的概率会大大增加, 故检查间隔应随之减小. 我们将间隔取为等差数列, 利用这种方案在模型 2 得到的最优解的基础上进一步搜索, 可以得到更好的结果. 参考文献: [ 1 ] 可靠性、维修性的数理基础 1〔日〕三根久 河合一著 1 机械工业出版社 1 [ 2 ] 概率论与数理统计(第二版) 1 浙江大学, 盛骤著 1 高等教育出版社 1 [ 3 ] 运筹学随机模型 1 严颖、成世学等著 1 中国人民大学出版社 1 附 表 m n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 11114 6133 5104 4183 5120 5187 6160 7119 7156 20 5163 4171 6131 8112 8187 8198 8199 8199 8199 30 4177 7107 10102 10148 10149 10149 10149 10148 10148 40 5120 10172 12106 12107 12107 12107 12106 12106 12106 50 6188 13145 13168 13168 13168 13168 13168 13167 13167 60 9160 15130 15131 15131 15131 15130 15130 15130 15129 70 12190 16196 16196 16199 16194 16194 16194 16193 16194 80 15122 18160 18160 18159 18159 18158 18158 18157 18157 90 19111 20125 20125 20189 20123 20123 20122 20121 20121 100 21147 21190 21190 21189 21188 21187 21187 21186 21185 1 期 于 杰等: 自动化车床管理 92 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
第30卷第1期 数学的实践与认识 Vol 30 No. 1 20001 MATHEMATICS N PRACT CE AND THEORY Jan 2000 The m anagem t of automatic La the YU J ie, JIANG A im in, L I Rong-bing (N anjing U niversity of A eronautis and A stronautics, N an jing 210016) Abstract Optm al m aintenance po licy problem in a sy stem is discussed and analy sed in this paper Due to the random var ab le concerned, one ob jective m athem atical model of expectation value is developed By using enum erative search method, we obtain op tm al policy. The process checked once every producing 18 parts W hen the p rocess is checked 20 tm es, the kn ife has to be changed A cco rd ing to this policy, the average m in m al cost for producing a part is 4.62￥ Finally, we po int out som e facto rs not to be considered in the model, and analyse the influ ence of these factors Moveover, som e mod if caton is p ropo sed 车床管理优化模型 张继伟,韩方华,顾利龙 指导教师:夏亚峰 (甘肃工业大学,兰州730050) 编者按本文的特色在于利用管理成本理论,得到了由四个部分组成的单位工件成本的表达式,及最优检 周期所满足的方程,作者特别细致地注意到由检查滞后而引起的成本部分,继而在定期更换刀具及考虑 其他非刀具因素故障情况下对成本公式作了修正,并用搜索法求得了最优解 摘要:本文讨论了自动化车床连续加工零件工序定期检查和刀具更换的最优策略 针对问题一,应用管理成本理论结合概率统计方法,建立定期检查调节零件的平均管理成本的优化设计 模型,通过计算机求解模拟,得到工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换间隔针对问题二,在问题一的 基础上,利用概率知识调整了检查间隔中的不合格品数带来的平均损失,同时加上了因工序正常而误认为有 故障停机产生的平均损失,然后建立起目标函数,得到工序设计效益最好的检査间隔和刀具更换策略对于 工序故障采用自动检查装置,设计出了自动检查调节系统,并给出了算法框图,有效地避免工序正常而误认 为有故障停机损失,提高工序效益 1问题的重述(略) 2模型的假设 工序出现故障是完全随机的,生产任一零件时出现故障的机会相同 2.累积的100次刀具故障记录中每一个记录是刀具完成的零件数,其中有一个不合格 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co, Ltd. All rights reserved
第 30 卷第 1 期 2000 年 1 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l130 N o11 Jan. 2000 The M anagem en t of Automatic Lathe YU J ie, J IAN G A i2m in, L I Rong2b ing (N anjing U niversity of A eronautics and A stronautics, N anjing 210016) Abstract: Op tim al m aintenance po licy p roblem in a system is discussed and analysed in th is paper. D ue to the random variable concerned, one objective m athem aticalmodel of expectation value is developed. By using enum erative search m ethod, w e obtain op tim al po licy. T he p rocess is checked once every p roducing 18 parts. W hen the p rocess is checked 20 tim es, the knife has to be changed. A cco rding to th is po licy, the average m inim al co st fo r p roducing a part is 4162Æ. F inally, w e po int out som e facto rs no t to be considered in the model, and analyse the influ2 ence of these facto rs. M oveover, som e modification is p ropo sed. 车 床 管 理 优 化 模 型 张继伟, 韩方华, 顾利龙 指导教师: 夏亚峰 (甘肃工业大学, 兰州 730050) 编者按: 本文的特色在于利用管理成本理论, 得到了由四个部分组成的单位工件成本的表达式, 及最优检 查周期所满足的方程, 作者特别细致地注意到由检查滞后而引起的成本部分, 继而在定期更换刀具及考虑到 其他非刀具因素故障情况下对成本公式作了修正, 并用搜索法求得了最优解. 摘要: 本文讨论了自动化车床连续加工零件工序定期检查和刀具更换的最优策略. 针对问题一, 应用管理成本理论结合概率统计方法, 建立定期检查调节零件的平均管理成本的优化设计 模型, 通过计算机求解、模拟, 得到工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换间隔. 针对问题二, 在问题一的 基础上, 利用概率知识调整了检查间隔中的不合格品数带来的平均损失, 同时加上了因工序正常而误认为有 故障停机产生的平均损失, 然后建立起目标函数, 得到工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略. 对于 工序故障采用自动检查装置, 设计出了自动检查调节系统, 并给出了算法框图, 有效地避免工序正常而误认 为有故障停机损失, 提高工序效益. 1 问题的重述(略) 2 模型的假设 11 工序出现故障是完全随机的, 生产任一零件时出现故障的机会相同; 21 累积的 100 次刀具故障记录中每一个记录是刀具完成的零件数, 其中有一个不合格 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved