《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 线性代数方程组的数值解 §3 矩阵的LU分解 §4 向量和矩阵的范数及方程组的性态

对于=1,2,…,n, ∑14)d1(=1+1…,m k=1 上式虽避免了开方运算,但增加了相乘因子,引进变量 1→对于=1,2,…n,有 ikin 1=(a0-2)d(=+1…,n)

1 2 1 1 1 1 1 1 1 ; ( ) / ( 1, , ). ; ( ) / ( 1, , ) , 1,2, , 1,2, . , , i i ii ik k k i ji ji jk k ik i k i i ii ik ik k i ji ji ik jk i ik k k k i d a l d l a l d l d j i n d a t l l a t l d j i i n i n n t l d − = − = − = − =  = −     = − = = +   = −    = − = = + =      对于 上式虽避免了开方运算，但增加了相乘因子，引进变量 对于 有  

对称正定矩阵4按LDL分解和按L分解 计算量差不多,但LD分解不需要开方计算 求解y=b,Dx=y计算公式 Vi=b y=b-∑1y( k=1 xn=y /d x =y /d ki k (=n-1,…,2,1

1 1 1 1 1 / ; / ( 1, ,2,1) ; ( 2, , ). , . T T n T i i i ik k k n n n i i i ki k k T i LL y b y b LDL LDL x y d x y d l x i n A Ly b DL l x y y i n + = = = = =  =   = − =    =   = − = −     对称正定矩阵 按 分解和按 分解 计算量差不多，但 分解不需要开方计算。 求解 计算公式

三、追赶法 在数值计算中,如三次样条插值或用差分方法 解常微分方程边值问题,常常会遇到求解以下形式 的方程组Ax=d

三、追赶法 Ax d = 在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法 解常微分方程边值问题，常常会遇到求解以下形式 的方程组

b b b b 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻 两次对角线上,称为三对角矩阵。方程组称为三对角 方程组

此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻 两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角 方程组。 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 i i i i nnn n i n n n n n d d d d b c a b c a b d c a b c a x b x x x x − − − − −                                                                =   

定理:设三对角方程组系数矩阵满足下列条件: b|>c|>0 |≥a|+lc|ac≠0=2,3,…,n-1) bn>lan>o 则它可分解为 A=LU= 431 其中c(i=1,2,…,n-1)为已给出的,且分解是唯一的

1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 0 0( 2,3, , 1) 0 1 1 ( 1, , 2 ) 1 , 1 n n i i i i i n n n i u c l u b c b a c a c i n b a c A LU l c l i u n c −          = =          +  = −     = − 定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件： 则它可分解为 其中 为已给出的，且分解是唯一的