唯一性:假定存在非奇异下三角阵G≠L,其对角元 素皆为正数,且使得=L=GG7于是有 L(G)=LLL(G)=LGG(G=LG 因Z(G)为上三角阵,LG为下三角阵,故由上式得 L(G)=LG=I 即G=L,与假设矛盾
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ( ) ( , ) ( ) ( ) ) T T T T T T T T T T T T L G L LL G G L A LL GG L G L G L GG G L L G L G G L G I − − − − − − − − − − = = = = = = = = ：假定存在非奇异下三角阵 其对角元 素皆为正数，且使得 于是有 因 为上三角阵， 为下三角阵，故由上式得 即 与假 唯一性 设矛盾
平方根( Cholesky分解法)法 由A=L 0l2 2 0 其中>0(=1,2,…,n)由矩阵乘法及/k=0(当<时 (a jk 得 =(a-∑1k)2(=j+1…,n)
平方根(Cholesky分解法）法 11 11 12 1 21 22 22 2 1 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 ( 1 ( ) ( 1, , 2, , ). 0 ( ), , , ( 2 ), n T n n n nn nn ii j j jj jj jk k ij ij i k k j l l l l l l l l A LL l l l l l i n l l a l j n l a l j k l − = = = = = − = − = = 由 其中 由矩阵乘法及 当 时 得 1 1 ) / ( 1, , ); j k jj k l i j n − = = +
这里规定>·=0。计算顺序是按列进行,即 1→>hn(t=2,3,…,n)→>l2→>l2(i=3,…,n)>… 当矩阵A完成平方根分解后,求解 Ax=L(L x)=b, 即求解两个三角形方程组 1)Ly=b,求y (2)x=y,求x y=(b-2yk)/(=1 x=(y-∑lx)/(=n,n-1…,1) k=i+1
0 11 1 22 2 1 ( 2,3, , ) ( 3 , ) 0 , i k i l l i n l l i n = → = → → = = → 这里规定 。计算顺序是按列进行，即 。 ( ) 1 1 1 ( ) / ( 1 ,2, , ). ( ) / ( , , ; 1, ,1) 2 . . T i i i ik k ii k n i i ki k ii k T i A Ly b y L Ax L L x x y x b y b l y l i n x y l x l i n n − = = + = = − = = − = − = = 当矩阵 完成平方根分解后，求解 即求解两个三角形方程组 (1) 求 （ ） ，求 ＝
由于的对称性,平方根法的乘除运算量 为n3/6数量级,约是Ga消去法的一半。上 机计算时,所需存储单元也少,只要存储的 下三角部分和右端项b,计算中L存放在A存 储单元,y,x存储在冽存储单元。 但这种方法在求时需作n次开方运算,这 样又增加了计算量。为了避免开方,可使用改 进的平方根方法
3 , n / 6 A Gauss A L n b L A y x b 由于 的对称性，平方根法的乘除运算量 为 数量级，约是 消去法的一半。上 机计算时，所需存储单元也少，只要存储 的 下三角部分和右端项 ，计算中 存放在 的存 储单元， 存储在 的存储单元。 但这种方法在求 时需作 次开方运算，这 样又增加了计算量。为了避免开方，可使用改 进的平方根方法
改进平方根法 A=LDIT= I 221 其中=1k=0(<k,由比较法得
改进平方根法 1 21 2 1 2 21 1 2 1 1 1 1 1 1 ) ( , 1 jj jk , 0 T n n n n n l d l d A LDL l l d l l l l j k = = = = 其中 由比较法得