中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限17 1, x=0, 1 r=n(m,川=1，证明：o∈R,m()=0. n (2)定义Riemann函数R(x)= 0, x∈R\Q 7 Cesaro求和极限 设{an}为实数数列，我们定义算术平均值数列 On= a1+a2+·+an (n∈N*). 2 我们已证明命题：设4，=a,则有mm=a,并举了逆命题不成立的反例.现在我 们考虑如下问题： (1)是否存在数列{an}使得对n∈N*,均有an>0且lim sup an=o但limn=0? n→co n-1 (2)对k∈N*,记bk=ak+1-ak.证明：对n≥2，均有an-on= n1 (3)设lim non=0,并且{on}收敛.证明：{an}亦收敛； (④设数列{nbn}有界，并且lim on=o.证明：lim an=o. n→0o 8连分数我们进行如下过程：对正数a,选取小于a的最大自然数k,令a=ko+ro, 其中0≤o<1.若o=0,则该过程终止；若ro>0,则选取小于a的最大自然数k1,令 -十1，其中0≤n<1.若1=0，则该过程终止；若1>0，则选取小于a的最大自然 r 数，令1=应十2，其中0≤2<1.以此类推下去，我们得到连分数的定义，其展开式记 作： a=k+k1+ k3+工 例如，π的连分数展开式是： -3.14159265…=3+7+* 1 ()直接写出3.245和37 的连分数展开式，并证明：正数α是有理数的充要条件是存在 07 自然数m,使得rm=0.此时 1 a=ko+ + 被称为有限连分数 (②)若正数a是无理数.记0=四，0十 1 1 90 +2+, ,(pn,qn）=1. 9n …+ (a)若对任意自然数n,均有km=1,直接写出a的值（化简后的分式）； (b)直接写出√2的连分数展开式： (c)证明：对任意正整数n,均有gn≥n-1; (d)证明：对任意自然数n,均有2m<2n+2<a<P2n+3<2n+1 92n 92n+2 2n+392n+1 (e)证明：lim=a. noo qn
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 17 (2) 定义 Riemann 函数 R(x) = 1, x = 0, 1 n , x = m n , (m, n) = 1, 0, x ∈ R \ Q. 证明: ∀x0 ∈ R, limx→x0 R(x) = 0. 7 Cesàro 求和极限 设 {an} 为实数数列, 我们定义算术平均值数列 σn = a1 + a2 + · · · + an n (n ∈ N ∗ ). 我们已证明命题: 设 limn→∞ an = a, 则有 limn→∞ σn = a, 并举了逆命题不成立的反例. 现在我 们考虑如下问题: (1) 是否存在数列 {an} 使得对 ∀n ∈ N ∗ , 均有 an > 0 且 lim sup n→∞ an = ∞ 但 limn→∞ σn = 0? (2) 对 k ∈ N ∗ , 记 bk = ak+1 − ak. 证明: 对 ∀n ⩾ 2, 均有 an − σn = 1 n Xn−1 k=1 kbk; (3) 设 limn→∞ nbn = 0, 并且 {σn} 收敛. 证明: {an} 亦收敛; (4) 设数列 {nbn} 有界, 并且 limn→∞ σn = σ. 证明: limn→∞ an = σ. 8 连分数 我们进行如下过程: 对正数 a, 选取小于 a 的最大自然数 k0, 令 a = k0 + r0, 其中 0 ⩽ r0 < 1. 若 r0 = 0, 则该过程终止; 若 r0 > 0, 则选取小于 a 的最大自然数 k1, 令 1 r0 = k1 + r1, 其中 0 ⩽ r1 < 1. 若 r1 = 0, 则该过程终止; 若 r1 > 0, 则选取小于 a 的最大自然 数 k2, 令 1 r1 = k2 + r2, 其中 0 ⩽ r2 < 1. 以此类推下去, 我们得到连分数的定义, 其展开式记 作: a = k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 k3+ 1 . . . . 例如, π 的连分数展开式是: π = 3.14159265 · · · = 3 + 1 7 + 1 15+ 1 1+ 1 . . . . (1) 直接写出 3.245 和 37 97 的连分数展开式, 并证明: 正数 a 是有理数的充要条件是存在 自然数 m, 使得 rm = 0. 此时 a = k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 . . .+ 1 km 被称为有限连分数. (2) 若正数 a 是无理数. 记 k0 = p0 q0 , k0 + 1 k1 + 1 k2+ 1 . . .+ 1 kn = pn qn , (pn, qn) = 1. (a) 若对任意自然数 n, 均有 kn = 1, 直接写出 a 的值 (化简后的分式) ; (b) 直接写出 √ 2 的连分数展开式; (c) 证明: 对任意正整数 n, 均有 qn ⩾ n − 1; (d) 证明: 对任意自然数 n, 均有 p2n q2n < p2n+2 q2n+2 < a < p2n+3 q2n+3 < p2n+1 q2n+1 ; (e) 证明: limn→∞ pn qn = a
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限18 (3)设n是无平方因子的正整数，证明：√冗的连分数展开式中数列{k}从某项开始是周 期数列
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 18 (3) 设 n 是无平方因子的正整数, 证明: √ n 的连分数展开式中数列 {kn} 从某项开始是周 期数列
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 2函数的连续性19 第2章1 函数的连续性 2.1命题判断及推理 判断下列命题或推断是否成立，并说明理由. 2.1.1A组 1f(x)在(a,b)内每一个闭子区间上连续←→f(x)在(a,b)上一致连续 2若f(x)在(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续→1imfx),lim f()存 x→a 在 3f(x)在(a,b)上一致连续→f(x)在(a,b)上有界. 4 (1)设在xo处f(x)连续，而g(x)不连续，判断函数f(x)士g(x),f(x)g(x)在点xo处的 连续性： (2)设在x0处f(x,g(x)都不连续，判断函数f(x)士g(x),f(x)g(x)在点xo处的连续性. 5f(x)在区间I上连续←→f(x川在区间I上连续.。 6f(x),g(x)在区间I上连续→M(x)=max{f(x),g(x)},m(x)=min{f(x),g(x)} 在区间I上连续 7存在函数f(x),满足f(x)处处不连续但If(x川处处连续， 8若f(x),g(x)在R上连续，则f(x)=g(x)对x∈Q成立→f(x)=g(x)对 x∈R成立. 9开区间I上的单调函数无第二类间断点 2.1.2B组 1 存在R上的处处不连续但值域是区间的函数f(x): 2f(x),9(x)具有介值性→f(x)+g(x)具有介值性 3 存在R上的连续函数f(x),满足∫：Q→R\Q,R\Q→Q. 4 存在处处不单调的连续函数f(x) 2.1.3参考答案-A组 l≠.反例：f(x)=tanx,x∈ （)= lim f(x),x=a, x→a1 2→.用Cauchy准则形式证明；←一.构造F(x)= f(x): x∈(a,b),证明 lim f(x),x=6. c→b F(x)在[a,b上连续，从而F(x)在[a,b上一致连续
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 19 第 2 章 函数的连续性 2.1 命题判断及推理 判断下列命题或推断是否成立, 并说明理由. 2.1.1 A 组 1 f(x) 在 (a, b) 内每一个闭子区间上连续 ⇐⇒ f(x) 在 (a, b) 上一致连续. 2 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存 在. 3 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ f(x) 在 (a, b) 上有界. 4 (1) 设在 x0 处 f(x) 连续, 而 g(x) 不连续, 判断函数 f(x) ± g(x), f(x)g(x) 在点 x0 处的 连续性; (2) 设在 x0 处 f(x), g(x) 都不连续, 判断函数 f(x) ± g(x), f(x)g(x) 在点 x0 处的连续性. 5 f(x) 在区间 I 上连续 ⇐⇒ |f(x)| 在区间 I 上连续. 6 f(x), g(x) 在区间 I 上连续 =⇒ M(x) = max {f(x), g(x)} , m(x) = min {f(x), g(x)} 在区间 I 上连续. 7 存在函数 f(x), 满足 f(x) 处处不连续但 |f(x)| 处处连续. 8 若 f(x), g(x) 在 R 上连续, 则 f(x) = g(x) 对 ∀x ∈ Q 成立 =⇒ f(x) = g(x) 对 ∀x ∈ R 成立. 9 开区间 I 上的单调函数无第二类间断点. 2.1.2 B 组 1 存在 R 上的处处不连续但值域是区间的函数 f(x). 2 f(x), g(x) 具有介值性 =⇒ f(x) + g(x) 具有介值性. 3 存在 R 上的连续函数 f(x), 满足 f : Q → R \ Q, R \ Q → Q. 4 存在处处不单调的连续函数 f(x). 2.1.3 参考答案 - A 组 1 ≠⇒ . 反例: f(x) = tan x, x ∈ − π 2 , π 2 ; ⇐= . 2 =⇒ . 用 Cauchy 准则形式证明; ⇐= . 构造 F(x) = lim x→a+ f(x), x = a, f(x), x ∈ (a, b), lim x→b− f(x), x = b. 证明 F(x) 在 [a, b] 上连续, 从而 F(x) 在 [a, b] 上一致连续
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 2函数的连续性20 3 →.见2；+.f(x)=sin-,x∈(0,1). 4 (1)函数f(x)士g(x)在点xo处不连续（反证法），函数f(x)9(x)在点xo处连续性无法判 断（考虑函数f(x)在xo处是否为O): (2)均无法判断. 定义Dirichlet函数D(x) 1,x∈Q,证明：对n∈R,mD)不存在 0,x4Q. →.注意到f(z川-f(o)川≤f(x)-f(o+.反例：f(c)= 之。王ER x∈Q 5 6 →.注意到M(x)+m(x)=f(e)+g(x),M(x)-m(x)=f(x)-g(x川都在I上 连续即可」 x∈Q, 7 正确.f(x) -1,x4R\Q 8 →.利用有理数的稠密性，对无理点通过有理数列逼近即可. 9 正确.对x∈I,考虑定义域中的点列{am},满足an↓xo.由单调有界原理知 limf(xo)存在.同理可知，limf(xo)存在. x→xd x→x0 2.1.4参考答案-B组 x=0, 1正确.例如：gx)= 1-x,x∈Q fx)=〈g(x), x∈R\Q. ≠0吃 1 9(0): T= 2 为反例：四1 x≠0， 9(x)= 一si西，x≠0， x=0. 0 x=0. 0,x≠0， 则(f+g)(x)= 1, x=0. 3 错误.反证：假设存在，令g(x)=f(x)-x,则g(R)二R\Q.而g(x)在R上连续， 由连续函数的介值性知g(x)三c,c∈R\Q.而f(c)=2c∈R\Q,这与∫：R\Q→Q矛盾. 别如：f四∑一.其中是周期为1且当飞 k=1 fo(x)=z的周期函数： 2.2专题选讲
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 20 3 =⇒ . 见 2 ; ̸⇐= .f(x) = sin 1 x , x ∈ (0, 1). 4 (1) 函数 f(x) ± g(x) 在点 x0 处不连续 (反证法), 函数 f(x)g(x) 在点 x0 处连续性无法判 断 (考虑函数 f(x) 在 x0 处是否为 0); (2) 均无法判断. 定义 Dirichlet 函数 D(x) = 1, x ∈ Q, 0, x ̸∈ Q. 证明: 对 ∀x0 ∈ R, limx→x0 D(x) 不存在; 5 =⇒ . 注意到 ||f(x)| − |f(x0)|| ⩽ |f(x)−f(x0)|; ̸⇐= . 反例: f(x) = 1, x ∈ Q, −1, x ∈/ R \ Q. 6 =⇒ . 注意到 M(x) + m(x) = f(x) + g(x), M(x) − m(x) = |f(x) − g(x)| 都在 I 上 连续即可. 7 正确. f(x) = 1, x ∈ Q, −1, x ∈/ R \ Q. 8 =⇒ . 利用有理数的稠密性, 对无理点通过有理数列逼近即可. 9 正确. 对 ∀x ∈ I, 考虑定义域中的点列 {an}, 满足 an ↓ x0. 由单调有界原理知 lim x→x + 0 f (x0) 存在. 同理可知, lim x→x − 0 f(x0) 存在. 2.1.4 参考答案 - B 组 1 正确. 例如: g(x) = 1 − x, x ∈ Q, x. x ∈ R \ Q. f(x) = g 1 2 , x = 0, g(x), x ̸= 0, 1 2 , g(0), x = 1 2 . 2 ≠⇒ . 反例: f(x) = sin 1 x , x ̸= 0, 1, x = 0. g(x) = − sin 1 x , x ̸= 0, 0, x = 0. 则 (f + g)(x) = 0, x ̸= 0, 1, x = 0. 3 错误. 反证: 假设存在, 令 g(x) = f(x) − x, 则 g (R) ⊆ R \ Q. 而 g(x) 在 R 上连续, 由连续函数的介值性知 g(x) ≡ c, c ∈ R \ Q. 而 f(c) = 2c ∈ R \ Q, 这与 f : R \ Q → Q 矛盾. 4 正确. 例如: f(x) = X +∞ k=1 f0(4k−1x) 4 k−1 . 其中 f0(x) 是周期为 1 且当 |x| ⩽ 1 2 时, 满足 f0(x) = |x| 的周期函数. 2.2 专题选讲
中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 2函数的连续性21 2.2.1连续与一致连续 定义2.1(（逐点）连续)“f在x0处（逐点）连续6”←→e>0,36>0,当z-x0<6 时，有lf(x)-f(xo)川<e. 定义2.2（一致连续)“f在区间I上一致连续”→E>0,36>0,对x,xo∈I,当 |x-xol<6时，有lf(x)-f(co)川<e. 注意给定e>0,对不同的xo,6(E,xo)可能不同 1一致连续等价刻画 (1)Cauchy判别准则形式：e>0,36>0,对x1,x2∈I,当x1-x2<6时，有 lf(c1)-f(x2川<e (2)极限表达形式：lim sup f(x1)-f(c2引=0. 60 2连续与一致连续的区别 (1)“出牌”顺序不同：从定义看，逻辑顺序上连续是先x0后6，一致连续是先6后x0 (2)研究对象不同：连续的研究对象是0一个点，表示局部性质；一致连续的研究对象是 整个区间I,表示整体性质！ (3)6的依赖性不同：连续中的6由(e,xo)体现，6依赖于e,x0两个变量；一致连续中的 δ由inf6(e)体现，6仅依赖于e一个变量 3 Cantor定理有界闭区间上的连续函数一定一致连续 4一致连续的补充命题以下命题请读者自证，部分命题亦留作补充习题 常用判别法若∫在区间【上可导，则f?有界微分中值定理∫在【上一致连续 Lipschitz 命题2.1若f(x)在(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续→limf(x),limf(x) 存在 命题2.2若f(x)在I上一致连续，则对{an},{yn}CI,lim(n-n）=0→ lim (f(xn)-f(yn))=0. n→od 注意逆命题不成立.例如：f(x)=√E,x≥0. 命题2.3若f在[a,+o∞)上连续，且，1imf(x)存在且有限，则f在[a,+o∞)上有界且 一 致收敛 命题2.4∫在(a,,[b,c)上一致连续→f在(a,c)上一致连续 命题2.5f,g在[a,+o∞)上有界且一致连续→fg在[a,+oo)上一致连续 注意有界不能省略，反例：f(x)=g(x)-x,x∈R+.若把无穷区间换成有穷区间，则有 界可省略，因为有穷区间的一致连续性包含有界 命题2.6（一致连续的相容性)设z=g(y)在区间J上一致连续，设y=f(x)在区间 I上一致连续且f(I)CJ.则之=g(f(x)在区间I上一致连续.若f(x)在(a,b)上连续，则 f(x)在(a,b)上一致连续←→1imf(e),limf(x)存在 h 命题2.7∫在R上连续且∫是周期函数→f在R上一致连续 6连续最原始的定义针对的是一点而不是区间.事实上，我们当然有∫在区间I上连续的说法，但其实质上表 示的是∫在I上每个点处处连续 7实际上，一致连续的研究对象是点集即可，只不过我们一般都在区间上讨论一致连续性
中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 2 函数的连续性 21 2.2.1 连续与一致连续 定义 2.1 ((逐点) 连续) “f 在 x0 处 (逐点) 连续6 ” ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 |x−x0| < δ 时, 有 |f(x) − f(x0)| < ε. 定义 2.2 (一致连续) “f 在区间 I 上一致连续” ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 对 ∀x, x0 ∈ I, 当 |x − x0| < δ 时, 有 |f(x) − f(x0)| < ε. 注意 给定 ε > 0, 对不同的 x0, δ(ε, x0) 可能不同. 1 一致连续等价刻画 (1) Cauchy 判别准则形式: ∀ε > 0, ∃δ > 0, 对 ∀x1, x2 ∈ I, 当 |x1 − x2| < δ 时, 有 |f(x1) − f(x2)| < ε; (2) 极限表达形式: lim δ→0+ sup ∀x1,x2∈I |x1−x2|<δ |f(x1) − f(x2)| = 0. 2 连续与一致连续的区别 (1) “出牌” 顺序不同: 从定义看, 逻辑顺序上连续是先 x0 后 δ, 一致连续是先 δ 后 x0. (2) 研究对象不同: 连续的研究对象是 x0 一个点, 表示局部性质; 一致连续的研究对象是 整个区间7 I, 表示整体性质. (3) δ 的依赖性不同: 连续中的 δ 由 δ(ε, x0) 体现, δ 依赖于 ε, x0 两个变量; 一致连续中的 δ 由 inf x0∈I δ(ε) 体现, δ 仅依赖于 ε 一个变量. 3 Cantor 定理 有界闭区间上的连续函数一定一致连续. 4 一致连续的补充命题 以下命题请读者自证, 部分命题亦留作补充习题. 常用判别法 若 f 在区间 I 上可导, 则 f ′ 有界 微分中值定理 −−−−−−−→ Lipschitz f 在 I 上一致连续. 命题 2.1 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在. 命题 2.2 若 f(x) 在 I 上一致连续, 则对 ∀ {xn} , {yn} ⊂ I, limn→∞ (xn − yn) = 0 =⇒ limn→∞ (f(xn) − f(yn)) = 0. 注意 逆命题不成立. 例如: f(x) = √ x, x ⩾ 0. 命题 2.3 若 f 在 [a, +∞) 上连续, 且 lim x→+∞ f(x) 存在且有限, 则 f 在 [a, +∞) 上有界且 一致收敛. 命题 2.4 f 在 (a, b], [b, c) 上一致连续 =⇒ f 在 (a, c) 上一致连续. 命题 2.5 f, g 在 [a, +∞) 上有界且一致连续 =⇒ fg 在 [a, +∞) 上一致连续. 注意 有界不能省略, 反例: f(x) = g(x) = x, x ∈ R +. 若把无穷区间换成有穷区间, 则有 界可省略, 因为有穷区间的一致连续性包含有界. 命题 2.6 (一致连续的相容性) 设 z = g(y) 在区间 J 上一致连续, 设 y = f(x) 在区间 I 上一致连续且 f(I) ⊂ J. 则 z = g (f(x)) 在区间 I 上一致连续. 若 f(x) 在 (a, b) 上连续, 则 f(x) 在 (a, b) 上一致连续 ⇐⇒ lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在. 命题 2.7 f 在 R 上连续且 f 是周期函数 =⇒ f 在 R 上一致连续. 6连续最原始的定义针对的是一点而不是区间. 事实上, 我们当然有 f 在区间 I 上连续的说法, 但其实质上表 示的是 f 在 I 上每个点处处连续 7实际上, 一致连续的研究对象是点集即可, 只不过我们一般都在区间上讨论一致连续性