中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（试卷习题）数学分析（B1）习题课讲义（二）

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限12 证明(2)仅对第(1)问进行证明， 因为ana(n→oo),所以数列{an}有界，即3M>0,使得lan<M(n=1,2,…) 由数列{Bn}收敛及Cauchy收敛准则知，e>0,N∈N,使得n>N时，对p∈N, b1E 有1Bn-B< 则n>N时，有 ln+p-Cn (a()+（）( ） (三)（含）+(）（岂） () 2M(岁 bi bie i=n+1 2M2L=6 Ba, 故由Cauchy收敛准则知，数列{cn}收敛. 0 1.3.7 Stolz定理的应用 注意Stok定理的逆命题并不成立.例如对a:=(-l”,bm=n显然有四 m=0,但 m+1-a=2(-1)”的极限并不存在， on+1 -On 1k+2k+..+nk 例题1.15设k∈N,求极限lim n-→∝ nk+1 证明由Stolz定理得： 1k+2k+.+nk nk nk 1 n+1 g+1-n-+=ak+n*+…+(-1 lim :=k+1 0 例题1.l6设数列{n}收敛，对n∈N*,令n=n(xn-xn-1).证明：若数列{yn}收 敛，则lim yn=0. 证明设lim in-A,limn=B.由Stolz定理知 n→00 n→00 A=lim n2in lim (nzn-(n-1)2n-1)=A+B. n-+onn→o 所以B=0,即1imn=0. ▣ an∈N.证明： 例题1.17设数列{an}满足a1>0,an+1=am+

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 12 证明 (2) 仅对第 (1) 问进行证明. 因为 an → a (n → ∞), 所以数列 {an} 有界, 即 ∃M > 0, 使得 |an| < M (n = 1, 2, · · ·). 由数列 {Bn} 收敛及 Cauchy 收敛准则知, ∀ε > 0, ∃N ∈ N ∗ , 使得 n > N 时, 对 ∀p ∈ N ∗ , 有 |Bn+p − Bn| < b1ε 2M . 则 n > N 时, 有 |cn+p − cn| =           nP +p i=n+1 aibi  Pn i=1 bi  − Pn i=1 aibi   nP +p i=n+1 bi  nP +p i=1 bi  Pn i=1 bi           ⩽  nP +p i=n+1 |ai | bi  Pn i=1 bi  + Pn i=1 |ai | bi   nP +p i=n+1 bi  Pn i=1 bi 2 ⩽ M  nP +p i=n+1 bi  Pn i=1 bi  + M Pn i=1 bi   nP +p i=n+1 bi  Pn i=1 bi 2 = 2M  nP +p i=n+1 bi  Pn i=1 bi < 2M · b1ε 2M b1 = ε. 故由 Cauchy 收敛准则知, 数列 {cn} 收敛. 1.3.7 Stolz 定理的应用 注意 Stolz 定理的逆命题并不成立. 例如对 an = (−1)n , bn = n, 显然有 limn→∞ an bn = 0, 但 an+1 − an bn+1 − bn = 2(−1)n 的极限并不存在. 例题 1.15 设 k ∈ N ∗ , 求极限 limn→∞ 1 k + 2k + · · · + n k nk+1 . 证明 由 Stolz 定理得: limn→∞ 1 k + 2k + · · · + n k nk+1 = limn→∞ n k nk+1 − (n − 1)k+1 = limn→∞ n k (k + 1)nk + · · · + (−1)k = 1 k + 1 . 例题 1.16 设数列 {xn} 收敛, 对 ∀n ∈ N ∗ , 令 yn = n(xn − xn−1). 证明: 若数列 {yn} 收 敛, 则 limn→∞ yn = 0. 证明 设 limn→∞ xn = A, limn→∞ yn = B. 由 Stolz 定理知 A = limn→∞ nxn n = limn→∞ (nxn − (n − 1)xn−1) = A + B. 所以 B = 0, 即 limn→∞ yn = 0. 例题 1.17 设数列 {an} 满足 a1 > 0, an+1 = an + 1 an , n ∈ N. 证明:

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限13 (1)lim an=1; n→+ooV2m (2)lim (an -v2n)=0. n→十o 提示对a1>0,an+1=am+上两边平方，先证明4，→十心m→，然后用Soz an 定理 证明 ()数归可得a>0.对a1=a+上两边平方，得 an 1 1=呢+2+正>哈+2 所以 a2>a听-1+2>a2-2+4>…>+2(m-1)→+∞(n→∞) 因此lim an=十oo.由Stolz定理知 l7●● lim 2+-吃=1im（ n→o2nn→2 +2a2 =1 n→00 所以mV (2)由(1)知， lim (an v2n)=lim a品-2m =lim。 a2-2n lim a2-2m ni-oo an +V2n V2n(券+) n→02V2m =lim a-a2-1-2 m2(v2n-√2(n-1) 1 lim- ne2a2(v2m-√2(n-1) lim n lim V2m+√2(m-1) n407 n =0. ▣ 1.3.8无穷小量&无穷大量&阶 几个重要的等价关系 (1)e2-1~x(x→0)月 (2)sinx~x(x→0)： (3)ln(1+x)~x(x→0： (④1-osr~52(e→0)归 (5)nx~o(x)(x→+o,a>0): (6)xk~o(ar)(x→+0，a>1)月 (7)(1+x)2-1~ax(x→0)： (8)arctanx~x(x→0)

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 13 (1) lim n→+∞ an √ 2n = 1; (2) lim n→+∞ (an − √ 2n) = 0. 提示 对 a1 > 0, an+1 = an + 1 an 两边平方, 先证明 an → +∞ (n → ∞), 然后用 Stolz 定理. 证明 (1) 数归可得 an > 0. 对 an+1 = an + 1 an 两边平方, 得 a 2 n+1 = a 2 n + 2 + 1 a 2 n > a2 n + 2, 所以 a 2 n > a2 n−1 + 2 > a2 n−2 + 4 > · · · > a2 1 + 2(n − 1) → +∞ (n → ∞) 因此 limn→∞ an = +∞. 由 Stolz 定理知 limn→∞ a 2 n 2n = limn→∞ a 2 n+1 − a 2 n 2 = limn→∞  1 + 1 2a 2 n  = 1. 所以 lim n→+∞ an √ 2n = 1. (2) 由 (1) 知, limn→∞ (an − √ 2n) = limn→∞ a 2 n − 2n an + √ 2n = limn→∞ a 2 n − 2n √ 2n  √an 2n + 1 = limn→∞ a 2 n − 2n 2 √ 2n = limn→∞ a 2 n − a 2 n−1 − 2 2(√ 2n − p 2(n − 1)) = limn→∞ 1 2a 2 n ( √ 2n − p 2(n − 1)) = limn→∞ n 4a 2 n limn→∞ √ 2n + p 2(n − 1) n = 0. 1.3.8 无穷小量 & 无穷大量 & 阶 几个重要的等价关系 (1) e x − 1 ∼ x (x → 0); (2) sin x ∼ x (x → 0); (3) ln(1 + x) ∼ x (x → 0); (4) 1 − cos x ∼ 1 2 x 2 (x → 0); (5) ln x ∼ o(x α ) (x → +∞, α > 0); (6) x k ∼ o(a x ) (x → +∞, a > 1); (7) (1 + x) α − 1 ∼ αx (x → 0); (8) arctan x ∼ x (x → 0)

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限14 例题1.18证明：O(x2)=o(x)(x→0) 证明设四在某个0的去心邻域上有界，即M>0和6>0，当0<<d,有 1f(x川≤Mx2.则当0<z<6,有 ow-w. 由夹逼原理知，li f四=0.所以0(2)=o()(c→0 ▣ x0 例题1.19证明：当x→0时，无穷小量xsin没有阶 提示考察im i血主即可，可证得a≥1时极限不存在，a<1时极限值是0. →0 m 例题1.20 设f)=1m--mm,n∈N,求极限1mf(), → 解令y=x-1,则1imf(1+)=1imf(x).我们有 y-→0 ①→1 m f1+0=1-(0+m-1-1+ -ml-(1+四-n1-1+)网 [(1+y)m-1][(1+y)m-1] nlmy+mg-y2+o(g2】-m[ny+ny2+o(g2】 m(y+o(y))2 受(m-ny2+o(y2 mn(y2+o(y2)) ="2+0g→0 所以fe)=m-n 2 ▣ r 1.4 补充习题 1.4.1A组 1 求下列极限： (+++…+) (2）i 1！+2！+…+nl n! (3)lim n-oo (-(-)(-)月 (1+x+x2)1/m-1 (4)lim (n∈N*): sin 2x (5)）,1lim(sin v+1-sin v-1)月 →十 (6)lim sin(πVn2+1)月 n→0 ()i coscoscos n→ 2n' (8)lim 91-cos co2x…cosn(eN*)月 x→0 t2

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 14 例题 1.18 证明: O(x 2 ) = o(x) (x → 0). 证明 设 f(x) x 2 在某个 0 的去心邻域上有界, 即 ∃M > 0 和 δ > 0, 当 0 < |x| < δ, 有 |f(x)| ⩽ Mx2 . 则当 0 < |x| < δ, 有 0 ⩽     f(x) x     ⩽     Mx2 x     = |Mx| , 由夹逼原理知, limx→0 f(x) x = 0. 所以 O(x 2 ) = o(x) (x → 0). 例题 1.19 证明: 当 x → 0 时, 无穷小量 x sin 1 x 没有阶. 提示 考察 limx→0 x sin 1 x x α 即可. 可证得 α ⩾ 1 时极限不存在, α < 1 时极限值是 0. 例题 1.20 设 f(x) = m 1 − xm − n 1 − x n , m, n ∈ N ∗ , 求极限 limx→1 f(x). 解 令 y = x − 1, 则 lim y→0 f(1 + y) = limx→1 f(x). 我们有 f(1 + y) = m 1 − (1 + y)m − n 1 − (1 + y) n = m[1 − (1 + y) n ] − n[1 − (1 + y) m] [(1 + y)m − 1][(1 + y) n − 1] = n[my + m(m−1) 2 y 2 + o(y 2 )] − m[ny + n(n−1) 2 y 2 + o(y 2 )] nm(y + o(y))2 = mn 2 (m − n)y 2 + o(y 2 ) mn(y 2 + o(y 2 )) = m − n 2 + o(1) (y → 0). 所以 limx→1 f(x) = m − n 2 . 1.4 补充习题 1.4.1 A 组 1 求下列极限: (1) limn→∞ 1 n  1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n  ; (2) limn→∞ 1! + 2! + · · · + n! n! ; (3) limn→∞  1 − 1 2 2  1 − 1 3 2  · · ·  1 − 1 n2  ; (4) limx→0 (1 + x + x 2 ) 1/n − 1 sin 2x (n ∈ N ∗ ); (5) lim x→+∞ (sin √ x + 1 − sin √ x − 1); (6) limn→∞ sin(π √ n2 + 1); (7) limn→∞ cos x 2 cos x 4 · · · cos x 2 n ; (8) limx→0 1 − cos x cos 2x · · · cos nx x 2 (n ∈ N ∗ );

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限15 (9)lim(n+nn)a-n)(a∈(0,1)： 1l→●u (10)in 1 2 证明：数列{sinn}发散， 11 3 设am=1+2+3+…+元证明：数列{a}发散。 设常数a4,2,…,an满足a1+2++a=0.证明，im∑atmV+k=0, k=1 5 设数列{an}满足lim(a1+la2+…+an)=1.证明：极限1lim(a1+a2+…+an) 0￥ 存在. 1 6 设数列{an}满足0<an<1,且有不等式(1-an)an+1>4(n∈N),证明数列 {an}收敛，并求其极限。 7 设数列{m}是一个非负数列，满足n+1≤m+n∈N),证明：数列{}收敛 8 设数列{an}满足lima=0,证明：im1max{a}=0. n-oo n. n→07n1≤k≤n 9 设正项数列{a}满足im。a。一=0，证明：数列{a}无界 n→oan+1+an+2 10 设数列{cn}满足1im(cn-n-2）=0,证明：1imn--l=0. n→ n 1.4.2B组 1 求下列极限： (1)lim (n!e-[n!el); n- (2)m工m+, k=1 (3)lim +) k=1 (④元 2 证明：设数列{a}是正项有界数列，证明：织a1十2十+ an -=0 3对加∈时及a>1设a=1+是+京++司 .证明：数列{an}收敛 4 设a,b是给定的两个正数，且a>b>0.令ao=a,bo=b,数列{amn},{bn}满足 an=a=1十ba-,bn=Van-1bn-,n∈r.证明：1iman-=lim ba 2 n-+00 n→00 1 1 1 5设a.=1+万+后++ -2Vn,n∈N证明：数列{an}收敛. 6 设E是非空有上界的数集，且它的上确界a不在E中.求证：在E中存在数列{xn} 严格递增趋于a. 7设数列{xn}满足0<1<二（其中0<q≤1），并且xn+1=n(1-qn)(n∈N). 证明：mn= 8 设数列{yn}满足n=2an+n-1,证明：若{yn}收敛，则{xn}收敛

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 15 (9) limn→∞ ((n + ln n) α − n α ) (α ∈ (0, 1)); (10) lim x→+∞  sin 1 x + cos 1 x x . 2 证明: 数列 {sin n} 发散. 3 设 an = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . 证明: 数列 {an} 发散. 4 设常数 a1, a2, · · · , an 满足 a1 + a2 + · · · + an = 0. 证明: lim x→+∞ Xn k=1 ak sin √ x + k = 0. 5 设数列 {an} 满足 limn→∞ (|a1|+|a2|+· · ·+|an|) = 1. 证明: 极限 limn→∞ (a1 +a2 +· · ·+an) 存在. 6 设数列 {an} 满足 0 < an < 1, 且有不等式 (1 − an)an+1 > 1 4 (n ∈ N ∗ ). 证明数列 {an} 收敛, 并求其极限. 7 设数列 {xn} 是一个非负数列, 满足 xn+1 ⩽ xn + 1 n2 (n ∈ N ∗ ). 证明: 数列 {xn} 收敛. 8 设数列 {an} 满足 limn→∞ an n = 0, 证明: limn→∞ 1 n max 1⩽k⩽n {ak} = 0. 9 设正项数列 {an} 满足 limn→∞ an an+1 + an+2 = 0, 证明: 数列 {an} 无界. 10 设数列 {xn} 满足 limn→∞ (xn − xn−2) = 0, 证明: limn→∞ xn − xn−1 n = 0. 1.4.2 B 组 1 求下列极限: (1) limn→∞ (n!e − [n!e]); (2) limn→∞ Xn k=1 1 n + k ; (3) limn→∞ Yn k=1  1 + k n2  ; (4) limn→∞ n √n n! ; 2 证明: 设数列 {an} 是正项有界数列, 证明: limn→∞ an a1 + a2 + · · · + an = 0. 3 对 ∀n ∈ N ∗ 及 α > 1, 设 an = 1 + 1 2 α + 1 3 α + · · · + 1 nα . 证明: 数列 {an} 收敛. 4 设 a, b 是给定的两个正数, 且 a > b > 0. 令 a0 = a, b0 = b, 数列 {an}, {bn} 满足 an = an−1 + bn−1 2 , bn = p an−1bn−1, n ∈ N ∗ . 证明: limn→∞ an = limn→∞ bn. 5 设 an = 1 + 1 √ 2 + 1 √ 3 + · · · + 1 √ n − 2 √ n, n ∈ N ∗ . 证明: 数列 {an} 收敛. 6 设 E 是非空有上界的数集, 且它的上确界 a 不在 E 中. 求证: 在 E 中存在数列 {xn} 严格递增趋于 a. 7 设数列 {xn} 满足 0 < x1 < 1 q (其中 0 < q ⩽ 1), 并且 xn+1 = xn(1 − qxn)(n ∈ N ∗ ). 证明: limn→∞ nxn = 1 q . 8 设数列 {yn} 满足 yn = 2xn + xn−1, 证明: 若 {yn} 收敛, 则 {xn} 收敛

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限16 9 设数列{an},{bn}N,且满足a1=b1=l,an+1+V3bn+1=(an+V3bn)2,n∈N. 正明数列{仁}收敛并求出其极限值 10 设数列{z小，{}满足印m=0,且存在常数太，使得+咖++≤k 对所有n∈N*成立.令n=x1n+x2yn-1+·+xn班1.证明：limn=0. n→+00 11 (1)设函数f(x)在(0，+oo)上满足函数方程f(2x)=f(x),并且1imf(x)存在且有限. 证明：f(x)是常值函数； (2)a,b是两个大于1的常数，函数f:R→R在x=0的邻域内有界，并且对x∈R, 有f(ax)=bf(x).证明：imf(x)=f(o) 12设f(x)是定义在R上的函数且对任意x,y∈R,有 lxf()-yf(x川≤Mlx+Mll, 其中M>0.求证： (1)lim 收敛 (2)存在常数a使得对任意x,有f(x)-ax≤M. 13 记H=1+2++元(n∈N),用km表示使得H≥n成立的最小下标.证明： lim kn+l二e. n→okn 14 设数到a}满足a=1a=a1+),n=23求极限四广(+出) 1.4.3C组 1 设数列{an},满足an=1√1+V2+…+V元.证明：数列{an}收敛。 2 设数列}满足8-日)+（白）++( (1)证明：数列{Sn}单调递增且有界，从而imSn存在： n→00 (2)求lim Sn. n-+00 3 证明数列V,V7-V,√7-V7+V,√7-√7+√7-V7,…收敛，并求其极 限 4 设f()和g(x)是两个周期函数，且，1im(f(x)-g(x)=0.证明：f(x)=9(x) 5 设函数fo)满足1f()=0,且f)-f)=o()(c→0).证明：f)= o(x)(x→0) 6 (I)定义Dirichlet函数D(x)= 1,r∈Q证明：对n∈R,mD网不存在 0,xQ

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 16 9 设数列 {an} , {bn} ⊆ N ∗ , 且满足 a1 = b1 = 1, an+1 + √ 3bn+1 = (an + √ 3bn) 2 , n ∈ N ∗ . 证明: 数列  bn an  收敛, 并求出其极限值. 10 设数列 {xn}, {yn} 满足 lim n→+∞ xn = 0, 且存在常数 k, 使得 |y1|+|y2|+· · ·+|yn| ⩽ k 对所有 n ∈ N ∗ 成立. 令 zn = x1yn + x2yn−1 + · · · + xny1. 证明: lim n→+∞ zn = 0. 11 (1) 设函数 f(x) 在 (0, +∞) 上满足函数方程 f(2x) = f(x), 并且 lim x→+∞ f(x) 存在且有限. 证明: f(x) 是常值函数; (2) a, b 是两个大于 1 的常数, 函数 f : R → R 在 x = 0 的邻域内有界, 并且对 ∀x ∈ R, 有 f(ax) = bf(x). 证明: limx→0 f(x) = f(0). 12 设 f(x) 是定义在 R 上的函数且对任意 x, y ∈ R, 有 |xf(y) − yf(x)| ⩽ M |x| + M |y| , 其中 M > 0. 求证: (1) limx→∞ f(x) x 收敛; (2) 存在常数 a 使得对任意 x, 有 |f(x) − ax| ⩽ M. 13 记 Hn = 1 + 1 2 + · · · + 1 n (n ∈ N ∗ ), 用 kn 表示使得 Hk ⩾ n 成立的最小下标. 证明: limn→∞ kn+1 kn = e. 14 设数列 {an} 满足 a1 = 1, an = n(an−1+1), n = 2, 3 · · · . 求极限 limn→∞ Yn k=1  1 + 1 ak  . 1.4.3 C 组 1 设数列 {an}, 满足 an = r 1 + q 2 + · · · + √ n. 证明: 数列 {an} 收敛. 2 设数列 {Sn} 满足 Sn =  1 n n +  2 n n + · · · +  n − 1 n n . (1) 证明: 数列 {Sn} 单调递增且有界, 从而 limn→∞ Sn 存在; (2) 求 lim n→+∞ Sn. 3 证明数列 √ 7, q 7 − √ 7, r 7 − q 7 + √ 7, s 7 − r 7 + q 7 − √ 7, · · · 收敛, 并求其极 限. 4 设 f(x) 和 g(x) 是两个周期函数, 且 lim x→+∞ (f(x) − g(x)) = 0. 证明:f(x) = g(x). 5 设函数 f(x) 满足 limx→0 f(x) = 0, 且 f(x) − f( x 2 ) = o(x) (x → 0). 证明: f(x) = o(x) (x → 0) 6 (1) 定义 Dirichlet 函数 D(x) =    1, x ∈ Q, 0, x ̸∈ Q. 证明: 对 ∀x0 ∈ R, limx→x0 D(x) 不存在;