中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（试卷习题）数学分析（B1）习题课讲义（二）

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 目录V 目 录 序 I 前言 第1章极限 1 1.1关于书写规范的建议···. 义 1.1.1格式规范 1 1.1.2作业中的典型问题 1 1.2命题判断及推理.....·. 3 1.2.1A组....···· 3 1.2.2参考答案-A组 3 1.3专题选讲 4 1.3.1实数理论......... 5 1.3.2比值法&根值法 6 1.3.3比较数列收敛速度的万能工具.. 6 1.3.4 自然对数的底e.....·. 7 1.3.5由迭代生成的数列······· 9 1.3.6多数列关系下数列收敛性问题 10 1.3.7 Stolz定理的应用..····· 12 1.3.8无穷小量&无穷大量&阶 13 1.4补充习题 14 1.4.1A组.. 14 1.4.2B组.··. 15 1.4.3C组..... 16 第2章函数的连续性 19 21命题判断及推理... 19 2.1.1A组.....· 19 2.1.2B组...... 19 2.1.3参考答案-A组 19 2.1.4参考答案-B组 20 2.2专题选讲 20 2.2.1连续与一致连续 21 2.3补充习题 22

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 V 目 录 序 I 前言 III 第 1 章 极限 1 1.1 关于书写规范的建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 格式规范 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 作业中的典型问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 实数理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 比值法 & 根值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 比较数列收敛速度的万能工具 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4 自然对数的底 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.5 由迭代生成的数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6 多数列关系下数列收敛性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.7 Stolz 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.8 无穷小量 & 无穷大量 & 阶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 第 2 章 函数的连续性 19 2.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 连续与一致连续 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 目录VI 2.3.1A组..... 22 2.3.2B组···· 23 2.3.3C组..... 23 第3章一元微分学及其应用 25 3.1命题判断及推理... 25 3.1.1A组...... 25 3.1.2B组...... 25 3.1.3参考答案-A组 25 3.1.4参考答案-B组 25 3.2专题选讲·············· 26 3.2.1 利用递推关系计算高阶导数 26 3.2.2隐函数求导法.·。·.···· 27 3.2.3微分中值定理的应用.......... 27 3.2.4构造辅助函数“搭配”L'H6 spital法则 30 3.2.5凸函数...············ 30 3.2.6 Taylor展开的方法...··.·. 31 3.2.7 Taylor定理在函数估值中的应用 34 3.2.8 Taylor定理在Stolz定理中的应用 37 3.3补充习题 38 3.3.1A组..... 38 3.3.2B组·· 39 3.3.3C组..··· ·· 41 第4章期中部分知识梳理 43 4.1极限..········ 43 4.2单变量函数的连续性 45 4.3单变量函数的微分学 46 第5章不定积分 49 5.1专题选讲 49 5.1.1不定积分计算的特殊方法 49 5.1.2有理函数不定积分的代值法 50 5.1.3 Chebyshev型积分 。· 52 5.2补充习题 53 5.2.1A组... 53 5.2.2B组..... 54 第6章一元积分学及其应用 55 61命题判断及推理..... 55

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VI 2.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第 3 章 一元微分学及其应用 25 3.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 利用递推关系计算高阶导数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 隐函数求导法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.3 微分中值定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.4 构造辅助函数 “搭配” L’Höspital 法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.5 凸函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2.6 Taylor 展开的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.7 Taylor 定理在函数估值中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.8 Taylor 定理在 Stolz 定理中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 第 4 章 期中部分知识梳理 43 4.1 极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 单变量函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 单变量函数的微分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 第 5 章 不定积分 49 5.1 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.1 不定积分计算的特殊方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.2 有理函数不定积分的代值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1.3 Chebyshëv 型积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 第 6 章 一元积分学及其应用 55 6.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 目录VII 6.1.1A组....·. 55 6.1.2 B组.····· 55 6.1.3参考答案-A组 55 6.1.4参考答案-B组 55 6.2专题选讲 56 6.2.1原函数&可积函数.. 56 62.2变限积分........ 56 6.2.3 定积分计算的特殊方法 58 6.2.4积分不等式 ·· 61 6.2.5对含参型积分求极限. 65 6.2.6积分在数列极限中的应用 67 6.2.7 积分在函数估值中的应用 68 6.3补充习题 71 6.3.1A组.. 71 6.3.2B组. 72 6.3.3C组... 74 第7章无穷级数 75 7.1命题判断及推理. 75 7.1.1A组..... 75 7.1.2B组..····· 的 7.1.3参考答案-A组 76 7.1.4 参考答案-B组 77 7.2专题选讲 77 7.2.1 Raabe判别法.····· 77 7.2.2 Cauchy积分判别法 78 7.2.3函数项级数中的收敛&一致收敛&绝对收敛 79 7.2.4 一致收敛级数的应用 81 7.2.5 Cauchy乘积在幂级数中的应用 83 7.3补充习题 84 7.3.1A组.. 84 7.3.2B组.. 85 7.3.3 C组···· 87 第8章期末部分知识梳理 89 8.1不定积分 89 8.2单变量函数的积分学 89 8.3常微分方程 91 8.4无穷级数.... 93

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VII 6.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.1 原函数 & 可积函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.2 变限积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.3 定积分计算的特殊方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2.4 积分不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2.5 对含参型积分求极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2.6 积分在数列极限中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2.7 积分在函数估值中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 第 7 章 无穷级数 75 7.1 命题判断及推理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.1.3 参考答案 - A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.1.4 参考答案 - B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2 专题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.1 Raabe 判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.2.2 Cauchy 积分判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2.3 函数项级数中的收敛 & 一致收敛 & 绝对收敛 . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2.4 一致收敛级数的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.2.5 Cauchy 乘积在幂级数中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.3 补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 第 8 章 期末部分知识梳理 89 8.1 不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 单变量函数的积分学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.3 常微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.4 无穷级数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 目录VIII 第9章部分补充习题提示与解答 101 9.1 第1章.···· 101 9.1.1A组 101 9.1.2B组 102 9.1.3C组.. 106 9.2第2章... 107 9.2.1A组.. 107 9.2.2B组.. 108 9.2.3C组 110 9.3第3章..·. 110 9.3.1A组. 110 9.3.2B组 115 9.3.3C组.. 120 9.4 第5章.··· 122 9.4.1A组 122 9.4.2B组.· ...124 9.5第6章.... 124 9.5.1A组.. 124 9.5.2B组. ...127 9.5.3C组 129 9.6第7章.... 131 9.6.1A组. ,.·131 9.6.2B组 132 9.6.30组.. ,..133

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 目 录 VIII 第 9 章 部分补充习题提示与解答 101 9.1 第 1 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.1.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.1.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.2 第 2 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.2.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3 第 3 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.3.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.3.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 9.4 第 5 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.4.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.4.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5 第 6 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.5.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.5.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.6 第 7 章 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.6.1 A 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.6.2 B 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.6.3 C 组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

中国科学技术大学 数学分析(B1)习题课讲义 1极限1 第1章极限 1.1关于书写规范的建议 1.1.1格式规范 1言简意赅，切忌跳步不能省略关键步骤，同时也不要过度交代与题目无关的东西. 如，不要使用“显然”“易证”“易得”等词语跳过一些关键步骤，3更不要因为一些中间步骤难 以证明，试图通过“显然”来蒙混过关： 2依据充足，逻辑清晰必要时应当注明相应的定理、命题或结论，逻辑表述上一定要清 晰且准确.如，在推导过程中，添加“由定理知”“要证明A,只需证明B.”“往证：”等字 眼； 3语言规范，符号得当使用数学化的语言，避免口语化的描述.必要时可合理选用规范 的逻辑符号或其他数学符号： 4从模仿做起对于格式规范的练习，最好的参照就是教材上的例题，应当仔细研究教 材例题上数学语言的叙述方式，并根据自身情况进行适当的模仿和训练， 1.1.2作业中的典型问题 1数学归纳法的书写格式不规范 例题1.1(Bernoulli不等式)设x≥-1，n≥1是正整数，则有 (1+x)m≥1+nx. 证明用数学归纳法证明上述命题成立 (1)当n=1时，命题成立： (2)假设n=k(≥1)时，命题成立，即(1+x)k≥1+kx,下证：结论对n=k+1也 成立 当n=k+1时，由归纳假设知 (1+x)+1≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x, 即，n=k+1时，命题也成立. 由(1)(2)及数学归纳法知，结论对任意n∈N*成立. 口 上述过程展示了规范的数学归纳法书写格式，其中黑体加粗的四个步骤及归纳假设成立 的推断过程一定不能省略， 3如果这一结论确实显然，那当然可以这么写

中国科学技术大学 数学分析 (B1) 习题课讲义 1 极限 1 第 1 章 极限 1.1 关于书写规范的建议 1.1.1 格式规范 1 言简意赅, 切忌跳步 不能省略关键步骤, 同时也不要过度交代与题目无关的东西. 如, 不要使用 “显然” “ 易证” “易得” 等词语跳过一些关键步骤, 3 更不要因为一些中间步骤难 以证明, 试图通过 “ 显然” 来蒙混过关; 2 依据充足, 逻辑清晰 必要时应当注明相应的定理、命题或结论, 逻辑表述上一定要清 晰且准确. 如, 在推导过程中, 添加 “由定理…知…” “要证明 A, 只需证明 B. ” “ 往证: …” 等字 眼; 3 语言规范, 符号得当 使用数学化的语言, 避免口语化的描述. 必要时可合理选用规范 的逻辑符号或其他数学符号; 4 从模仿做起 对于格式规范的练习, 最好的参照就是教材上的例题, 应当仔细研究教 材例题上数学语言的叙述方式, 并根据自身情况进行适当的模仿和训练. 1.1.2 作业中的典型问题 1 数学归纳法的书写格式不规范 例题 1.1 (Bernoulli 不等式) 设 x ⩾ −1, n ⩾ 1 是正整数, 则有 (1 + x) n ⩾ 1 + nx. 证明 用数学归纳法证明上述命题成立. (1) 当 n = 1 时, 命题成立; (2) 假设 n = k (⩾ 1) 时, 命题成立, 即 (1 + x) k ⩾ 1 + kx, 下证: 结论对 n = k + 1 也 成立. 当 n = k + 1 时, 由归纳假设知 (1 + x) k+1 ⩾ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 ⩾ 1 + (k + 1)x, 即, n = k + 1 时, 命题也成立. 由 (1)(2) 及数学归纳法知, 结论对任意 n ∈ N ∗ 成立. 上述过程展示了规范的数学归纳法书写格式, 其中黑体加粗的四个步骤及归纳假设成立 的推断过程一定不能省略. 3如果这一结论确实显然, 那当然可以这么写