数学 必修第一册 配人教B版 ②是真命题：③例如整数6，它的因数有1,2,3,6，故③是 5.用量词符号“H”“3”表述下列命题 假命题：④是真命题 (1)凸n边形的外角和等于360°： 答案②④ (2)有一个有理数x。满足x=5. 4.命题“存在实数x,使x十1<0”可写成 解(1)Hx∈{xx是凸n边形}，x的外角和等于360° 答案3x∈R,x十1<0 (2)3x∈Q,x=5. 课后·训练提升 1下列语句不是命题的是( 子集.其中真命题的个数为() A.地球是太阳系的行星 B.等腰三角形的两底角相等 A.0 B.1 C.2 D.3 C.今天会下雨吗？ D.菱形的四条边都相等 解析取特殊值m=0,知①是假命题：②当△=4十4a< 解析C是疑问句，不是命题. 0,即a<一1时，抛物线与工轴无交点，所以②是假命题： 答案C 由A二B,B二A,可得A=B,所以③是真命题：④是真命 2.下列命题是真命题的是( 题.故选C A.{}是空集 答案C B.{x∈NIx一1<3}是无限集 6.命题“有些负数满足不等式(1十x)(1一9x)>0”用“3”或 C.π是有理数 “H”可表述为」 D.x2-5x=0的根是自然数 答案3x0<0,(1十xo)(1-9xa)>0 解析{0}中有一个元素⑦，故{必}不是空集：{x∈N 7.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题：p(2)是真 |x-1<3}={0,1,2,3}是有限集；π是无理数；x2 命题，则实数m的取值范围是」 5.x=0的根是0和5，都是自然数. 解析由p(1)为假命题，p(2)是真命题， 答案D 得+2m≤0 解得3m<8. 3.下列命题中，与其他命题不同的命题是( 4+4-m>0, A.有一个平行四边形是菱形 答案[3,8) B.任何一个平行四边形是菱形 8.判断下列语句是不是命题.若是，判断其真假，并说明理由. C.某些平行四边形是菱形 (1)一次函数是正比例函数吗？ D.有的平行四边形是矩形 (2)所有正比例函数都是一次函数： 解析A,C,D是存在量词命题，B是全称量词命题， (3)存在△ABC,∠A+∠B+∠C=150° 答案B 解(1)是疑问句，故不是命题 4.设p(x):x>x2,则下列说法错误的是( (2)是真命题. A.“Hx∈R,p(x)”是假命题 因为正比例函数y=k.x(k≠0)是一次函数y=kx十 B.p(3)是假命题 b(k≠0)的特殊形式」 C.“3x∈R,p(x)”是假命题 (3)是假命题.因为任意三角形的内角和都是180°， D.“了x∈R,p(x)”是真命题 9.已知r(x):x2>m:s(x):m≤1十|xl.如果对Hx∈R,r(x）) 解析当x=0.1时，0.12<0.1：当x=1时，1=12：当 与s(x)有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. x=3时，3<32.故选C 解若r(x)为真命题，则m<0: 答案C 若s(x)为真命题，则m≤1. 5.下列命题：①关于x的方程m.x2十2x一1=0是一元二次 因为r(x)与s(x)有且只有一个是真命题，所以0 方程；②抛物线y=ax2+2x一1与x轴至少有一个交点； m1. ③互相包含的两个集合相等：④空集是任何非空集合的真 故实数m的取值范围为0m1 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 1.了解命题的否定，能对一个命题进行否定」 课标定位 2.掌握全称量词命题、存在量词命题的否定，并理解命题与其命题的否定之间的真假关系， 素养阐释 3.体会数学抽象的过程和培养逻辑推理能力. 26
数 学 必修 第一册 配人教B版 ②是真命题;③例如整数6,它的因数有1,2,3,6,故③是 假命题;④是真命题. 答案 ②④ 4.命题“存在实数x,使x+1<0”可写成 . 答案 ∃x∈R,x+1<0 5.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题. (1)凸n边形的外角和等于360°; (2)有一个有理数x0 满足x 2 0=5. 解 (1)∀x∈{x|x 是凸n边形},x 的外角和等于360°. (2)∃x0∈Q,x 2 0=5. 课后 ·训练提升 1.下列语句不是命题的是( ) A.地球是太阳系的行星 B.等腰三角形的两底角相等 C.今天会下雨吗? D.菱形的四条边都相等 解析 C是疑问句,不是命题. 答案 C 2.下列命题是真命题的是( ) A.{⌀}是空集 B.{x∈N||x-1|<3}是无限集 C.π是有理数 D.x2-5x=0的根是自然数 解析 {⌀}中有一个元素⌀,故{⌀}不是空集;{x∈N| |x-1|<3}={0,1,2,3}是有限集;π是无理数;x2 - 5x=0的根是0和5,都是自然数. 答案 D 3.下列命题中,与其他命题不同的命题是( ) A.有一个平行四边形是菱形 B.任何一个平行四边形是菱形 C.某些平行四边形是菱形 D.有的平行四边形是矩形 解析 A,C,D是存在量词命题,B是全称量词命题. 答案 B 4.设p(x):x>x2,则下列说法错误的是( ) A.“∀x∈R,p(x)”是假命题 B.p(3)是假命题 C.“∃x∈R,p(x)”是假命题 D.“∃x∈R,p(x)”是真命题 解析 当x=0.1时,0.12<0.1;当x=1时,1=12;当 x=3时,3<32.故选C. 答案 C 5.下列命题:①关于x 的方程mx2+2x-1=0是一元二次 方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x 轴至少有一个交点; ③互相包含的两个集合相等;④空集是任何非空集合的真 子集.其中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 取特殊值m=0,知①是假命题;②当Δ=4+4a< 0,即a<-1时,抛物线与x 轴无交点,所以②是假命题; 由A⊆B,B⊆A,可得A=B,所以③是真命题;④是真命 题.故选C. 答案 C 6.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或 “∀”可表述为 . 答案 ∃x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0 7.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题;p(2)是真 命题,则实数m 的取值范围是 . 解析 由p(1)为假命题,p(2)是真命题, 得 1+2-m≤0, 4+4-m>0, 解得3≤m<8. 答案 [3,8) 8.判断下列语句是不是命题.若是,判断其真假,并说明理由. (1)一次函数是正比例函数吗? (2)所有正比例函数都是一次函数; (3)存在△ABC,∠A+∠B+∠C=150°. 解 (1)是疑问句,故不是命题. (2)是真命题. 因为正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+ b(k≠0)的特殊形式. (3)是假命题.因为任意三角形的内角和都是180°. 9.已知r(x):x2>m;s(x):m≤1+|x|.如果对∀x∈R,r(x) 与s(x)有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围. 解 若r(x)为真命题,则m<0; 若s(x)为真命题,则m≤1. 因为r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以0≤ m≤1. 故实数m 的取值范围为0≤m≤1. 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 课标定位 素养阐释 1.了解命题的否定,能对一个命题进行否定. 2.掌握全称量词命题、存在量词命题的否定,并理解命题与其命题的否定之间的真假关系. 3.体会数学抽象的过程和培养逻辑推理能力. 26
第一章集合与常用逻辑用语 课前·基础认知 一、命题的否定 一q:任意点M都不在抛物线y=x2上，是假命题， 【问题思考】 3.填表 1.试说出“命题p:1是方程|x|=1的根”与“命题g:1 项目 全称量词命题 存在量词命题 不是方程引x=1的根”的关系，并判断p,9的真假， 提示命题q是对命题p的否定，同时命题p也是对 Vx∈M,g(x) 3x∈M,p(x) 命题g的否定，p是真命题，g是假命题. 一p 3x∈M,7q(x) Hx∈M,p(x) 2填空：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的 命题，记作“一p”,读作“非p”或“p的否定” 真假关系 命题与其命题的否定一真一假 3.命题p与7p的真假有什么关系？ 4.做一做：写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假. 提示p与一p必是一真一假. (1)p:设A是所有角组成的集合，则H0∈A,sin0≠ 1 4.做一做： 29 (1)若p:{2}是{1,2}的子集，则p是 2g:3u∈Ra- (2)若q:52=25,则g是 命题.（填“真” 解(1)p:设A是所有角组成的集合，则30∈A, 或“假”) 答案(1){2}不是{1,2}的子集(2)假 sin =1 是真命题 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 (2)g:Va∈Ra≠上，是假命题， 【问题思考】 【思考辨析】 已知命题p:任何有理数都是实数；q:存在点M在抛 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 物线y=x2上 “√”，错误的画“X”. 1.指出命题p,g是存在量词命题还是全称量词命题， (1)有些命题与其否定都是真命题 (×) 并判断其真假， (2)任何命题都有它的否定 (√) 提示p是全称量词命题，是真命题：9是存在量词命 (3)全称量词命题的否定一定是存在量词命题.（√） 题，是真命题， (4)无论全称量词命题还是存在量词命题，命题和其命 2.写出7p和一g,并判断其真假 题的否定都是一真一假. () 提示一p:存在有理数不是实数，是假命题， 课堂 ·重难突破 【变式训练1】写出下列命题p的否定，并判断一p的 探究一 “一p”形式的命题及真假判断 真假. 【例1】写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p:y=3x-2是一次函数； (2)p:二次函数y=x2十3的图象关于x轴对称 (1)p:5是有理数： 解(1)7p:y=3x一2不是一次函数，是假命题. (2)p:5不是75的约数： (2)p:二次函数y=x2十3的图象不关于x轴对称， (3)p:7<8: 是真命题」 (4)p:5+6≠11. 解(1)一p:5不是有理数.命题p是假命题，一p是 探究二存在量词命题的否定 真命题 【例2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定 (2)一p:5是75的约数命题p是假命题，一p是真命题 的真假： (3)一p:7≥8.命题p是真命题，7p是假命题. (1)3x∈R,x2+2x+3≤0： (4)一p:5十6=11.命题p是假命题，一p是真命题， (2)至少有一个实数x,使x3十1=0： 飞反思感悟〉 (3)3x,y∈Z,使得√2x十y=3. 对命题p进行全盘否定得到一p,故p与一p一 分析先将存在量词命题改为全称量词命题，再否定其 真一假.对于形如“若p,则g”的命题，其否定为“若p, 结论 则7g” 解(1)命题的否定：Hx∈R,x2十2x十3>0. 27
第一章 集合与常用逻辑用语 课前 ·基础认知 一、命题的否定 【问题思考】 1.试说出“命题p:1是方程|x|=1的根”与“命题q:1 不是方程|x|=1的根”的关系,并判断p,q的真假. 提示 命题q是对命题p 的否定,同时命题p 也是对 命题q的否定,p 是真命题,q是假命题. 2.填空:一般地,对命题p 加以否定,就得到一个新的 命题,记作“p”,读作“非p”或“p 的否定”. 3.命题p 与p 的真假有什么关系? 提示 p 与p 必是一真一假. 4.做一做: (1)若p:{2}是{1,2}的子集,则p 是 . (2)若q:52=25,则q 是 命题.(填“真” 或“假”) 答案 (1){2}不是{1,2}的子集 (2)假 二、全称量词命题与存在量词命题的否定 【问题思考】 已知命题p:任何有理数都是实数;q:存在点 M 在抛 物线y=x2 上. 1.指出命题p,q是存在量词命题还是全称量词命题, 并判断其真假. 提示 p 是全称量词命题,是真命题;q 是存在量词命 题,是真命题. 2.写出p 和q,并判断其真假. 提示 p:存在有理数不是实数,是假命题. q:任意点M 都不在抛物线y=x2 上,是假命题. 3.填表: 项目 全称量词命题 存在量词命题 p ∀x∈M,q(x) ∃x∈M,p(x) p ∃x∈M,q(x) ∀x∈M,p(x) 真假关系 命题与其命题的否定一真一假 4.做一做:写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)p:设A 是所有角组成的集合,则∀θ∈A,sinθ≠ 1 2 ; (2)q:∃a∈R,a= 1 a . 解 (1)p:设A 是所有角组成的集合,则∃θ∈A, sinθ= 1 2 ,是真命题. (2)q:∀a∈R,a≠ 1 a ,是假命题. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)有些命题与其否定都是真命题. (×) (2)任何命题都有它的否定. (√) (3)全称量词命题的否定一定是存在量词命题. (√) (4)无论全称量词命题还是存在量词命题,命题和其命 题的否定都是一真一假. (√) 课堂 ·重难突破 探究一 “p”形式的命题及真假判断 【例1】写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:3是有理数; (2)p:5不是75的约数; (3)p:7<8; (4)p:5+6≠11. 解 (1)p:3不是有理数.命题p 是假命题,p 是 真命题. (2)p:5是75的约数.命题p是假命题,p是真命题. (3)p:7≥8.命题p 是真命题,p 是假命题. (4)p:5+6=11.命题p 是假命题,p 是真命题. 对命题p 进行全盘否定得到p,故p 与p 一 真一假.对于形如“若p,则q”的命题,其否定为“若p, 则q”. 【变式训练1】写出下列命题p 的否定,并判断p 的 真假. (1)p:y=3x-2是一次函数; (2)p:二次函数y=x2+3的图象关于x 轴对称. 解 (1)p:y=3x-2不是一次函数,是假命题. (2)p:二次函数y=x2+3的图象不关于x 轴对称, 是真命题. 探究二 存在量词命题的否定 【例2】写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定 的真假: (1)∃x∈R,x2+2x+3≤0; (2)至少有一个实数x,使x3+1=0; (3)∃x,y∈Z,使得 2x+y=3. 分析 先将存在量词命题改为全称量词命题,再否定其 结论. 解 (1)命题的否定:∀x∈R,x2+2x+3>0. 27
数学 必修第一册 配人教B版 Vx∈R,x2+2x十3=(x十1)2+2≥2>0恒成立， 反思感悟 命题的否定为真命题 对全称量词命题否定的步骤： (2)命题的否定：Hx∈R,x3+1≠0. (1)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词」 当x=一1时，x3十1=0，∴.命题的否定为假命题. (2)否定性质：原命题中的“q(x)成立”改为 (3)命题的否定：Hx,y∈Z,瓦x十y≠3. “7q(x)成立” 当x=0,y=3时，√2x十y=3, 【变式训练3】写出下列命题的否定： 命题的否定是假命题. (1)所有矩形的对角线相等： 飞反思感悟 (2)Va,b∈R,方程ax=b都有唯一解： 1.对存在量词命题否定的步骤： (3)可以被5整除的整数的末位是0. (1)改变量词：把存在量词改为恰当的全称量词. 解(1)有的矩形的对角线不相等。 (2)否定性质：原命题中的“p(x)成立”否定为 (2)3a,b∈R,使方程a.x=b的解不唯一或不存在】 “p(x)成立”. (3)存在被5整除的整数的末位不是0. 2.存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假 性与存在量词命题相反，要说明一个存在量词命题是 易错辨析 真命题，只要举出一个实例即可。 因不能正确理解“一p”的含义致错 【变式训练2】写出下列存在量词命题的否定，并判断 其否定的真假： 【典]已知p:,三今>0，求对应的：值的集合。 (1)有些偶数是质数； 3 3 错解由p:2>0,得7p:z-2≤0，解得x<2, (2)某些平行四边形是正方形： 故7p对应的x值的集合为{xx<2. (3)存在xy∈Z,使得5x十2y=4. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 解(1)命题的否定是：所有偶数都不是质数. 你如何改正？你如何防范？ 由于2是偶数也是质数，因此命题的否定为假命题， 提示若p对应集合A,则一p对应A在全集U中的 (2)命题的否定是：每一个平行四边形都不是正方形. 补集CA.本题因对一p理解不正确致错. 由于正方形是平行四边形，因此命题的否定是假命题」 (3)命题的否定是：任意x,y∈Z,3x十2y≠4. 正解由，2>0，得>2 由于当x=0,y=2时，√3x十2y=4, 故一p对应的x值的集合为{x|x2} 因此命题的否定是假命题 飞防范措施 对“一p”的理解，可以联想集合中的“补集”概念. 探究三全称量词命题的否定 当力为真命题时，一p为假命题：当p为假命题时， 门p为真命题！ 【例3】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°： 随堂训练。。。。。。。● (2)每个二次函数的图象都开口向下： (3)任何一个平行四边形的对边都平行： 1.命题“2019=2020”的否定是( (4)负数的平方是正数， A.2019=2020 B.2019<2020 分析全称量词命题的否定，一要改为存在量词命题， C.2019>2020 D.2019≠2020 二要否定结论 答案D 2.命题“Hx>0.都有x2一x≤0”的否定是( 解(1)是全称量词命题，且为真命题 A.3x>0.使得x2一x0 命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个 B.3x>0,使得x2-x>0 三角形，它的内角和不等于180° C.Hx>0,使得x2-x>0 (2)是全称量词命题，且为假命题」 D.Hx≤0，使得x2-x>0 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下 (3)是全称量词命题，且为真命题. 答案B 命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行 3.命题“3x∈Q,√丘是无理数”的否定是 (4)是全称量词命题，且为真命题. 命题的否定：某个负数的平方不是正数， 答案Hx∈Q,√丘不是无理数 延伸探究 4.若“3x<2020,x>a”是假命题，则实数a的取值范围是 试写出命题：“Hx∈R,3a∈N,x2>a”的否定. 解命题的否定是：3x∈R,Ha∈N,x2≤a 答案[2020，十∞) 28
数 学 必修 第一册 配人教B版 ∵∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立, ∴命题的否定为真命题. (2)命题的否定:∀x∈R,x3+1≠0. ∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题的否定为假命题. (3)命题的否定:∀x,y∈Z,2x+y≠3. ∵当x=0,y=3时,2x+y=3, ∴命题的否定是假命题. 1.对存在量词命题否定的步骤: (1)改变量词:把存在量词改为恰当的全称量词. (2)否定性质:原命题中的“p(x)成立”否定为 “p(x)成立”. 2.存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假 性与存在量词命题相反.要说明一个存在量词命题是 真命题,只要举出一个实例即可. 【变式训练2】写出下列存在量词命题的否定,并判断 其否定的真假: (1)有些偶数是质数; (2)某些平行四边形是正方形; (3)存在x,y∈Z,使得 3x+2y=4. 解 (1)命题的否定是:所有偶数都不是质数. 由于2是偶数也是质数,因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定是:每一个平行四边形都不是正方形. 由于正方形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是:任意x,y∈Z,3x+2y≠4. 由于当x=0,y=2时,3x+2y=4, 因此命题的否定是假命题. 探究三 全称量词命题的否定 【例3】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)任何一个平行四边形的对边都平行; (4)负数的平方是正数. 分析 全称量词命题的否定,一要改为存在量词命题, 二要否定结论. 解 (1)是全称量词命题,且为真命题. 命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个 三角形,它的内角和不等于180°. (2)是全称量词命题,且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下. (3)是全称量词命题,且为真命题. 命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行. (4)是全称量词命题,且为真命题. 命题的否定:某个负数的平方不是正数. 试写出命题:“∀x∈R,∃a∈N,x2>a”的否定. 解 命题的否定是:∃x∈R,∀a∈N,x2≤a. 对全称量词命题否定的步骤: (1)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词. (2)否 定 性 质:原 命 题 中 的 “q(x)成 立”改 为 “q(x)成立”. 【变式训练3】写出下列命题的否定: (1)所有矩形的对角线相等; (2)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (3)可以被5整除的整数的末位是0. 解 (1)有的矩形的对角线不相等. (2)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. (3)存在被5整除的整数的末位不是0. 易 错 辨 析 因不能正确理解“p”的含义致错 【典例】已知p: 3 x-2 >0,求p 对应的x 值的集合. 错解 由p: 3 x-2 >0,得p: 3 x-2 ≤0,解得x<2. 故p 对应的x 值的集合为{x|x<2}. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 若p 对应集合A,则p 对应A 在全集U 中的 补集∁UA.本题因对p 理解不正确致错. 正解 由 3 x-2 >0,得x>2. 故p 对应的x 值的集合为{x|x≤2}. 对“p”的理解,可以联想集合中的“补集”概念. 当p 为真命题时,p 为假命题;当p 为假命题时, p 为真命题. 随堂训练 1.命题“2019=2020”的否定是( ) A.2019=2020 B.2019<2020 C.2019>2020 D.2019≠2020 答案 D 2.命题“∀x>0,都有x2-x≤0”的否定是( ) A.∃x>0,使得x2-x≤0 B.∃x>0,使得x2-x>0 C.∀x>0,使得x2-x>0 D.∀x≤0,使得x2-x>0 答案 B 3.命题“∃x∈Q,x是无理数”的否定是 . 答案 ∀x∈Q,x不是无理数 4.若“∃x<2020,x>a”是假命题,则实数a 的取值范围是 . 答案 [2020,+∞) 28
第一章集合与常用逻辑用语 5.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假。 解(1)7p:3x∈R,3x2+19≤0，是假命题 (1)p:Hx∈R,3x2+19>0: (2)p:Hx,y∈R,√x-2+ly-1|≠0，是假命题. (2)p:3x,y∈R,√x-2+|y-1|=0. 课后·训练提升 L.若命题p:函数y=1-x2的图象过点(-3,2)，则p与p 存在量词命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数” 的真假情况是() 答案D A.都是真命题 5.若“3x。∈R,x十m=0”为假命题，则实数m的取值范围 B.都是假命题 是 C.p真，7p假 解析由题意，得“Hx∈R,x2十m≠0”为真命题，即x2十 D.p假，p真 m≠0恒成立，故1>0. 解析：p与门p必一真一假，而p是假命题， 答案(0，十∞) .一p必为真命题 6.命题“3a∈R,使得关于x的方程a.x十5=0有解”的否定 答案D 是 2.若命题p:“存在实数m,使方程x2十mx十1=0有实数 答案Ha∈R,关于x的方程ax十5=0无解 根”，则“一p”形式的命题是() A.存在实数m,使方程x2+m.x十1=0无实根 7.若命题p:“任何直角三角形都不是等腰三角形”，则一p 是 B.不存在实数m,使方程x2+m.x十1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2十m.x十1=0无实根 答案存在某个直角三角形是等腰三角形 D.至多有一个实数m,使方程x2十m.x十1=0有实根 8.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假」 解析由于命题p是存在量词命题，因此其否定应为全称 (1)q:存在一个实数x。使得x十x。十1≤0： (2)r:等圆的面积相等，周长相等。 量词命题」 答案C 解(1)这一命题的否定形式是q:对所有实数x,都有 x2+x+1>0. 3.命题p:“Hx∈Z,2x是偶数”的否定？p为( 利用配方法可以证得一（是真命题 A.Hx∈Z,2x不是偶数 (2)这一命题的否定形式是一r:存在一对等圆，其面 B.3xo∈Z,2x0是偶数 积不相等或周长不相等 C.Hx任Z,2x是奇数 由平面几何知识知一r是假命题. D.3xo∈Z,2xo不是偶数 9.已知p:Hx∈[1,2]，函数y=x十m(m∈R)的图象在x 解析全称量词命题的否定是存在量词命题 轴的上方：q:3m∈R,函数y=x2+2m一1(m∈R)的图 答案D 象上有点(x,y)在x轴的下方.若p,q都是真命题，求m 4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( 的取值范围。 A,所有不能被2整除的整数都是偶数 解若p为真命题，则1十m>0,解得m>-1: B.所有能被2整除的整数都不是偶数 若g为真命题，则2m-1<0,解得m< 1 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析由于全称量词命题的否定是存在量词命题，“所有 因为户9态是真命题，所以m的取值范周是（一1，号》， 能被2整除的整数都是偶数”是全称量词命题，其否定为 1.2.3 充分条件、必要条件 1.了解推出的含义 课标定位 2理解充分条件和必要条件的意义 素养阐释 3.掌握判断充分条件、必要条件及充要条件的方法」 4.培养数学运算能力和逻辑推理能力。 29
第一章 集合与常用逻辑用语 5.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)p:∀x∈R,3x2+19>0; (2)p:∃x,y∈R, x-2+|y-1|=0. 解 (1)p:∃x∈R,3x2+19≤0,是假命题. (2)p:∀x,y∈R, x-2+|y-1|≠0,是假命题. 课后 ·训练提升 1.若命题p:函数y=1-x2 的图象过点(-3,2),则p 与p 的真假情况是( ) A.都是真命题 B.都是假命题 C.p 真,p 假 D.p 假,p 真 解析 ∵p 与p 必一真一假,而p 是假命题, ∴p 必为真命题. 答案 D 2.若命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数 根”,则“p”形式的命题是( ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根 解析 由于命题p 是存在量词命题,因此其否定应为全称 量词命题. 答案 C 3.命题p:“∀x∈Z,2x 是偶数”的否定p 为( ) A.∀x∈Z,2x 不是偶数 B.∃x0∈Z,2x0 是偶数 C.∀x∉Z,2x 是奇数 D.∃x0∈Z,2x0 不是偶数 解析 全称量词命题的否定是存在量词命题. 答案 D 4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析 由于全称量词命题的否定是存在量词命题,“所有 能被2整除的整数都是偶数”是全称量词命题,其否定为 存在量词命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”. 答案 D 5.若“∃x0∈R,x 2 0+m=0”为假命题,则实数m 的取值范围 是 . 解析 由题意,得“∀x∈R,x2+m≠0”为真命题,即x2+ m≠0恒成立,故m>0. 答案 (0,+∞) 6.命题“∃a∈R,使得关于x 的方程ax+5=0有解”的否定 是 . 答案 ∀a∈R,关于x 的方程ax+5=0无解 7.若命题p:“任何直角三角形都不是等腰三角形”,则p 是 . 答案 存在某个直角三角形是等腰三角形 8.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)q:存在一个实数x0,使得x 2 0+x0+1≤0; (2)r:等圆的面积相等,周长相等. 解 (1)这一命题的否定形式是q:对所有实数x,都有 x2+x+1>0. 利用配方法可以证得q是真命题. (2)这一命题的否定形式是r:存在一对等圆,其面 积不相等或周长不相等. 由平面几何知识知r是假命题. 9.已知p:∀x∈[1,2],函数y=x+m(m∈R)的图象在x 轴的上方;q:∃m∈R,函数y=x2+2m-1(m∈R)的图 象上有点(x,y)在x 轴的下方.若p,q都是真命题,求m 的取值范围. 解 若p 为真命题,则1+m>0,解得m>-1; 若q为真命题,则2m-1<0,解得m< 1 2 . 因为p,q都是真命题,所以m 的取值范围是 -1, 1 2 . 1.2.3 充分条件、必要条件 课标定位 素养阐释 1.了解推出的含义. 2.理解充分条件和必要条件的意义. 3.掌握判断充分条件、必要条件及充要条件的方法. 4.培养数学运算能力和逻辑推理能力. 29
数学 必修第一册 配人教B版 课前·基础认知 一、命题的结构和推出的含义 (1)p:x=y,9:x|=lyl: 【问题思考】 (2)p:A二Q,q:A二N 根据给出的命题回答问题： 解(1)p→g, (1)p:若|x|>5,则x>5: ∴.p是q的充分条件，g是p的必要条件 (2)q:若a>m,则a十1>m (2)q→p, 1.上述命题的条件和结论各是什么？ q是p的充分条件，p是q的必要条件. 提示(1)条件是|x>5,结论是x>5. 三、充要条件 (2)条件是a>m,结论是a十1>m. 【问题思考】 2.在上述命题中，由条件能否得到其结论？ 1.已知p:两个三角形的对应边相等，q:这两个三角形 提示(1)不能.(2)能 全等.试判断p是q的什么条件，g是p的什么条件 3.填空：(1)在“如果p,那么g”形式的命题中，2称为 提示：p→q,且q→p, 命题的条件，g称为命题的结论。 p是q的充分条件，也是q的必要条件：q是p的充 (2)若“如果p,那么g”是一个真命题，则称由p可以推 分条件，也是p的必要条件 出q,记作p→g,读作“p推出q”;否则，称p推不出q,记作 2.填空：(1)如果p→g,且q中p,则称卫是g的充分不 “p中g”,读作“p推不出g” 必要条件。 4.做一做：用符号“→”或“≯”表示下列命题 (2)如果p中q,且q→p,则称卫是q的必要不充分条件 (1)两直线平行，同位角相等： (3)如果p→q,且q→p,则称p是q的充分必要条件 (2)若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等 (简称为充要条件)，记作p台g,此时，也读作“p与q等价” 解(1)两直线平行→同位角相等 “p当且仅当g”. (2)两个三角形的对应角相等中这两个三角形全等. 3.当p是q的充要条件时，g是p的什么条件？ 二、充分条件、必要条件 提示充要条件」 【问题思考】 4,做一做：试说出p是q的什么条件。 1.由“四边形是矩形”能推出“它的对角线相等”吗？反 (1)p:A二B,且B二A,g:A=B: 之呢？ (2)p:x∈(-o∞，0)，q:x∈R: 提示四边形是矩形→它的对角线相等：四边形的对角 (3)p:y是关于x的一次函数9：y是关于x的正比例函数 线相等≯四边形是矩形. 解(1)充要条件. 此时，“四边形是矩形”是“该四边形的对角线相等”的 (2)充分不必要条件】 充分条件，“四边形的对角线相等”是“该四边形是矩形”的必 (3)必要不充分条件。 要条件 【思考辨析】 2.填空：当p→q时，我们称p是q的充分条件，g是p 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画 的必要条件：当p≯g时，我们称p不是q的充分条件，q不 “、/”,错误的画“X” 是p的必要条件. (1)△ABC是等腰三角形→△ABC是正三角形.(X) 3.当“若p,则q”是真命题时，p是q的 条 (2)当p→g,且q≯p时，p是q的充分不必要条件. 件，q是p的 条件.（填“充分”或“必要”） (/) 提示由“若p,则g”是真命题，得p→g,故需依次填 (3)若A={x|p(x)},B={x|g(x)》,且A≤B,则 入：充分、必要 p(x)→g(x). (/) 4.做一做：判断下列各题中，p是q的什么条件，9是p (4)若m是n的充要条件，则m一定是n的充分条件， 的什么条件。 但不一定是n的必要条件. (×) 课堂 重难突破 (2)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除： 探究一充分条件、必要条件的判断 (3)p:x>1,q:x2>1. 【例1】指出下列各题中，p是g的什么条件.（充分不必 分析分清p,9 下结论 要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件) →p? (1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2: 解(1)因为命题“若(x一2)(x一3)=0，则x=2”是假 30
数 学 必修 第一册 配人教B版 课前 ·基础认知 一、命题的结构和推出的含义 【问题思考】 根据给出的命题回答问题: (1)p:若|x|>5,则x>5; (2)q:若a>m,则a+1>m. 1.上述命题的条件和结论各是什么? 提示 (1)条件是|x|>5,结论是x>5. (2)条件是a>m,结论是a+1>m. 2.在上述命题中,由条件能否得到其结论? 提示 (1)不能.(2)能. 3.填空:(1)在“如果p,那么q”形式的命题中,p 称为 命题的条件,q称为命题的结论. (2)若“如果p,那么q”是一个真命题,则称由p 可以推 出q,记作p⇒q,读作“p 推出q”;否则,称p 推不出q,记作 “p⇒/q”,读作“p 推不出q”. 4.做一做:用符号“⇒”或“⇒/”表示下列命题. (1)两直线平行,同位角相等; (2)若两个三角形的对应角相等,则这两个三角形全等. 解 (1)两直线平行⇒同位角相等. (2)两个三角形的对应角相等⇒/这两个三角形全等. 二、充分条件、必要条件 【问题思考】 1.由“四边形是矩形”能推出“它的对角线相等”吗? 反 之呢? 提示 四边形是矩形⇒它的对角线相等;四边形的对角 线相等⇒/四边形是矩形. 此时,“四边形是矩形”是“该四边形的对角线相等”的 充分条件,“四边形的对角线相等”是“该四边形是矩形”的必 要条件. 2.填空:当p⇒q时,我们称p 是q的充分条件,q是p 的必要条件;当p⇒/q时,我们称p 不是q的充分条件,q不 是p 的必要条件. 3.当“若p,则q”是真命题时,p 是q 的 条 件,q是p 的 条件.(填“充分”或“必要”) 提示 由“若p,则q”是真命题,得p⇒q,故需依次填 入:充分、必要. 4.做一做:判断下列各题中,p 是q的什么条件,q是p 的什么条件. (1)p:x=y,q:|x|=|y|; (2)p:A⊆Q,q:A⊆N. 解 (1)∵p⇒q, ∴p 是q的充分条件,q是p 的必要条件. (2)∵q⇒p, ∴q是p 的充分条件,p 是q的必要条件. 三、充要条件 【问题思考】 1.已知p:两个三角形的对应边相等,q:这两个三角形 全等.试判断p 是q的什么条件,q是p 的什么条件. 提示 ∵p⇒q,且q⇒p, ∴p 是q的充分条件,也是q的必要条件;q是p 的充 分条件,也是p 的必要条件. 2.填空:(1)如果p⇒q,且q⇒/p,则称p 是q的充分不 必要条件. (2)如果p⇒/q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件. (3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p 是q 的充分必要条件 (简称为充要条件),记作p⇔q,此时,也读作“p 与q等价” “p 当且仅当q”. 3.当p 是q的充要条件时,q是p 的什么条件? 提示 充要条件. 4.做一做:试说出p 是q的什么条件. (1)p:A⊆B,且B⊆A,q:A=B; (2)p:x∈(-∞,0),q:x∈R; (3)p:y是关于x的一次函数,q:y是关于x的正比例函数. 解 (1)充要条件. (2)充分不必要条件. (3)必要不充分条件. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画 “√”,错误的画“×”. (1)△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是正三角形.(×) (2)当p⇒q,且q⇒/p 时,p 是q的充分不必要条件. (√) (3)若A={x|p(x)},B={x|q(x)},且 A⊆B,则 p(x)⇒q(x). (√) (4)若m 是n的充要条件,则m 一定是n的充分条件, 但不一定是n的必要条件. (×) 课堂 ·重难突破 探究一 充分条件、必要条件的判断 【例1】指出下列各题中,p是q的什么条件.(充分不必 要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件) (1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2; (2)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (3)p:x>1,q:x2>1. 分析 分清p,q → p⇒q? q⇒p? → 下结论 解 (1)因为命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”是假 30