《数学分析》教素当0<s<1时，点x=0还是该积分的瑕点：因此我们把该积分分为来讨论其敛散性：s21时为正常积分：0<s<1时，x-le-*>0.利用非负函数积的Cauchy判别法，注意到mx（xle）-1，1-s<1,→0<s<1时积分收敛。（易见s=0时，仍用Cauchy判别法判得积分发散）。因此，s>0时积分收敛。：×*x-xe→0,（x→+）对VseR成立,.因此积分对VsER收敛.s-le-"dx收敛，称该积分为Euler第二型积分综上，s>0时积分Euler第二型积分定义了sE（0,+）内的一个函数，称该函数为Gamma函数，记为「(s)，即r(s) =x-le-"dx,(s >0).「一函数是一个很有用的特殊函数：2.「-函数的连续性和可导性r(s)在区间（0,+）内非一致收敛。这是因为s=0时积分发散。这里利用了下面的结果：若含参广义积分在E（a,b]内收敛，但在点=α发散则积分在（a,b)内非一致收敛.-6
《数学分析》教案 - 6 - 当 时, 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . : 时为正常积分 . 时, .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 时积分 收敛 . (易见 时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 时积 分 收敛 . : 对 R 成立,.因此积分 对 R 收敛. 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 , 即 = , . 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. 函数的连续性和可导性: 在区间 内非一致收敛 . 这是因为 时积分发散. 这里利 用了下面的结果: 若含参广义积分在 内收敛, 但在点 发散, 则积分在 内非一致收敛
《数学分析》教素但「(s)在区间（0,+）内闭一致收敛.即在任何[a,b]c（0,+）上，T(s)一致收敛．因为0<α<b时，对积分（，有x"e-"×e，而积分x--*dx收敛对积分，x"-le-"x-le-"，而积分x-leax收敛．由M一判法，它们都一致收敛，→积分「xle-"dx在区间[α,b]上一致收敛.作类似地讨论，可得积分（(xe")）,dx也在区间（0,+）内闭一致收敛。于是可得如下结论：T(s)的连续性：「(s)在区间(0,+)内连续。「(s)的可导性：「(s)在区间(0,+co)内可导，且I'()- f"%(xle)dx-f"*-en xdx.as同理可得：「(s)在区间（0,+）内任意阶可导，且(s) - "*e(n x)"dx.3．凸性与极值：T"(s)=[x-le-(Im x)"dx>0，T(s)在区间(0,+)内严格下凸r(1)=r(2)=1（参下段），=(s)在区间（0,+）内唯一的极限小值点（亦为最小值点）介于1与2之间：4.「(s)的递推公式「-函数表：-7
《数学分析》教案 - 7 - 但 在区间 内闭一致收敛 .即在任何 上 , 一致收敛 . 因为 时, 对积分 , 有 , 而积分 收敛. 对积分 , , 而积分 收敛. 由 M—判法, 它 们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . 作类似地讨论, 可得积分 也在区间 内闭一致收 敛. 于是可得如下结论: 的连续性: 在区间 内连续 . 的可导性: 在区间 内可导, 且 . 同理可得: 在区间 内任意阶可导, 且 . 3. 凸性与极值: , 在区间 内严格下凸. ( 参下段 ), 在区间 内唯一的极限小 值点( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. 的递推公式 函数表: