性质4∫1k=k=b-a. 性质5（非负性）如果在区间4，b]上f(x)≥0， 则f(x)&≥0.(a<b) 证f(x)≥0，.f(传)≥0，(i=1,2,.,n) △x≥0，.∑f(传)A,≥0， 2=max{△x1,△x2,.,△xn} im2f5ax=fed≥0
dx b a 1 dx b a = = b − a. 性质5（非负性） 如果在区间[a,b]上 f (x) 0， 则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证 f (x) 0, ( ) 0, i f (i = 1,2, ,n) 0, xi ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } = x1 x2 xn i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( ) 0. = b a f x dx 性质4
例1比较积分值厂ek和xk的大小. 解令f(x)=e'-x, x∈[-2,0] f(x)>0,.,(e*-x)c>0, ,e*>∫k,于是e*k<. 性质5的推论：（比较定理） (1) 如果在区间a,b]上f(x)≤g(x), 则f(x)k≤∫g(x). (a<b) (2)f(x)≤f(x)k.(a<b) 说明：f(x)川在区间[M,b]上的可积性是显然的
例 1 比较积分值 e dx x −2 0 和 xdx −2 0 的大小. f (x) e x, x 令 = − x[−2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 − − e x dx x e dx x − 0 2 , 0 2 xdx − 于是 e dx x −2 0 . 2 0 xdx − 性质5的推论：（比较定理） 则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x) g(x)， （2） f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . (a b) 说明：| f (x)|在区间[a,b]上的可积性是显然的. 解
性质6（估值定理）设M及m分别是函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则m(b-a)≤∫f(x≤M(b-). Em≤f()sM,.m≤f(x)dc≤iM m(b-a）≤f(x)k≤Mb-a). (此性质可用于估计积分值的大致范围) 2估计积分∫血在的值 解 f(x)=si
设M及m分别是函数 f (x)在区间[a,b]上的最大值及最小值， 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 证 m f (x) M, ( ) , b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a − − （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x x 2 4 sin 的值. 解 , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [ x 性质6（估值定理）