小义工后设函数()在,的某邻域内有定义,若对 VE>0,3δ>0,使得当|x-x0|<δ时,都有 1f(x)-f(x)<E, (2) 则称f(x)在x0点连续 注意函数f(x)在x0点连续,不仅要求f(x)在x0点有定义,而且要求 时 ∫(x)的极限等于∫(x),因此这里在极限的“E-δ”语言叙述中把 “0<|x-x0<δ”换成了“|x-x01<d”。最后,(1)式又可表示 为 下页
定义 1（3） 设函数 f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，若对 0 , 0 ，使得当| x − x0 | 时，都有 | ( ) − ( ) | 0 f x f x ， (2) 则称 f (x)在 0 x 点连续。 注意 函数 f (x) 在 0 x 点连续，不仅要求 f (x) 在 0 x 点有定义，而且要求 0 x → x 时， f (x)的极限等于 ( ) 0 f x ，因此这里在极限的“ − ” 语言叙述中把 “0 | x − x0 | ”换成了“ | x − x0 | ”。最后，(1)式又可表示 为 下页
可见“f在x=0连续”意味着极限运算m对应法则f的可交换性。 x→x 例1证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中Dx)为狄利克雷 函数。 证明由f(0)=0及D(x)≤1,对于任意的E>0,为使 f(x)-f(0)=xDx)≤<E 只要取δ=,即可按ε-δ定义推得在连续 相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下: 定义2设函数f(x)在x0的某左(右)邻域内有定义,若 下页
可见“ f 在 x = 0连续”意味着极限运算 0 lim x→x 对应法则 f 的可交换性。 例 1 证明函数 f (x) = x D(x)在点 x = 0连续,其中 D(x) 为狄利克雷 函数。 证明 由 f (0) = 0 及 D(x) 1，对于任意的 0，为使 f (x) − f (0) = x D(x) x 只要取 = ，即可按 − 定义推得在连续。 相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下： 定义 2 设函数 f (x)在 0 x 的某左（右）邻域内有定义，若 下页