青岛建筑工程学院：差分方程模型的理论和方法（胡京爽）

差分方程模型的理论和方法 青岛建筑工程学院胡京爽 引 1、差分方程:差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规 律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立 差分方程 差分方程就是针对要解决的目标,引入系统或过程中的离散变量, 根据实际背景的规律、性质、平衡关系,建立离散变量所满足的平衡 关系等式,从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解,或者分析 得到方程解的特别性质(平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等),从而把握这个离散变量的变化过程的规律,进一步再结合其他 分析,得到原问题的解 2、应用:差分方程模型有着广泛的应用。实际上,连续变量可以 用离散变量来近似和逼近,从而微分方程模型就可以近似于某个差分 方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险 领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样 讲,只要牵涉到关于变量的规律、性质,就可以适当地用差分方程模 型来表现与分析求解 3、差分方程建模:在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过 程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题的目标,对每个时段 引入相应的变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统的实际变 化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相 隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系(即用相应设定的变量 进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等)等式(可以多个并 且应当充分全面反映所有可能的关系),从而建立起差分方程。或者 对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当 的变量或向量,然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式,从而 建立起差分方程。在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常 重要的,应当结合已有的信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易 于分析、针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程,引入哪

1 差分方程模型的理论和方法 青岛建筑工程学院 胡京爽 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规 律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立 差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量， 根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡 关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析 得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他 分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以 用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分 方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险 领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样 讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模 型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过 程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段 引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变 化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相 隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量 进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并 且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者 对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当 的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而 建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常 重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易 于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪

些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中,这方面的内容应当重点 体会 差分方程模型作为一种重要的数学模型,对它的应用也应当遵从 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用,因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行;另一方面,由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 基本概念 1、差分算子 设数列{xn},定义差分算子△:Axn=xn1-xn为xn在n处的向 前差分。 而Axn=xn-x为xn在n处的向后差分 以后我们都是指向前差分 可见Ax是n的函数。从而可以进一步定义Axn的差分 称之为在n处的二阶差分,它反映的是的增量的增量 类似可定义在n处的k阶差分为: △xn=△(△-(xn) 2、差分算子、不变算子、平移算子 记kxn=xn1,kn=xn,称E为平移算子,1为不变算子 则有:Axn=Exn-kxn=(E-1)xn 由上述关系可得 △xn=(E-1)xn=∑(-1) CHEx=∑(-1)Cxn( 这表明x,在n处的k阶差分由xn在n,n+1.n+k,处的取值所线性 决定。 反之

2 些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程 或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运 算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析 的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点 体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一 般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合 起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建 立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的 结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析 等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 xn  ，定义差分算子 n n n  x = x − x +1 : 为 n x 在 n 处的向 前差分。 而  n = n − n−1 x x x 为 n x 在 n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见 n x 是 n 的函数。从而可以进一步定义 n x 的差分： n n x x 2 ( ) =  称之为在 n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在 n 处的 k 阶差分为： ( ( )) 1 n k n k x x −  =   2、差分算子、不变算子、平移算子 记 n n n n Ex = x Ix = x + , 1 ，称 E 为平移算子， I 为不变算子。 则有： n n n n x = Ex − Ix = (E − I)x  = E − I 由上述关系可得： n i k i i k k i n i k i i k k i n k n k x E I x C E x C x + = − = −  = − =  − =  − 0 0 ( ) ( 1) ( 1) （1） 这表明 n x 在 n 处的 k 阶差分由 n x 在 n,n +1....n + k ，处的取值所线性 决定。 反之

由 Arn=xn+1-x 得 xn+1=xn+△x x,得 x+△ 这个关系表明:第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来 表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这 项在内的k+1项增量的增量的增量..∴.第k层增量所构成 △xn=∑(-1)C 得 ∑(-1)Ckx 可以看出 x可以由x,Ax,Ax的线性组合表示出来 3、差分方程 由x以及它的差分所构成的方程 △xn=f(n,xn,Axn,△-xn) (3) 称之为k阶差分方程。 由(1)式可知(3)式可化为 F(n,xn,xn1…,xn1) 故(4)也称为k阶差分方程(反映的是未知数列x任意一项 与其前,前面k项之间的关系) 由(1)和(2)可知,(3)和(4)是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是(4)式 4、差分方程的解与有关概念 (1)如果x使k阶差分方程(4)对所有的n成立,则称xn为 方程(4)的解。 (2)如果xn=x(x为常数)是(4)的解,即 x= F(n,,.,x) 则称x=x为(4)的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不 只一个。平衡解的基本意义是:设xn是(4)的解,考虑 xn的变化性态,其中之一是极限状况,如果mxn=x, 则方程(4)两边取极限(x就存在在这里面),应当有 F(n,x

3 由 n n n x = x − x +1 得 n n n x = x + x +1 ： n n n n  x = x − x + x +2 +1 2 2 ，得： n n n n x x x x 2 +2 = −2 +1 + +  , 这个关系表明：第 n+2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来 表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的 k 项和包括这 项在内的 k+1 项增量的增量的增量……..第 k 层增量所构成。 …….. ( 1) , 1 0 n i n k k i i k k i n k x C x x + + − = −  =  − + 得： n k n i k i i k k i n k x = − − C x +  x + − = − +  1 0 ( 1) （2） 可以看出： n k x + 可以由 n k n n x ,x ,..., x 的线性组合表示出来 3、差分方程 由 n x 以及它的差分所构成的方程 ( , , ,..., ) 1 n k n n n k x f n x x x −  =   （3） 称之为 k 阶差分方程。 由（1）式可知（3）式可化为 ( , , ,..., ) n+k = n n+1 n+k−1 x F n x x x （4） 故（4）也称为 k 阶差分方程（反映的是未知数列 n x 任意一项 与其前，前面 k 项之间的关系）。 由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是（4）式。 4、差分方程的解与有关概念 （1）如果 n x 使 k 阶差分方程（4）对所有的 n 成立，则称 n x 为 方程（4）的解。 （2）如果 − x = x n （ − x 为常数）是（4）的解，即 ( , ,..., ) − − − x = F n x x 则称 − x = x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不 只一个。平衡解的基本意义是：设 n x 是（4）的解，考虑 n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果 x x n n = → lim ， 则方程（4）两边取极限（ x 就存在在这里面），应当有 ( , ,..., ) − − − x = F n x x

(3)如果(4)的解x使得x-x既不是最终正的,也不是最终 负的,则称x为关于平衡点x是振动解 (4)如果令:yn=xn-x,则方程(4)会变成 yu+k=g(n,yux,yn+k-D) (5) 则y=0成为(5)的平衡点。 (5)如果(5)的所有解是关于y=0振动的,则称k阶差分方 程(5)是振动方程。如果(5)的所有解是关于y=0非 振动的,则称k阶差分方程(5)是非振动方程。 (6)如果(5)有解y,使得对任意大的N,有 Suply>0 则称y为正则解。(即不会从某项后全为零) (7)如果方程(4)的解x使得Lmxn=x,则称xn为稳定解。 5、差分算子的若干性质 (axn+的vn)=aA(xn)+B△v (2) △(一) (yn△xn- x,Ay) (3) V=J Jk xaya+∑xAyk (5) x=∑Cn 6、Z变 定义:对于数列xn,定义复数级数 ()=2(xn)=∑ (6) 这是关于洛朗级数。它的收敛域是:R<|<R,其中R2可以为 ∞,R可以为0。称Z(xn)为xn的=-变换 由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知:z变换是一一对应 的,从而有逆变换,记为: x=Z(x() (7) z变换是研究数列的有效工具

4 （3）如果（4）的解 n x 使得 − x − x n 既不是最终正的，也不是最终 负的，则称 n x 为关于平衡点 − x 是振动解。 （4）如果令： − y = x − x n n ，则方程（4）会变成 ( , ,..., ) n+k = n n+k−1 y G n y y （5） 则 y = 0 成为（5）的平衡点。 （5）如果（5）的所有解是关于 y = 0 振动的，则称 k 阶差分方 程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于 y = 0 非 振动的，则称 k 阶差分方程（5）是非振动方程。 （6）如果（5）有解 n y ，使得对任意大的 N y 有  0  n n N Sup y y 则称 n y 为正则解。（即不会从某项后全为零） （7）如果方程（4）的解 n x 使得 − → Lim x = x n n ，则称 n x 为稳定解。 5、差分算子的若干性质 （1） n n n n (x + y ) =.(x ) + y （2） ( ) 1 ( ) 1 n n n n n n n n y x x y y y y x  =  −  + （3） n n n n n n  x y = y x + x y +1 ( ) （4）   = = +  = + + − +  b k a a k k b k a k k b b a y x x y x y x y 1 1 1 （5） = = =  + =  n i i i n n n n x E x I x C x 0 0 0 0 ( ) 6、Z 变换 定义：对于数列 n x ，定义复数级数   = − = = 0 ( ) ( ) k k n k X z Z x x z （6） 这是关于 z 洛朗级数。它的收敛域是： 1 R2 R  z  ，其中 R2 可以为 ， R1 可以为 0。 称 ( ) n Z x 为 n x 的 z -变换。 由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知： z 变换是一一对应 的，从而有逆变换，记为： ( ( )) 1 x Z X z n − = （7） z 变换是研究数列的有效工具

z变换的若干重要性质: (1)线性性Z(xn+/n)=aZ(x)+BZ(n) (2)平移性质Z(xn)=X()-∑x2+ z变换举例 (1)c(m)=∞n=0则z(m)=∑()2+=(×=1 0.n≠0 k=0 (2)u(m)= ∫Lk≥0 0,k<0 则z(()=∑(k)==∑ >1 k=0 (3)设f(m)=a,则z(a)=∑a4=+=-=.|>a,a>0 (4)设/(o21则zxb)===H>0 第二节差分方程常用解法与性质分析 常系数线性差分方程的解 方程axnk+a1xn1+…+a1xn=b(n) (8) 其中an,a2,a为常数,称方程(8)为常系数线性方程。 又称方程axnk+a1x++a4xn=0(9) 为方程(8)对应的齐次方程。 如果(9)有形如x=的解,带入方程中可得 a02+a121+…+a-1+a4=0 (10) 称方程(10)为方程(8)、(9)的特征方程。 显然,如果能求出(10)的根,则可以得到(9)的解。 基本结果如下

5 z 变换的若干重要性质： （1）线性性 ( ) ( ) ( ) n n n n Z x + y =Z x + Z y （2）平移性质 ( ) [ ( ) ] 1 0  − = − + = − N k k k N n N Z x z X z x z z 变换举例： （1）      = = 0, 0 , 0 ( ) n n  n , 则   = = − − = =  = 0 ( ( )) ( ) (1 ) 0 1 k k k k Z  n  k z z （2）      = 0, 0 1, 0 ( ) k k u n ，则    =  = − −  − = = = 0 0 , 1, 1 ( ( )) ( ) k k k k z z z Z u n u k z z （3）设 ( ) , n f n = a 则   = −   − = = 0 ( ) , , 0, k n k k z a a z a z Z a a z （4）设 , ! 1 ( ) n f n = 则 , 0 ! 1 ) ! 1 ( 0 1 =  =   = − z e z n k Z k z k 第二节 差分方程常用解法与性质分析 1、常系数线性差分方程的解 方程 ... ( ) a0 xn+k + a1 xn+k−1 + + ak xn = b n （ 8） 其中 a a ak , ,..., 0 1 为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程 a0 xn+k + a1 xn+k−1 +...+ ak xn = 0 （9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如 n n x =  的解，带入方程中可得： ... 1 0 1 0 + 1 + + − + = − k k k k a  a  a  a （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下：