00 定理1.(Abel定理)若幂级数 n=0 在x=x点收敛，则对满足不等式x<x0 的一切x幂级数都绝对收敛 可@充11 反之，若当x=x,时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的一切x,该幂级数也发散 证：设∑anx6收敛，则必有1 im anx0=0,于是存在 n=0 n→00 常数M>0,使 ≤M(n=1,2,.) 收敛发散 发散 收0敛 发散文 HIGH EDUCATION PRESS O◆0C08 阿贝尔目录上页下页返回结束
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
口，对药=对”s刘 当x<x时，∑收敛a, 也收敛 n=（ 故原幂级数绝对收敛 反之，若当x=x,时该幂级数发散，下面用反证法证之 假设有一点x,满足x1>x且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x,也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真所以若当x=x时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散： 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束
当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由Abel定理可以看出 的收敛域是以原点为 中心的区间 n=0 用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=∞时，幂级数在(-00，+0)收敛； 0<R<0,幂级数在(-R,R)收敛；在[-R,R] 外发散，在x=士R可能收敛也可能发散： R称为收敛半径，(-R,R)称为收敛区间 (-R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 发散 收0敛 发散文 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束
00 定理2.若∑anx”的系数满足1im an出=p,则 n=0 an 1)当p0时.R=b 2)当p=0时，R=0； 3)当p=o时，R=0 证： lim lim n+! x=plx n→o0 n->oo an 1)若p0,则根据比值审敛法可知： 当px<1,即x飞。时，原级数收敛 当px>1,即x>O 时，原级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
x a a a x a x n n n n n n n n = + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2. 若 的系数满足 1 ; R = R = ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 x 1, 原级数收敛; 当 x 1, 原级数发散. 即 1 x 时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则 1 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此级数的收敛半径R=」 2)若P=0,则根据比值审敛法可知，对任意x原级数 绝对收敛，因此R=0; 3)若P=∞，则对除x=0以外的一切x原级发散 因此R=0」 说明据此定理 anx”的收敛半径为R= lim n=0 n-→o0 An+l HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2) 若 = 0, 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , R = ; 3) 若 = , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , R = 0 . 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim + → = n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1 R = 机动 目录 上页 下页 返回 结束